I. E SPACES DE DIMENSION FINIE

Espaces vectoriels normés de dimension finie

I. E SPACES DE DIMENSION FINIE

1) FNormes d’algèbres

(a) Pour A= (ai,j)∈Mn(R), on posekAk=





n

X

i,j=1

a²_i,j





1/2

.

Montrer quek.k est une norme d’algèbre, i.e. telle quekABk6kAk kBk. (b) PourA= (a_i,j)∈M_n(R), on posekAk= X

16i6n n

X

j=1

|ai,j|.

Montrer quek.kest une norme d’algèbre, et que(5/2)siλ∈Cest valeur propre deA, alors|λ|6kAk. 2) RFE=Rn[X]. D désigne l’endomorphisme deE défini parD(P) =P⁰. Calculer la norme deD pour

chacune des normes suivantes : siP =

n

X

k=0

a_kX^k,

(a) N1(P) =

n

X

k=0

|ak| (b) N₂(P) = sup

06k6n

|a_k| (c) N3(P) =

n

X

k=0

|P(k)|

(d) N4(P) = sup

t∈[−1,1]

|P(t)|.

3) RFE=M_n(K). Montrer quetrest continue, et calculer sa norme linéaire.

4) Soitn∈N,n>2. Existe-t-il une normek.k surMn(C)invariante par conjugaison, c’est-à-dire telle que (∀A∈M_n(C)) (∀P ∈GL_n(C))

P⁻¹AP

=kAk ?

5) SoitEunC-espace vectoriel normé de dimension finie, etu∈L(E)tel que pour toutx∈E,ku(x)k6kxk.

Montrer que la suite(uⁿ)_n∈N possède une sous-suite extraite convergeant simplement.

6) On noteS(Rⁿ,R^p)l’ensemble des applications linéaires surjectives deRⁿsurR^p(munis de leurs topolo- gies usuelles). Montrer queS(Rⁿ,R^p)est soit vide, soit dense dansL(Rⁿ,R^p).

7) RSoit Eun sous-espace vectoriel de dimensiond>1deC⁰([0,1],R). (a) Établir l’existence de(a1, . . . , ad)∈[0,1]^d tel que l’applicationN:f ∈E7→

d

X

i=1

|f(ai)|soit une norme.

(b) (5/2) Soit(f_n)une suite de fonction deE qui converge simplement vers une fonction f : [0,1]→R.

Montrer quef ∈E et que la convergence est uniforme.

8) PourAetBdeux parties d’un espace vectoriel norméEde dimension finie, on noteA+B={a+b, a∈A, b∈B}.

Montrer les implications suivantes :

• Aouvert=⇒A+B ouvert,

• Aet Bcompacts =⇒A+B compact,

• Afermé etB compact=⇒A+B fermé,

• Aet Bconnexes par arcs=⇒A+B connexe par arcs.

Si on suppose seulementAetB fermés, peut-on en déduireA+B fermé ? 9) On définit sur E=Rn[X]l’applicationΦqui à tout polynôme P associeP(1−X).

(a) Montrer queΦest un endomorphisme deE.

(b) CalculerΦ◦Φ, et(5/2)déterminer les éléments propres de Φ. (c) Calculerexp (Φ).

II. E XERCICES DIVERS

1) Soit a, b et c des nombres complexes, E =

u∈C^N,(∀n∈N)u_n+3=au_n+2+bu_n+1+cu_n . Montrer qu’il existeA >0 tel que

(∀u∈E) |u₅₄|6A(|u₀|+|u₁|+|u₂|)

2) RK Soit A ∈ Mn(C). Montrer que l’on a : exp (A) = lim

n→∞

I+¹_nAⁿ

, et (5/2) que la convergence est uniforme sur tout compact deM_n(C).

3) Soit E une algèbre de Banach. Montrer que l’ensemble Inv (E) des éléments inversibles de E est un ouvert deE.

4) (a) Montrer qu’il n’existe pas d’application continue injective de[0,1]²dans[0,1].

(b) Montrer qu’il n’existe pas d’application continuef :C^∗→Cvérifiant : (∀z∈C^∗)e^f(z)=z.

5) KNorme d’ordrep

Soitp >1et q >1tels que ¹_p+¹_q = 1. Pourx= (x1, . . . , xn)∈Kⁿ ety= (y1, . . . , yn), on note

kxk_p=





n

X

i,j=1

|xi|^p





1/p

et kyk_q =





n

X

i,j=1

|yi|^q





1/q

(a) Montrer que poura>0et b>0, montrer queab6¹pa^p+¹_qb^q. (b) Établir que

|xiyi| kxk_pkyk_q 6 1

p

|xi| kxk_p +1

q

|yi| kyk_q et en déduire que

n

X

i=1

|x_iy_i|6kxk_pkyk_q. (c) En écrivant

(|xi|+|yi|)^p=|xi|(|xi|+|yi|)^p−1+|yi|(|xi|+|yi|)^p−1 justifier : kx+yk_p6kxk_p+kyk_p.

(d) Conclure quek.k_pdéfinit une norme surKⁿ. (e) Montrer que : kxk_∞= lim

p→∞kxk_p.