Licence de mathématiques
Cette présentation décrit les enseignements de mathématiques prévus dans la maquette de la licence de mathématiques (la numérotation est propre à cette licence). Elle est complétée par la liste des enseignements de mathématiques prévus dans les U.F.R.
S.F.A. et C.I.S.M. qui sont adaptés aux étudiants non mathématiciens.
Semestre 1
MATH121 Analyse élémentaire (3 crédits)
Étude pratique des fonctions d’une variable réelle : calculs de limites simples, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, calcul des dérivées, tableau de variation, dérivées successives, formules de Leibniz, formule de Taylor-Young, branches infinies, tracé de la courbe représentative, développements limités simples (somme, produit, composition).
Fonctions usuelles : fonctions polynomiales (factorisation), fonctions exponentielles réelles, fonctions logarithmes, fonctions puissances, fonctions hyperboliques, fonctions circulaires, formules trigonométriques .
Intégration : calculs de primitives simples, intégration par parties, changements de variables.
Équations différentielles linéaires : équations linéaires du premier ordre (existence et unicité), équations linéaires du second ordre à coefficients constants (existence et unicité).
Méthodologie : travail en demi-groupe sur les méthodes d’apprentissage , prise de notes, apprentissage du cours par couches successives, fabrication de fiches de résumés du cours, travail des exercices de travaux dirigés, rédaction des exercices, préparation des contrôles et examens.
Utilisation de WIMS
MATH122 Mathématiques générales (6 crédits)
Ensembles, applications, lois, relations : notions élémentaires (définitions, exemples simples).
Nombres entiers, dénombrements : nombres entiers naturels (propriétés fondamentales de N, récurrence, suites), ensembles finis (cardinaux, opérations sur les ensembles finis), dénombrements (arrangements, combinaisons), ensembles Z et Q.
Nombres complexes : parties réelle et imaginaire, conjugaison, affixe d’un point, module, cercle trigonométrique (formules d’Euler, de Moivre), argument, racines n-ièmes de l’unité, équation du second degré.
Étude pratique des suites : suites arithmétiques et géométriques, suites convergentes, majorations, opérations sur les limites, formes indéterminées, calculs de limites, suites monotones.
Compléments sur les fonctions : fonctions monotones, théorème des accroissements finis, réciproque d’une fonction (réciproques des fonctions hyperboliques, réciproques des fonctions circulaires), développement limités et applications aux calculs de limites et de branches infinies.
Éléments d’algèbre linéaire : systèmes linéaires, matrices (produit et inverse) en dimension 2 et 3.
Géométrie élémentaire du plan : repérage dans le plan (repère cartésien, coordonnées polaires), produit scalaire, déterminant, droite, cercle, utilisation des nombres complexes en géométrie plane (distance, angle, barycentre, orthogonalité), similitudes (rapport, homothéties, translations, rotations, écriture complexe d’une similitude directe).
Géométrie élémentaire de l’espace : repérage dans l’espace (coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques), produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte, droites et plans, sphère.
Courbes planes paramétrées et coniques : courbe définie par une représentation paramétrique, interprétation cinématique, courbe définie par une représentation polaire, coniques (foyer, directrice, équation polaire).
Méthodologie : vérification de la façon dont les étudiants travaillent et propositions adaptées en vue d’une amélioration de l’efficacité de leur travail.
Utilisation de WIMS
Semestre 2
MATH221 Suites et fonctions (6 crédits)
Corps R des nombres réels : ordre, valeur absolue, borne supérieure, borne inférieure, droite achevée, intervalles, valeurs décimales).
Suites de nombres réels : suites (suites majorées, minorées, bornées, monotones), limite d’une suite (opérations algébriques, relations d’ordre, suites extraites), relations de comparaison (suites dominée, négligeable, équivalente), théorèmes d’existence de limites (suites adjacentes, segments emboîtés, théorème de Bolzano-Weierstraß), suites à valeurs complexes (suites bornées, opérations algébriques).
Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles : fonctions d’une variable réelle (fonctions bornées, extrema, bornes supérieure et inférieure, fonctions monotones, fonctions paires, impaires, périodiques, lipschitzienne), étude locale d’une fonction (limite, continuité, prolongement, opérations algébriques, limite d’une fonction composée), relations de comparaison (équivalence, effet des opérations), fonctions continues sur un intervalle (composition, image d’un intervalle, fonction réciproque, continuité uniforme), fonctions réciproques usuelles (fonctions hyperboliques et circulaires), limites et continuité des fonctions à valeurs complexes (fonction exponentielle complexe).
Dérivation des fonctions à valeurs réelles : dérivation en un point (extremum local, fonction dérivée), théorème de Rolle, des accroissements finis, application aux suites récurrentes, dérivation des fonctions à valeurs complexes.
Dérivées successives : formule de Leibniz, formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young, extension aux fonctions à valeurs complexes.
MATH222 Espaces vectoriels (6 crédits)
Structures algébriques usuelles : vocabulaire relatif aux groupes, aux anneaux et aux corps.
Espaces vectoriels : espaces vectoriels, sous-espaces (sous-espace engendré, intersection, somme, sous-espaces supplémentaires), espaces produit, espaces de fonctions, translations (sous-espace affine, intersection, barycentre, partie convexe), applications linéaires (forme linéaire, espace des applications linéaires, composition, équation linéaire, projecteur), familles de vecteurs (combinaison linéaire, famille génératrice, indépendance, famille libre, famille liée, base, coordonnées, base canonique de Kn).
Espaces vectoriels de dimension finie : dimension d’un espace vectoriel (théorème de la base incomplète, isomorphie à Kn, base d’un produit d’espaces, coordonnées de l’image d’un vecteur par une application linéaire), dimension d’un sous-espace vectoriel (rang d’une famille de vecteurs, sous-espaces vectoriels supplémentaires), rang d’une application linéaire (isomorphisme), formes linéaires.
Calcul matriciel : opérations sur les matrices (somme, produit matriciel, groupe linéaire, transposition, matrices symétriques), matrices et applications linéaires (matrices d’une application linéaire, d’une famille de vecteurs, matrice de passage, effet d’un changement de bases), opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes d’une matrice (algorithme de Gauß), rang d’une matrice (invariance, calcul du rang), systèmes d’équations linéaires (système homogène associé, rang d’un système linéaire, structure affine de l’ensemble des solutions, système de Cramer, algorithme de Gauß).
Géométrie affine : sous-espaces affines (parallélisme, intersection de sous-espaces), applications affines (composition, transformations affines, homothéties, translations, projections), repères cartésiens, représentation des sous-espaces affines (paramétrage d’un sous-espace affine, équation cartésienne d’un hyperplan, équation d’une droite en dimension trois), barycentres (propriétés, convexité), projections, symétries, affinités, structure d’espace affine.
MATH227 Statistiques et probabilités (3 crédits)
Notions de base : variables, tableaux, graphiques.
Distributions à une variable : caractéristiques de position, caractéristiques de dispersion.
Distributions à deux variables : covariance, coefficient de corrélation linéaire, ajustement linéaire.
Dénombrement : parties d’un ensemble, permutations, arrangements, combinaisons, formule du binôme.
Lois et variables : lois de probabilité discrètes (Bernoulli, binomiale, géométrique, de Poisson), variables aléatoires discrètes, espérance, variance, covariance, indépendance
Lois et variables : lois de probabilité à densité (uniforme, normale, log-normale, exponentielle, gamma, beta), variables aléatoires à densité, espérance, variance, covariance, indépendance.
Semestre 3
MATH321 Fonctions et séries (6 crédits)
Fonctions convexes : inégalité de convexité, caractérisation géométrique, caractérisation en terme de pente, convexité et dérivabilité.
Développements limités : en un point, au voisinage de l’infini, opérations algébriques, fonctions usuelles, points singuliers des courbes paramétrées, développements limités d’une primitive, d’une dérivée). développements limités des fonctions à valeurs complexes.
Séries numériques : suites et séries (sommes partielles, convergence), séries de nombres positifs (séries de Riemann, règle de Cauchy et d’Alembert, comparaison d’une série à une intégrale, sommation des relations de comparaison), convergence et convergence absolue, séries semi-convergentes, séries alternées, produit de séries.
MATH322 Introduction à l’algèbre (6 crédits)
Raisonnement mathématique : occurrences libres et liées d’une variable, connecteurs logiques, raisonnement par l'absurde, condition nécessaire, condition suffisante, proposition directe et réciproque, contre-exemples.
Structures algébriques : lois de composition interne (morphismes), groupes (sous-groupe, morphismes, isomorphisme, image et noyau, groupe Z), anneaux (sous-anneau, morphisme, éléments inversibles, anneau Z), corps (sous-corps, corps Q), espaces vectoriels, algèbres (sous-algèbres, morphismes).
Arithmétique dans Z : division euclidienne, diviseurs communs, nombres premiers entre eux, p.g.c.d et p.p.c.m., algorithme d’Euclide, forme irréductible d’un nombre rationnel, théorème de Bézout, théorème de Gauß, nombres premiers, décomposition d’un entier, numération.
Polynômes (ici K = R ou C) : algèbre K[X], degré, substitution, division euclidienne dans K[X], racines (racines multiples, polynômes scindés, fonctions symétriques élémentaires), dérivation (dérivées successives, formule de Taylor, ordre d’une racine), factorisation dans C[X] et dans R[X], théorème de d’Alembert-Gauß, diviseurs communs, polynômes premiers entre eux, p.g.c.d et p.p.c.m., algorithme d’Euclide, théorème de Bézout, théorème de Gauß, polynômes irréductibles, décomposition d’un polynôme.
Fractions rationnelles : corps K(X) (représentant irréductible d’une fraction rationnelle, degré, racines, pôles, composition), décomposition en éléments simples (partie entière, partie polaire), application au calcul de primitive et à l’intégration.
MATH323 Algèbre linéaire (6 crédits)
Groupes cycliques, groupe symétrique : sous-groupe engendré par un élément (groupes monogènes, ordre d’un élément, générateurs d’un groupe cyclique), groupe symétrique (cycles, transpositions, décomposition d’une permutation, signature, groupe alterné).
Applications multilinéaires : applications n-linéaires symétriques, antisymétriques, alternées.
Déterminants : forme n-linéaire alternée sur un espace de dimension n, déterminant de n vecteurs dans un espace de dimension n, solution d’un système de Cramer (théorème de Rouché-Fontené), déterminant d’un endomorphisme (composé), déterminant d’une matrice
carrée (produit, transposé), développement par rapport à une ligne ou une colonne, cofacteurs, déterminants par blocs.
Espaces vectoriels, applications linéaires (ici K est un corps commutatif) : bases et sommes directes (famille libre, liée, génératrice, base, coordonnées, base canonique de K[X], application linéaire, produit d’une famille d’espaces vectoriels, somme et somme directe de sous-espaces vectoriels, base adaptée à une décomposition en somme directe), image et noyau d’une application linéaire (sous-espaces stables, codimension et théorème du rang, projecteur, espace dual, hyperplan), dualité en dimension finie (forme linéaire coordonnée, base duale, base anti-duale, orthogonalité), trace d’un endomorphisme (trace d’une matrice, d’un produit de matrices, matrices semblables et trace),
Matrices : calcul matriciel et systèmes d’équations linéaires (matrices équivalentes et rang, opérations sur les lignes et les colonnes, applications à la recherche du rang, à la résolution de systèmes linéaires, à la recherche de l’inverse, au calcul de déterminant, application de la dualité à l’étude d’un système d’équations linéaires).
Méthodes numériques : résolution d’un système linéaire par la méthode du pivot de Gauß, résolution de systèmes linéaires tri-diagonaux.
MATH324 Analyse numérique (6 crédits)
Valeurs approchées de réels : calcul de nombres réels remarquables, accélération de convergence (méthode de Richardson).
Analyse : calcul approché d’une intégrale (méthodes de Newton-Cotes, de Gauß), accélération de convergence (méthode de Richardson-Romberg), interpolation, approximation uniforme, calcul approché des zéros d’une fonction (dichotomie, utilisation des suites récurrentes, méthode de Newton), approximation du point fixe d’une application scalaire par itération, approximation du point fixe d’une application vectorielle par itération, résolution d’une équation différentielle par la méthode d’Euler.
Algèbre linéaire : résolution d’un système linéaire par la méthode du pivot de Gauß, factorisation QR (méthode de Householder, présentation géométrique), détermination des éléments propres d’une matrice symétrique (méthode de Jacobi, méthodes de tri- diagonalisation de Givens et de Lanczos-Householder), détermination des éléments propres pour des matrices de grande dimension, méthode de la puissance itérée.
Initiation à Matlab : présentation, types de données et de variables et opérations associées, les entrées-sorties, programmation, graphisme.
Semestre 4
MATH421 Calcul intégral (6 crédits)
Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles : fonctions continues par morceaux, (fonction en escalier, approximation d’une fonction continue par morceaux par une fonction en escalier), intégrale d’une fonction continue par morceaux (intégrale d’une fonction en escalier, linéarité, croissance, intégrale d’une fonction continue par morceaux, linéarité, croissance, relation de Chasles), valeur moyenne d’une fonction, inégalité de la moyenne,
produit scalaire, sommes de Riemann), intégration des fonctions à valeurs complexes, calculs d’intégrales (primitive de fonctions usuelles, de fractions rationnelles).
Intégration et dérivation : primitives et intégrale d’une fonction continue, calcul des primitives (intégration par parties, changement de variable), primitives des fonctions usuelles, formule de Taylor avec reste intégral.
Intégration sur un intervalle quelconque : fonctions intégrables à valeurs positives (opérations, croissance), fonctions intégrables à valeurs complexes, linéarité de l’intégrale, relation de Chasles, changement de variable.
Calcul approché d’une intégrale : méthodes des rectangles, des points milieux, des trapèzes, de Simpson.
MATH422 Applications linéaires (6 crédits)
Sous-espaces stables, polynômes d’un endomorphisme : caractérisation des endomorphismes pour lesquels un sous-espace vectoriel est stable, polynôme minimal d’un endomorphisme, décomposition des noyaux.
Réduction d’un endomorphisme : valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme, valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice carrée, polynôme caractéristique (ordre de multiplicité d’une valeur propre, dimension du sous-espace propre associé, théorème de Cayley-Hamilton), réduction d’un endomorphisme en dimension finie, endomorphisme diagonalisable, trigonalisable, matrice carrée diagonalisable, trigonalisable, réduction de Jordan des endomorphismes scindés : exemples.
Endomorphismes des espaces euclidiens : adjoint, endomorphismes symétriques, orthogonaux, réduction des endomorphismes symétriques, normaux, utilisation matricielle.
Endomorphismes des espaces hermitiens : adjoint, endomorphismes hermitiens, unitaires, réduction des endomorphismes hermitiens, normaux, utilisation matricielle.
Méthodes numériques : détermination des éléments propres pour des matrices de grande dimension, méthode de la puissance itérée.
MATH423 Espaces euclidiens (6 crédits)
Produit scalaire : forme bilinéaire symétrique, norme euclidienne, inégalité de Cauchy- Schwarz, vecteurs unitaires, orthogonaux, relation de Pythagore, identité du parallélogramme, espace vectoriel euclidien.
Orthogonalité : bases orthonormées, procédé d’orthonormalisation de Schmidt, complétion d’une famille orthonormée en une base orthonormée, orthogonal d’un sous-espace, supplémentaire orthogonal, équation d’un hyperplan, projection orthogonale (projection vectorielle, projection affine, distance à un sous-espace).
Orientation : bases orthonormées directes, orientation des hyperplans,
Isométries : automorphismes orthogonaux, isométries affines, matrices orthogonales, groupe orthogonal, rotations, déplacements.
Produit mixte, produit vectoriel.
Isométries du plan : réflexions (symétries, composées), automorphismes orthogonaux (matrices orthogonales, rotation vectorielle, angle, réflexions vectorielles), isométries du plan affine (déplacements, composition de réflexions).
Isométries de l’espace : automorphismes orthogonaux (décomposition en produit de réflexions, rotations vectorielles), isométries affines (rotations, vissages, composition de réflexions).
Formes bilinéaires symétriques : forme quadratique, forme positive et définie positive, matrice, réduction (méthode de Gauß).
Espaces préhilbertiens : formes sesquilinéaires, produit scalaire, norme, orthogonalité, espaces euclidiens ou hermitiens (base orthonormée, relation entre l’espace et son dual), supplémentaire orthogonal (inégalité de Bessel, égalité de Parseval).
Méthodes numériques : résolution d’un système linéaire par la méthode de Cholesky, résolution de systèmes linéaires symétriques tri-diagonaux.
MATH424 Calcul des probabilités (6 crédits)
Rappels de dénombrement.
Espaces probabilisés : expérience aléatoire, évènements, tribus, probabilités, probabilités conditionnelles, formule de Bayes, événements indépendants.
Variables aléatoires discrètes : loi, fonction de répartition, espérance, moments, fonction génératrice, lois usuelles, variable aléatoire fonction d'une variable aléatoire discrète.
Vecteurs aléatoires discrets : loi, lois marginales, lois conditionnelles, indépendance
de variables aléatoires discrètes.Variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes.
Covariance. Coefficient de corrélation linéaire.
Variables à densité : loi, moments, variance et écart-type, lois usuelles.
Variable aléatoire réelle fonction d'une variable aléatoire.
Sommes de variables aléatoires indépendantes : loi d'une somme de variables aléatoires indépendantes. Exemples.
Introduction aux théorèmes limites : inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres, énoncé et applications du théorème limite central.
Semestre 5
MATH521 Suites et séries de fonctions (6 crédits)
Suites de fonctions : différents modes de convergence (convergence simple, uniforme), convergence uniforme et continuité, théorème de Dini, intégration et dérivation, fonctions en escalier, fonctions continues par morceaux, approximation uniforme d’une fonction continue par morceaux par des fonctions en escalier), théorème de Weierstraß. théorème de Weierstraß trigonométrique.
Séries de fonctions : différents modes de convergence (convergence simple, uniforme, absolue, normale), convergence uniforme et continuité, intégration, dérivation.
Séries entières : définition, opérations sur les séries entières, convergence (lemme d’Abel, rayon de convergence, convergence uniforme), propriétés de la somme (continuité, intégration, dérivabilité, bord), série entière d’une variable réelle, d’une variable complexe, fonctions développables en série entière (opérations).
Séries de Fourier : fonctions périodiques (produit scalaire, polynômes trigonométriques, séries trigonométriques), coefficients de Fourier (somme et série de Fourier, inégalité de Bessel), convergence ponctuelle (théorème de Dirichlet, convergence normale, théorème de Fejér), convergence en moyenne quadratique.
MATH522 Analyse et géométrie (6 crédits)
Suites et fonctions à valeurs dans R 2 : normes sur R2 (parties bornées, parties ouvertes, parties fermées), suites et fonctions (fonctions composantes, point adhérent à une partie de R2, parties fermées, produit scalaire, déterminant).
Courbes paramétrées : arc paramétré (interprétation cinématique, paramétrage admissible), étude locale (tangente en un point), branches infinies (asymptote).
Etude métrique des courbes planes : courbes planes (représentation cartésienne, paramétrique, polaire, par une équation), longueur d’un arc paramétré, abscisse curviligne (arc paramétré orienté, paramétrage par l’abscisse curviligne), courbure (rayon de courbure, formules de Frenet, interprétation cinématique).
Continuité des fonctions de deux variables : applications partielles, fonctions lipschitziennes, continuité (limites, propriétés, composition).
Calcul différentiel : dérivée première (dérivées partielles premières, fonctions de classe C1, gradient, dérivée d’une fonction composée, coordonnées polaires, extrema), dérivées d’ordre supérieur (courbes).
Calcul intégral : intégrale double sur un rectangle (intégrale d’une fonction en escalier, d’une fonction continue, propriétés), intégrale double sur une partie bornée, théorème de Fubini, changement de variables affines, coordonnées polaires, intégrales triples (intégrale d’une fonction en escalier, d’une fonction continue, propriétés, intégrale triple sur une partie bornée, changement de variables).
Champs de vecteurs du plan et de l’espace : différentielle, matrice jacobienne, gradient, divergence, laplacien, rotationnel, potentiel scalaire, intégrale curviligne (circulation d’un champ de vecteurs, formule de Green-Riemann).
MATH523 Espaces vectoriels normés (6 crédits)
Espaces vectoriels normés : normes et distances (espaces métriques), suites et séries d’éléments d’un espace vectoriel normé, topologie d’un espace vectoriel normé (voisinage, ouvert, fermé, intérieur, adhérence, frontière), étude locale d’une application (continuité, continuité uniforme, applications linéaires continues), complétude (suites de Cauchy, espaces métriques complets, espaces de Banach), compacité (applications continues sur un compact), connexité par arc, espaces vectoriels normés de dimension finie (complétude, applications linéaires, parties compactes, équivalence des normes), espaces d’applications linéaires continues.
MATH524 Géométrie (6 crédits)
Géométrie affine : espaces affines, sous-espaces affines, applications affines, barycentres, projections, symétries, affinités.
Géométrie euclidienne : génération du groupe des isométries vectorielles et affines par des réflexions (en dimension n), description des isométries en petite dimension (exemples, frises, pavages), groupe des isométries laissant une figure invariante.
Coniques : ellipse, hyperbole, parabole (définition focale, équation polaire, représentation paramétrique), équation analytique (réduction).
Quadriques : équation réduite et quadriques propres, quadriques propres à centres, quadriques impropres.
MATH526 Théorie des probabilités (6 crédits)
Espaces probabilisés : tribus, mesures.
Variables aléatoires.
Convergence d'une suite de variables aléatoires : convergence presque sûre, convergence en moyenne, en moyenne quadratique, convergence en probabilité, convergence en loi.
Loi des grands nombres, méthode de Monte Carlo.
Théorème limite central.
Applications statistiques : intervalles de confiance, estimation d'une moyenne.
Vecteurs aléatoires à densité.
Vecteurs gaussiens.
Théorème limite central multivarié et applications statistiques.
Loi du 0-1, séries de variables aléatoires indépendantes.
Introduction aux chaînes de Markov. Marche aléatoire et processus de Poisson.
Semestre 6
MATH621 Calcul différentiel (6 crédits)
Calcul différentiel : applications continûment différentiables (dérivée suivant un vecteur, applications différentiables, dérivées partielles), fonctions numériques continûment différentiables, composition, opérations sur les fonctions, théorème des accroissements finis (popints critiques), dérivées partielles d’ordre supérieur (théorème de Schwarz, développement de Taylor, extremum local), notions sur les courbes et les surfaces.
Géométrie différentielle : difféomorphismes (théorème d’inversion locale, transformation des opérateurs par difféomorphisme), théorème des fonctions implicites (courbes planes, courbes et surfaces de l’espace), formes différentielles et champs de vecteurs (intégrale curviligne d’une forme différentielle, formes exactes et fermées).
MATH622 Équations différentielles (6 crédits)
Équations différentielles linéaires du premier ordre : théorème de Cauchy-Lipschitz, espace des solutions de l’équation homogène, espace des solutions de l’équation générale.
Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants : espace des solutions de l’équation homogène, espace des solutions de l’équation générale.
Équations différentielles linéaires scalaires: théorème de Cauchy-Lipschitz, espace des solutions de l’équation homogène, espace des solutions de l’équation générale, équations à coefficients constants.
Équations différentielles autonomes du premier ordre : solutions, théorème de Cauchy- Lipschitz, propriétés géométriques et topologiques des solutions.
Équations différentielles générales : solutions, théorème de Cauchy, équations différentielles particulières.
Méthodes numériques : résolution approchée d’équations différentielles et de systèmes d’équations différentielles du premier ordre.
MATH623 Intégration (6 crédits)
Espaces mesurés : tribus (tribu engendrée, tribu borélienne, classe monotone), mesures (mesures de Dirac, mesure discrète, mesure bornée, mesure sigma-finie, mesure de Lebesgue- Stieltjes).
Intégration des fonctions : fonctions mesurables (fonctions boréliennes, composition, fonctions étagées, approximation), fonctions intégrables (intégrale des fonctions positives, croissance de l’intégrale, théorème de Beppo-Levi, intégrale des fonctions à valeurs réelles ou complexes, lemme de Fatou, théorème de Lebesgue, intégrale à paramètre), intégration par rapport à la mesure de Lebesgue (fonction localement bornée, intégration par parties, changement de variable), ensembles négligeables, espaces L0 et L0, espacesL1 et L1, théorème de convergence dominée, L1 est complet, tribu complétée, tribu de Lebesgue, lien avec l’intégrale de Riemann.
Espaces L p : espaces Lp et Lp, inégalité de Hölder, inégalité de Minkowski, Lp est complet, espace L2.
Mesure produit : produit d’espaces mesurés (tribu produit), théorème de Fubini (fonctions positives, fonctions à valeurs réelles ou complexes), mesure de Lebesgue dans Rd, changement de variables (coordonnées polaires, cylindriques, sphériques), produit de convolution (produit de convolution des mesures, mesures à densité, suites régularisantes).
MATH624 Groupes, anneaux, corps (6 crédits)
Cardinalité : équipotence, théorème de Cantor, ensembles finis, ensembles dénombrables, puissance du continu.
Groupes : sous-groupes normaux, théorème de Lagrange, groupes quotients, groupes monogènes et cycliques (Z et Z/nZ, générateurs, sous-groupes, fonction d'Euler), groupe symétrique Sn (générateurs, sous-groupe An), groupes opérant sur des ensembles (théorème de Cayley, orbites, conjugaison, formule des classes).
Anneaux et corps commutatifs : anneaux quotients, idéaux premiers et maximaux, idéaux de type fini, corps de fractions, divisibilité dans un anneau principal (p.g.c.d. et p.p.c.m., identité de Bézout, éléments irréductibles, décomposition d'un élément, anneaux euclidiens, caractéristique d'un anneau intègre)
Polynômes : polynômes sur un anneau, degré, divisibilité de deux polynômes, polynôme dérivé, fonctions polynômes, racines multiples, polynômes irréductibles, exemples de corps finis, polynômes à plusieurs variables (polynômes symétriques).
Outils mathématiques
Cette présentation décrit les enseignements de mathématiques prévus dans les U.F.R. S.F.A. et C.I.S.M. qui sont adaptés aux étudiants non mathématiciens. Elle complète la liste des enseignements de mathématiques prévus dans la licence de mathématiques.
Semestre 1
MATH121 Analyse élémentaire (3 crédits)
Étude pratique des fonctions d’une variable réelle : calculs de limites simples, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, calcul des dérivées, tableau de variation, dérivées successives, formules de Leibniz, formule de Taylor-Young, branches infinies, tracé de la courbe représentative, développements limités simples (somme, produit, composition).
Fonctions usuelles : fonctions polynomiales (factorisation), fonctions exponentielles réelles, fonctions logarithmes, fonctions puissances, fonctions hyperboliques, fonctions circulaires, formules trigonométriques .
Intégration : calculs de primitives simples, intégration par parties, changements de variables.
Équations différentielles linéaires : équations linéaires du premier ordre (existence et unicité), équations linéaires du second ordre à coefficients constants (existence et unicité).
Méthodologie : travail en demi-groupe sur les méthodes d’apprentissage , prise de notes, apprentissage du cours par couches successives, fabrication de fiches de résumés du cours, travail des exercices de travaux dirigés, rédaction des exercices, préparation des contrôles et examens.
Utilisation de WIMS
MATH122 Mathématiques générales (6 crédits)
Ensembles, applications, lois, relations : notions élémentaires (définitions, exemples simples).
Nombres entiers, dénombrements : nombres entiers naturels (propriétés fondamentales de N, récurrence, suites), ensembles finis (cardinaux, opérations sur les ensembles finis), dénombrements (arrangements, combinaisons), ensembles Z et Q.
Nombres complexes : parties réelle et imaginaire, conjugaison, affixe d’un point, module, cercle trigonométrique (formules d’Euler, de Moivre), argument, racines n-ièmes de l’unité, équation du second degré.
Étude pratique des suites : suites arithmétiques et géométriques, suites convergentes, majorations, opérations sur les limites, formes indéterminées, calculs de limites, suites monotones.
Compléments sur les fonctions : fonctions monotones, théorème des accroissements finis, réciproque d’une fonction (réciproques des fonctions hyperboliques, réciproques des fonctions circulaires), développement limités et applications aux calculs de limites et de branches infinies.
Éléments d’algèbre linéaire : systèmes linéaires, matrices (produit et inverse) en dimension 2 et 3.
Géométrie élémentaire du plan : repérage dans le plan (repère cartésien, coordonnées polaires), produit scalaire, déterminant, droite, cercle, utilisation des nombres complexes en géométrie plane (distance, angle, barycentre, orthogonalité), similitudes (rapport, homothéties, translations, rotations, écriture complexe d’une similitude directe).
Géométrie élémentaire de l’espace : repérage dans l’espace (coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques), produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte, droites et plans, sphère.
Courbes planes paramétrées et coniques : courbe définie par une représentation paramétrique, interprétation cinématique, courbe définie par une représentation polaire, coniques (foyer, directrice, équation polaire).
Méthodologie : vérification de la façon dont les étudiants travaillent et propositions adaptées en vue d’une amélioration de l’efficacité de leur travail.
Utilisation de WIMS
MATH123 Ouverture mathématique (3 crédits)
Algèbre linéaire : espaces vectoriels (vecteur, bases), applications linéaires et matrices (opérations, rang, inverse), déterminants, systèmes linéaires (solutions, transformation).
Équations différentielles : problèmes différentiels, problème de Cauchy, équations linéaires sans avec second membre, équations linéaires avec second membre, équations linéaires du premier ordre, équations linéaires du second ordre à coefficients constants, méthodes numériques de résolution.
Applications : cinétique chimique, dynamique des populations.
Semestre 2
MATH226 Mathématiques pour les sciences 2 (6 crédits)
Matrices et systèmes linéaires, opérations sur les matrices, inversion de matrices (rappels).
Espaces vectoriels : sous-espaces, familles libres, génératrices, sous-espaces vectoriels engendrés, bases, coordonnées, dimension, changement de bases. Exemples dans R2 et R3. Applications linéaires : Exemples uniquement dans R2 et R3. Matrices d’applications linéaires.
Définition et formules de changement de bases.
Déterminant et rang dans R2 et R3. Méthodes pratiques de calcul.
Polynômes et fractions rationnelles : Fonctions polynômes, racines, factorisation.
Décomposition des fractions en éléments simples.
Compléments d’intégration : intégration sur un intervalle borné. Calcul de primitives de fractions rationnelles, de fractions rationnelles des fonctions trigonométriques. Définition des intégrales généralisées avec quelques exemples simples.
Suites monotones et récurrentes : exemples simples.
Introduction aux fonctions de 2 ou 3 variables : continuité, dérivées partielles, conditions nécessaires et conditions suffisantes d’extremum pour les fonctions de 2 variables. Exemples de calculs d’intégrales doubles et triples.
MATH227 Statistique et probabilités (3 crédits)
Notions de base : variables, tableaux, graphiques.
Distributions à une variable : caractéristiques de position, caractéristiques de dispersion.
Distributions à deux variables : covariance, coefficient de corrélation linéaire, ajustement linéaire.
Vocabulaire de base des probabilités , combinatoire simple.
Lois et variables : lois de probabilité discrètes (Bernoulli, binomiale, géométrique, de Poisson), variables aléatoires discrètes, espérance, variance, covariance, indépendance.
Lois de probabilité à densité (uniforme, normale, log-normale, exponentielle, gamma, beta), variables aléatoires à densité, espérance, variance, covariance, indépendance.
MATH228 Algèbre linéaire (3 crédits)
Espaces vectoriels : vecteurs, système générateur et système libre, bases, coordonnées, dimension, somme et somme directe, exemples dans R2 et R3.
Applications linéaires et matrices : applications linéaires, matrices d’applications linéaires, opérations sur les matrices, inversion et transposition des matrices, changement de bases, exemples dans R2 et R3.
Déterminants : formes multilinéaires alternées, définition des déterminants, propriétés des déterminants, calcul des déterminants.
Systèmes linéaires : systèmes homogènes, systèmes non-homogènes, systèmes de Cramer, systèmes généraux.
Utilisation de Matlab.
Semestre 3
MATH326 Mathématiques pour les sciences 3 (6 crédits)
Suites et séries numériques, Séries entières, séries de Fourier : méthodes pratiques.
Formes quadratiques. Réduction des matrices : vocabulaire de base et méthodes pratiques.
Compléments d’intégration : Méthodes de calcul des intégrales multiples, curvilignes et de surface.
Transformations intégrales : transformation de Laplace, transformation de Fourier).
MATH327 Mathématiques pour les sciences de la Terre (3 crédits)
Réduction des matrices carrées : vecteurs propres et valeurs propres, diagonalisation des matrices.
Formes bilinéaires et quadratiques : formes bilinéaires, décomposition des polynômes quadratiques, orthogonalité.
Systèmes différentiels linéaires : systèmes linéaires homogènes et non-homogènes, équations différentielles linéaires, solutions, systèmes à coefficients constants, équations différentielles linéaires à coefficients constants.
Calcul différentiel : applications dérivables, dérivées partielles, propriétés de la dérivation, extrema, dérivées d'ordre deux.
Calcul intégral : fonctions intégrables, intégrales multiples, intégrales curvilignes et de surface.
Semestre 4
MATH426 Mathématique pour les sciences 4 (6 crédits)
Algèbre linéaire : réduction des matrices, polynôme caractéristique, théorème de Cayley- Hamilton (admis)
Algèbre bilinéaire : forme bilinéaire, forme bilinéaire symétrique, forme quadratique, théorème d’inertie de Sylvester, réduction de Gauss, procédé d’orthogonalisation de Gram- Schmidt, application aux coniques.
Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel dans R2 et R3, optimisation des fonctions de R2 dans R, par réduction d’une forme quadratique, graphes et courbes de niveau, droite et plan tangents. Extrema libres (conditions du 1er et 2ième ordre). Extrema liés (multiplicateurs de Lagrange).
MATH427 Calcul scientifique (3 crédits)
Présentation générale des logiciels de calcul formel et de calcul scientifique.
Calculs de base : nombres complexes, polynômes et fractions rationnelles.
Calcul d'intégrales et de dérivées.
Résolution d'équations différentielles issues de la physique et de la chimie.
Séries de Fourier.
Introduction aux graphiques : représentation, sous différentes formes, de courbes et surfaces élémentaires.
Algèbre linéaire : Matrices et systèmes linéaires, déterminant, valeurs propres.
Méthodes de résolution d'équations non linéaires.
Ajustements par la méthode des moindres carrés.
MATH428 Statistique descriptive et probabilités (3 crédits)
Notions de base : variables, tableaux, graphiques.
Distributions à une variable : caractéristiques de position, caractéristiques de dispersion.
Distributions à deux variables : covariance, coefficient de corrélation linéaire, ajustement linéaire.
Lois et variables : lois de probabilité discrètes (Bernoulli, binomiale, géométrique, de Poisson), variables aléatoires discrètes, espérance, variance, covariance, indépendance.
Lois de probabilité à densité (uniforme, normale, log-normale, exponentielle, gamma, beta), variables aléatoires à densité, espérance, variance, covariance, indépendance.
Opérations sur les variables aléatoires : réduction, somme de variables indépendantes.
Échantillons : estimation sans biais, loi des grands nombres, théorème de limite central.
Semestre 5
MATH526 Algèbre linéaire et optimisation (3 crédits)
Rappels et compléments : espaces vectoriels. Calcul matriciel. Formes quadratiques.
Application aux ystèmes différentiels linéaires.
Espaces vectoriels normés : notions de base. Continuité et différentiabilité des applications dans les espaces vectoriels normés. Formule de Taylor et application à l’optimisation.
MATH527 Statistiques inférentielles (3 crédits)
Probabilités : lois de probabilité, variables aléatoires, lois normale, du khi-2, de Student, de Fisher-Snedecor, estimations, intervalles de confiance.
Tests d’hypothèses sur les moyennes : tests de conformité, tests d’homogénéité (échantillons indépendants, échantillons appariés)
Tests du khi-2: test d’ajustement, test d’ajustement à une loi, test d’homogénéité, test d’indépendance.
Analyse de variance : tests d’hypothèses sur les variances, plan d’expérience à un facteur, plans d’expérience à deux facteurs.
Statistique non-paramétrique : tests de Mann et Whitney, de Wilcoxon, de Kruskal et Wallis, de Friedman, de Spearman.
Semestre 6
MATH626 Statistiques inférentielles et outils logiciels (6 crédits)
Séries chronologiques. Échantillonnage, estimateur (maximum de vraisemblance et méthode des moments) estimateurs classiques, intervalles de confiance. Principe des tests et les différents tests classiques. Analyse de variance à un et deux facteurs, régression linéaire.
Apprentissage de logiciels de statistiques (Excel, SAS, SPlus).
