4ème GEOMETRIE COURS-Ex
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2.5 Droites remarquables d’un triangle
On ne peut pas tracer de diagonales dans un triangle, mais certaines droites sont intéressantes !
Les hauteurs
définition : hauteur issue d’un sommet : droite contenant ce sommet et perpendiculaire au côté opposé.
propriétés : les trois hauteurs sont concourantes, en un point (H) nommé orthocentre du triangle.
H à l’intérieur de ABC H = point A
H à l’extérieur de ABC
Les médianes
définition : médiane issue d’un sommet : droite contenant ce sommet et le milieu du côté opposé.
propriétés : les trois médianes sont concourantes, en un point (G) nommé centre de gravité du triangle, situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet.
Les médiatrices
définition : médiatrice d’un segment : droite perpendiculaire et contenant le milieu de ce segment.
propriétés : les trois médiatrices sont concourantes, en un point (O) centre du cercle circonscrit du triangle.
O à l’intérieur de ABC O = milieu de [BC] O à l’extérieur de ABC
Les bissectrices
définition : bissectrice d’un angle : droite qui le partage en deux angles égaux (et contenant son sommet).
propriétés : les trois bissectrices sont concourantes, en un point (I) centre du cercle inscrit du triangle.
H
H
G
A
G G
O
O O
I I I
4ème GEOMETRIE COURS-Ex
7 Exercices
1) Tracer deux droites (d) et (d’) se croisant, puis placer un point A extérieur à ces droites. Construire alors le triangle ABC tel que (d) et (d’) soient les médiatrices des segments [AB] et [AC].
2) Tracer un triangle ABC quelconque. Construire un triangle DEF possédant le même centre de gravité.
3) Soit un triangle ABC de centre de gravité G. On nomme DEF le triangle formé par les milieux des côtés du triangle ABC. Montrer que G est aussi le centre de gravité du triangle DEF.
4) Placer trois points A, B et C non alignés. Tracer les médiatrices des deux segments [AB] et [BC] ; le point d’intersection de ces dernières est nommé O. Démontrer que OA = OC.
5) Tracer un segment [AB] et placer un point I non aligné avec A et B. Construire alors le triangle ABC dont le point I est le centre du cercle inscrit.
6) Tracer un segment [AB] et placer un point H non aligné avec A et B. Construire alors le triangle ABC dont le point H est l’orthocentre.
7) Sur la figure ci-dessous, construire le centre O du cercle circonscrit, l’orthocentre H et le centre de gravité G du triangle. Ces trois points sont-ils alignés ? (on ne demande pas de le démontrer ; pour information, ils le sont toujours et forment la droite d’Euler du triangle). Quel est le rapport des longueurs GH et OG ?
