MT 28 - Printemps 2016 Examen du 24 juin 2016: 8h00-10h00 1. On consid`ere quatre ´equations diff´erentielles (a) d

MT 28 - Printemps 2016

Examen du 24 juin 2016: 8h00-10h00

1. On consid`ere quatre ´equations diff´erentielles

(a) d⁴u

dx⁴ −sin(x)d²u

dx² = cos(x) (b) −d²y

dt² +ydy dt = 1 (c) − d²u

dz² +u³ = 1 et (d) − d³y dt³ +dy

dt + ln(1 +|y|) = t.

a. Dire parmi ces quatre ´equations lesquelles sont lin´eaires ou non lin´eaires en justifiant pr´ecis´ement votre r´eponse.

b. Donner l’ordre de chacune des ´equations et attribuez leur des conditions initiales pour en faire des probl`emes de Cauchy bien pos´es (en terme de conditions initiales seulement).

2. On consid`ere le probl`eme de Cauchy dy(t)

dt =y³(t) pour t >0 avec y(0) = 1. (1) a. Calculer sa solution au voisinage det = 0 ou bien ses solutions au cas o`u il en existerait plusieurs.

b. Enoncer le th´eor`eme de Cauchy-Lipshitz dans la version (globale) vue en cours appliqu´e

`

a cette ´equation. On prendra un soin ”extrˆeme” `a ´ecrire ses conditions.

c. On consid`ere le sch´ema

y_n+1 =y_n+hf(t_n+h

2, y_n+h

2f(t_n, y_n))

appel´e le sch´ema du point milieu pour la r´esolution de l’´equation diff´erentielle dy(t) dt = f(t, y). Montrer qu’il s’agit d’un sch´ema `a un pas et l’appliquer `a l’´equation diff´erentielle (1).

d. Utiliser la condition de consistance `a l’ordre 1

f(t, y) = Φ(t, y,0). (2)

et la condition de consistance d’ordre 2

∂f(t, y)

∂t +∂f(t, y)

∂y f(t, y) = 2∂Φ(t, y,0)

∂h pour tous t ety, (3)

1

pour v´erifier que le sch´ema du point milieu est consistant `a l’ordre 2.

e. Sans faire de calcul suppl´ementaire (qui seraient un peu longs), dites ce que vous pensez a priori de la convergence du sch´ema lorsqu’il est appliqu´e `a l’´equation diff´erentielle (1)?

3*. On consid`ere une poutre horizontale soumise `a un champ continux7→f(x) de forces verticales. On consid`ere une forme simplifi´ee du mod`ele qui r´egit la composante verticale x7→u(x) du champ de d´eplacement m´ecanique dans la poutre. Il s’´ecrit sous forme d’un probl`eme aux limites du quatri`eme ordre,

d⁴u

dx⁴(x) =f(x) pour x∈]0,1[, (4)

u(0) = 0, d²u

dx²(0) = 0, u(1) = 0, d²u

dx²(1) = 0. (5)

a. D´emontrer que ce probl`eme aux limites ´equivaut `a la formulation variationnelle con- stitu´ee

(i) de l’espace des fonctions admissibles

V ={v ∈H²(]0,1[) | v(0) = 0, v(1) = 0}

o`u l’espace de Sobolev H²(]0,1[) est d´efini par H²(]0,1[) ={v ∈L²(]0,1[) | dv

dx ∈L²(]0,1[) et d²v

dx² ∈L²(]0,1[)}, (ii) de la condition d’admissibilit´e

u∈V, (iii) et de l’´equation sous forme int´egrale

Z 1

0

d²u

dx²(x)d²v

dx²(x) dx= Z 1

0

f(x)v(x) dx pour tout v ∈V. (6) b. Montrer que pourf = 1, la fonctionu(x) = (x⁴−x³)/24 est solution de l’´equation sous forme int´egrale (6) pour toute fonction test v assez r´eguli`ere telle que v(0) = 0, v(1) = 1 etv⁰(1) = 3. Pour cela, on utilisera des int´egrations par parties.

c. Peut-on en d´eduire queu(x) = (x⁴−x³)/24 est solution du probl`eme aux limites (4-5)?

d. D´emontrer que pour f = 0, la solution de la formulation variationnelle est identique- ment nulle.

e. En d´eduire l’unicit´e de la solution. Pour cela consid´erer deux solutions diff´erentes u1

etu₂ et d´emontrer que leur diff´erenceu₁−u₂ est n´ecessairement nulle.

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