MPSIA 2012/2013
Programme de colles de math´ematiques, semaine 22 (du lundi 8 au vendredi 12 avril)
lyc´ee Chaptal
Int´ egration sur un segment
I. Int´ egrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
1. Espace vectoriel (stable par ×) des fonctions en escalier sur [a, b]. Int´egrale d’une fonction en escalier, propri´et´es.
2. Espace vectoriel (stable par×) des fonctions continues par morceaux sur [a, b].
Approximation uniforme (encadrement) d’une fonction continue par morceaux par des fonctions en escalier. Int´egrale d’une fonction continue par morceaux, interpr´etations en termes d’aires. Propri´et´es ´el´em´entaires : lin´earit´e, relation de Chasles, invariance par translation, majoration, minoration ´el´ementaires, valeur moyenne d’une fonction.
II. Propri´ etes de l’int´ egrale sur un segment
1. In´egalit´es : – si f 6g,
Z
[a,b]
f 6 Z
[a,b]
g, application : Z
[a,b]
f
6 Z
[a,b]
|f|. Interpr´etation g´eom´etrique.
– In´egalit´e de la moyenne : Z
[a,b]
f g
6 sup
x∈[a,b]
|f(x)| × Z
[a,b]
|g|.
– In´egalit´e de Cauchy-Schwarz.
2. Primitives d’une fonction continue, th´eor`eme fondamental. Applications.
3. Th´eor`eme d’int´egration par parties. Formule de Taylor-Lagrange avec reste int´egral.
4. Th´eor`eme de changement de variable (de classeC1) pour les fonctions conti- nue. Exemples.
Questions de cours
Q1. Enoncer et d´´ emontrer l’approximation uniforme d’une fonction continue sur un segment par des fonctions en escalier.
Q2. [facultative]En admettant le r´esultat pour les fonctions en escaliers, d´e- montrer la lin´earit´e de l’int´egrale des fonctions continues sur un segment [a, b].
Q3. Enonc´´ e et d´emonstration de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz.
Q4. D´emontrer que sif est continue par morceaux sur l’intervalle I, alors∀a∈ I, Fa:x7→
Z x
a
f(t) dt est continue surI.
Q5. D´emontrer que si f est continue sur l’intervalle I, alors ∀a ∈ I, Fa : x 7→
Z x
a
f(t) dt est d´erivable sur Iet Fa0=f.
Q6. D´emontrer que sif est continue, positive sur [a, b] et siRb
a f(t) dt= 0, alors f est nulle sur [a, b].
Q7. Enonc´´ e et d´emonstration des th´eor`emes d’int´egration par parties et de chan- gement de variables pour les fonctions de classeC1.
Q8. Enonc´´ e et d´emonstration de la formule de Taylor-Lagrange avec reste int´e- grale.
A venir : somme de Riemann, fonctions `` a valeurs complexes, fractions rationnelles, calculs de primitives....
