Chapitre 10 : Aire d’une surface
Dans ce chapitre on pourra utiliser du papier millimétré.
1) Définition :
L’aire d’une figure est la mesure de sa surface dans une unité d’aire donnée.
Attention à ne pas confondre avec le périmètre qui est la mesure du contour.
Exemple :
1 cm² 3 cm²
Comme unité d’aire, on utilise le centimètre carré noté cm2 qui est un carreau de 1 cm de côté, ou bien le mètre carré noté m2 qui est un carreau de 1 mètre de côté, …
Pour calculer l’aire d’une surface, on compte le nombre de carreaux qu’elle contient ou alors on utilise une formule.
2) Aire d’un rectangle :
L = 3 cm
l
= 2 cmL’aire d’un rectangle est égale à sa longueur multipliée par sa largeur.
On note : Aire(rectangle)l= L
l
= Longueur x largeurExemple : Calculer l’’aire d’un rectangle de longueur 3 cm et de largeur 2 cm.
A = L
l
A = 3 2 A = 6 cm²
On écrit la formule, on remplace les lettres par les nombres, on écrit le résultat et on rajoute l’unité.
Remarque : Attention, la longueur et la largeur doivent être exprimées dans la même unité avant de faire la multiplication.
3) Aire d’un carré :
L’aire d’un carré est égale à son côté multiplié par lui-même.
c
On note : lAire(carré)l= c x c = côté x côté
Exemple : Calculer l’aire d’un carré de côté 7 mètres.
A = c c A = 7 7 A = 49 m²
4) Aire d’un triangle :
hauteur
base
Un triangle rectangle est la moitié d’un rectangle donc l’aire d’un triangle rectangle est égale à l’aire du rectangle divisée par 2.
La base du triangle est la longueur du rectangle et la hauteur du triangle est la largeur du rectangle.
L’aire d’un triangle rectangle est égale à sa base multipliée par sa hauteur divisée par 2.
A(triangle) = b h
2 = base x hauteur 2
Exemple : Calculer l’aire d’un triangle rectangle de base 6 mètres et de hauteur 3 mètres.
A = b x h 2 A = 6 x 3
2 A = 9 m²
Remarque : le côté le plus long situé en face de l’angle droit n’a pas été utilisé pour calculer l’aire du triangle rectangle.
5) Aire d’un triangle quelconque :
hauteur
base
La hauteur d’un triangle est la longueur du segment passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Ce côté opposé s’appelle la base.
Un triangle quelconque est la moitié d’un rectangle (on peut le partager en deux triangles rectangles).
On a donc la même formule d’aire que pour un triangle rectangle.
Exemple : Calculer l’aire d’un triangle de base 4 cm et de hauteur 3 cm.
A = b x h 2 A = 4 x 3
2 A = 6 cm²
Remarque : L’aire d’un triangle peut se calculer de trois manières différentes car il y a trois hauteurs avec trois bases qui sont les trois côtés du triangle.
La base n’est pas forcément située « en bas » du triangle et la hauteur n’est pas toujours située « à l’intérieur » du triangle.
6) Aire d’un disque :
Rappel : Le nombre
π
utilisé pour calculer le périmètre d’un cercle est un nombre infini qui commence par 3,14.Il y a une autre formule à connaître par cœur pour calculer l’aire d’un disque.
R
L’aire d’un disque est égale à son rayon multiplié par lui-même et par le nombre
π .
On note :lAire(disque) = R x R x
π
l= Rayon x Rayon xπ
On utilise la touche
l
de la calculatrice ou bien 3,14.Exemple : Calculer l’aire d’un disque de rayon 4 cm. Donner la valeur exacte puis la valeur approchée arrondie à l’unité.
A = R x R x
π
A = 4 x 4 xπ
A = 16 xπ
A= 16π
A ≃ 50 cm²
16
π
est la valeur exacte et 50 est la valeur approchée arrondie à l’unité.On utilise le symbole = pour la valeur exacte et le symbole ≃ pour la valeur approchée.
R
7) Changement d’unités d’aires :
côté = 1 dm côté = 10cm
L’aire d’un carré de côté 1 dm est L’aire d’un carré de côté 10 cm est A = c x c = 1 x 1 = l1 dm² A = c x c = 10 x 10 = l100 cm² 1 dm = 10 cm
Ces deux carrés ont exactement les mêmes dimensions donc ils ont la même aire.
On a donc 1 dm² = 100 cm²
Pour passer d’une unité d’aire à l’unité suivante, on multiplie ou divise par 100.
La virgule est décalée de DEUX rangs.
On peut utiliser un tableau comme celui des unités de longueur en coupant chaque colonne en deux :
Pour écrire un nombre dans le tableau, on place le chiffre des unités dans la COLONNE DE DROITE (des dm² par exemple) et on ne met pas la virgule.
Puis on ajoute des zéros jusqu’à la COLONNE DE DROITE (des cm² par exemple) et on place la virgule si besoin.
Attention, la colonne de gauche est celle des dizaines d’unités.
Exemples : 1 dm² = 100 cm² ; 1,8 km2 = 180 hm2 ; 63mm2 = 0,63 cm2 Remarque : l’unité souvent utilisée dans l’agriculture est l’hectare noté ha.
1 hectare = 1 ha = 1 hm².
( La forêt de Sénart fait environ 3000 hectares c’est-à-dire 30 km²)
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1 8 0
1 0 0
0, 6 3
Annexe : extrait du programme officiel :
4.3 Aires : mesure, comparaison et calcul d’aires - Comparer géométriquement des aires.
- Déterminer l’aire d’une surface à partir d’un pavage simple.
- Différencier périmètre et aire.
- Calculer l’aire d’un rectangle dont les dimensions sont données.
- Connaître et utiliser la formule donnant l’aire d’un rectangle.
- Calculer l’aire d’un triangle rectangle, *d’un triangle quelconque dont une hauteur est tracée.
- Connaître et utiliser la formule donnant l’aire d’un disque.
- Effectuer pour les aires des changements d’unités de mesure.
Poursuivre le travail effectué à l’école élémentaire, en confrontant les élèves à des
problèmes. La comparaison d’aires sans avoir recours à des formules est particulièrement importante pour affermir le sens de cette notion.
Certaines activités proposées conduisent les élèves à comprendre notamment que périmètre et aire ne varient pas toujours dans le même sens.
Une démarche expérimentale permet de vérifier la formule de l’aire du disque.
