Commande d’interrupteurs statiques

Commande d’interrupteurs statiques

Obtention d’une grandeur alternative sinusoïdale à partir d’une source continue

Fonctions de connexion Mots clés :

o Électronique de puissance o Onduleurs

o Commande d’interrupteurs statiques

o Fonctions de connexion ou de commutation o Modulation de largeur d’impulsion (MLI) o Pulse width modulation (PWM)

Sommaire :

¾ Présentation

¾ Préambule

¾ Relations générales

¾ Application au cas sinusoïdal

¾ Représentation vectorielle

¾ Application au triphasé

¾ Exercice

¾ Corrigé

¾ Compléments

Présentation :

Un onduleur est un convertisseur statique permettant, à partir d’une source continue (tension ou courant), d’obtenir une grandeur (courant ou tension) alternative qu’on désire la plus sinusoïdale possible.

Le schéma général d’un tel convertisseur est donné ci-dessous, l’échange d’énergie se faisant entre une source de tension et une source de courant (dans un sens ou dans l’autre):

C1 C2

K11 K21

V11 V21

i11 I i21

K12 K22

u

V12 V22

i12 i22

Le convertisseur est constitué de 2 cellules de commutation C1 et C2 composées chacune de 2 interrupteurs fonctionnant périodiquement tous les Te.

C’est en jouant sur les temps d’ouverture et de fermeture des interrupteurs Kci (i ^ième

interrupteur de la cellule n : c) qu’on obtient, en moyenne, la variation temporelle désirée de la grandeur de sortie (u dans ce cas).

Préambule :

On considère l’échelle de temps divisée en intervalles d’une durée Te constante et f une fonction du temps définie dans chaque intervalle de la forme kTe et valant 1 une fraction α de kTe, et 0 jusqu’à l’intervalle suivant, la valeur de α variant d’un intervalle à l’autre :

α = α(kTe)

( ) [ ( ) ]

( ) ( )

[ ]

 



+ +

∈

∀

+

∈

= ∀

, 1 ,

0

, 1

e e

e e

e e e

e

T k

T kT kT

t

T kT kT

kT t t

f α

α

avec :

( ) [ ]

N k

kT

_e

∈

∈ 0 , 1

α

fonction de connexion ou de commutation

f(t)

α(kTe).Te

On associe à f la fonction φ définie sur l’intervalle [(k-1)Te,kTe] par :

( ) f ( ) t dt T

e e

kT T e

∫

k−

=

1

φ 1

autrement dit, φ) est égale à la valeur moyenne de f sur la période précédant l’instant kTe.

On a :

( )

[ ^{k − 1 T}

_e

= ^α ]

φ

et que, en conséquence :

^{φ ∈} [ ] ^{0 , 1 ∀ k}

Exemple :

( ) [ ] ^{0 , 10 0 , 1}

∈

= k

k kT

_e

α

1

f(t), φ

Te 2Te 3Te

0,2 0,4 0,6

kTe (k+1)Te (k-1)Te

1

Relations générales :

On appelle fonction de connexion associée à l’interrupteur Kci, la fonction du temps fci valant soit 0 soit 1 (0 interrupteur ouvert, 1 interrupteur fermé).

la commande des interrupteurs d’une même cellule étant complémentaire, la tension vci vaut 0 lorsque fci = 1, et E lorsque l’interrupteur complémentaire est fermé.

D’autre part, le courant traversant un interrupteur est égal au courant I lorsque celui-ci est fermé, 0 sinon

( )

1 1

2

1

+ =

=

−

=

c c

ci ci

ci ci

f f

I f i

f E v

toutes les grandeurs sont des grandeurs instantanées On a de plus les relations du circuit :

( ) ( ) (

(

₁₂

) (

₂₂

) (

_{22 12}

22 12

21 11

11 21

11 21

12 21

22 11

1 1

1 1

f f

E f

E f

E v

v u

f f

E f

E f

E v

v u

v u v

E

v u v

E

−

=

−

−

−

=

−

=

−

=

−

−

−

=

−

=

+

−

=

+

) )

+

=

Et, dans le cas particulier du monophasé, on a :

12 21

22 11

f f

f f

=

=

d’où :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( 1 ) ( 2 1

1 2

1

22 22

22 21

22 12

22

11 11

11 12

11 21

11

−

= +

−

=

−

=

−

=

−

)

= +

−

=

−

=

−

=

f E f

f E f

f E f

f E u

f E f

f E f

f E f

f E u

soit, en valeur moyenne sur une période Te :

( ) = ( ²

11 _{( )}

− ¹ ) ( = ²

22 _{( )}

− ¹ )

Te moy TE

mot

E f

f E u

_{moy Te}

relation qui généralise la relation usuelle (à rapport cyclique constant):

( 2 − 1 )

= E α

u

_moy

Application au cas sinusoïdal :

Supposons maintenant, qu’on veuille que la valeur moyenne de u évolue « lentement » au cours du temps selon une fonction sinusoïdale, le terme « lentement » signifiant que la période T=2π/ω de cette sinusoïde sera très grande devant Te :

( ) ( ) t V t

u

_{moy Te}

=

_m

sin ω .

en remplaçant on trouve alors pour la valeur moyenne de la fonction de commutation (cellule 1 par exemple):

( )

( ) = _  + t _ ^ E

t V

f

^m

Te

moy

1 sin .

2 1

11

ω

Comme f11 est inférieure à 1 :

( )

( ) ^t [ ^t ]

f

moyTe

1 sin . 2

1

11

= + ω

De la même façon, on trouve pour le deuxième interrupteur :

( )

( ) t [ t ]

f

moyTe

1 sin . 2

12

= 1 − ω

On obtient ainsi une tension moyenne sinusoïdale en sortie de l’onduleur de valeur efficace :

E E

V 0 , 707

2 ≈

=

note :

il faut bien sûr veiller à ce que les 2 interrupteurs d’une même cellule ne soient pas fermés simultanément, et tenir compte du fait qu’ils peuvent être encore conducteurs après une commande d’ouverture (temps toff, introduction d’un temps mort).

1/2

fc1moy(t) 1

fc2moy(t)

T

Il est également possible de faire varier l’amplitude de la tension de sortie en imposant des fonctions de connexion de la forme :

[ ]

1

. sin 2 1

1

11 /

≤

+

= A

t A

f

moy Te

ω

La tension efficace de sortie vaut alors :

2 A E V =

les fcimoy ne sont autres que les fonctions Φ définies en préliminaire et les fonctions f permettant de remonter aux fonctions de connexion sont les fonctions échantillonnées de fcimoy(t) tous les Te :

( ) ( )

moy Te

e

f

ci

t

kT =

^* _/

φ

en clair, la durée relative de fermeture d’un interrupteur dans l’intervalle [(k-1)Te, kTe] est égale à la valeur de la fonction fcimoy(kTe). Par exemple, si fcimoy(kTe)=0,7, la durée relative de fermeture de l’interrupteur sera de 70% :

1

fcimoy(t)

0,7 1Logique

0,4

t 0,7Te t + Te t + 2Te

0,4Te

™ Les variations de fcimoy(t) entre les instants t et t+Te sont perdues, les instants d’échantillonnage sont repérés par les flèches bleues.

™ Une modification de fcimoy(t) (élaborée par le système de commande) sera prise en compte au plus tôt immédiatement, et au plus tard à Te (plus tard ), tous les

événements étant équiprobables, il apparaît un retard moyen de Te/2 (ce qui va se traduire par un déphasage du fondamental de la tension alternative)

™ Les commutations peuvent débuter à n’importe quel moment de la période Te, la seule contrainte étant que leur durée corresponde à la valeur moyenne fcimoy (voir exercice)

™ La fréquence maximale de fcimoy(t) doit respecter le théorème de Shannon (ce qui n’est pas le cas de la figure ci-dessus):

T Te

2 1 f

Représentation vectorielle :

On peut représenter chaque fonction de connexion comme étant la ½ somme d’un vecteur unité de direction fixe et d’un vecteur de même module tournant à la vitesse +/-ω.

On obtient simplement la tension de sortie umoy/Te /E en faisant la différence des vecteurs associés à f11moy/Te et f21moy/Te :

umoy/Te /E = f11moy/Te- f21moy/Te

f11moy/Te=1/2(1+sinωt) +ωt

½ fixe 1

f21moy/Te=1/2(1-sinωt)

−ωt

le vecteur umoy/Te dont on a rapporté la norme à E est fixe et son amplitude est modulée sinusoïdalement, le maximum étant atteint pour ωt=π/2.

Cas triphasé :

C1 C2 C3

On retrouve 3 fois le schéma monophasé avec les tensions u12, u23 et u31 jouant le rôle de u.

Avec les mêmes raisonnements, on a les tensions instantanées entre phases:

( )

( )

(

_{31 11}

)

31

31 21

23

21 11

12

f f

E u

f f

E u

f f

E u

−

=

−

=

−

=

qui s’écrivent sous forme matricielle :

 







 







 







 







−

−

−

 =

 





 







31 21 11

31 23 12

1 0 1

1 1

0

0 1 1

f f f E

u u u

Le déterminant de la matrice étant nul, il n’est pas possible d’écrire de façon univoque les fci

en fonction des 3 tensions triphasées désirées et il faut donc choisir les valeurs moyennes sur Te des fci telles que les valeurs moyennes sur Te des uij forment un système triphasé équilibré.

U31

K21

K11 K31

V21

V11 V31

E i11 i11 I31

U12

U23

K22

K12 K32

V22

V12 V32

i22

i12 I32

En s’inspirant du cas monophasé, on peut choisir :

( )

 





 







 

 



 



 



 −

+

=

 

 



 



 



 −

+

=

+

=

3 . 4 sin 2 1

1

3 . 2 sin 2 1

1

. sin 2 1

1

/ /

/

31 21

11

ω π ω π

ω

t f

t f

t f

Te moy

Te moy

Te moy

D’autres solutions sont possibles, les contraintes à observer, outre celles imposées par les équations liant les uij aux fci, sont que les fci doivent être comprises entre 0 et 1

(par exemple toutes les fonctions de la forme :

( ) 



 



 −

+ 3

sin ω t 2 ^k π B

t

A

conviennent

pour peu que leur amplitude reste comprise entre 0 et 1) Le système donne :

 





 







 

 



 −

=

 

 



 −

=

 

 



 +

=

6 . 7 2 sin

3

6 . 3 2 sin

3

. 6 2 sin

3

/ / /

31 23 12

ω π ω π ω π

t E

u

t E

u

t E

u

Te moy

Te moy

Te moy

Les uijmoy forment bien un système triphasé équilibré de valeur efficace :

E E

U 0 , 612

2 3 2

1 ≈

=

Exercice :

On considère dans un premier temps que l’interrupteur K11 se ferme en premier au début de la période Te et ensuite K21 .

1) Tracer sur des chronogrammes les intervalles de conduction des interrupteurs K11 et K21 pour une tension de sortie V à f = 50Hz avec Fe=1/Te=250Hz (on pose N = fe/f) 2) En déduire le graphe de la tension instantanée V(t) et celui de Vmoy/Te(t)

3) Déterminer le contenu harmonique de V(t) (les coefficients en cosinus et sinus de la série de Fourier)

La durée de fermeture de K11 est maintenant centrée sur Te/2 pendant la première période Te, puis, pendant la seconde période c’est celle de K21 et ainsi de suite en alternant pendant les N périodes.

1) Mêmes questions que précédemment

Dans les deux cas, déterminer le déphasage du fondamental par rapport à l’instant 0 de la commande et le taux de distorsion THD30 pour les 30 premiers harmoniques.

Quel est le mode de commande le plus satisfaisant ? Corrigé :

Les coefficients complexes de la série de Fourier sont donnés par :

( )

( )

( ) ( ) _



 



=  +

+

= +

=

−

=

=

∑ ∑

∫

∞

=

∞

=

−

n n n

n

n n

n n

n n

n n

n

T

t n jn

b Arctg a t

n b

a t

n b

t n a

t v

jb a

c

dt e

t T v c

ϕ ϕ ω ω

ω

ω

; sin

sin cos

2 1 1

1 0

2 2

la valeur instantanée de v(t) est donnée par :

( ) t E ( f

₁₁

f

₂₁

)

v = −

où f11 et f21 valent 1 ou 0 selon l’instant kTe.

Premiers cas, commutations non symétriques par rapport à Te/2 :

f11 α(kTe)

1

f21 kTe (k+1)Te

t

k f11 f21

0 0,5 0,5

1 0,976 0,0245

2 0,794 0,206

3 0,206 0,794

4 0,0245 0,976

Contenu harmonique de v/E : Sur une période Te on a :

( ) ^{( )} ( ) e dt

dt T T e

k

c

^{k T jn t}

kT kT

kT

t n jn

e e e

e

ω α

α ω + −

+

+ −

∫

∫ ^{+ −}

= 1

¹

1

1 1

et :

∑

⁻

( )

=

=

1 0 N

k n

n

c k

c

on trouve :

( ) ^{( ) ( )}

( )

 





 



 −

−

=

 





 



 −

−

=

+

−

 −

 

 



 

 + +

−

+

−

− +

−

2 1 2 2

sin 2 1 1 2

2 1 2

2

2 1 1

2 1 1

N k j n N k

j n N

k k N j n

N k j n N k

j n N k

j n n

e n e

j n e

j

e n e

j n e

j k c

π π π

π

π α π

π

π π

π π

L’utilisation d’un tableur permettant le calcul complexe évite d’avoir à se lancer dans des calculs fastidieux ; on donne les résultats ci-dessous contenu harmonique et tension v(t) reconstituée à partir de la somme de ses composantes harmoniques.

On observe que tous les rangs sont présents avec des valeurs importantes pour 4 et 5, la présence de l’harmonique 5 étant surtout due au découpage Te=T/5

Le taux de distorsion atteint 103% (à comparer avec un signal carré THD30=46,6%

Le procédé est donc sans intérêt (autre que pédagogique) dans ce cas avec une valeur aussi faible de N.

On trouve pour a1 -0.558505465et b1 0,768716825, le déphasage du fondamental vaut :

10 62831853 2

, 0

1

1 1

π

ϕ   = − = −

 



= 

b

arctg a

soit l’angle correspondant à Te/2

N=5, commutations non symétriques par rapport à Te/2

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

racine(an^2+bn^2) an

bn

N=5, reconstitution 150 premiers harmoniques commutations non symétriques par rapport à Te/2

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

00,35 0,7 1,05 1,4

1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85 4,2

4,55 4,9 5,25 5,6

5,95 6,3 6,65 7

7,35 7,7 8,05 8,4

8,75 9,1 9,45 9,8 10,2

10,5 10,9

11,2 11,6

Deuxième cas : commutations symétriques par rapport à Te/2 :

f11 α(kTe) α((k+1)Te))/2

1

(2k+1)Te/2

f21 kTe (k+1)Te (k+2)Te

t

Il faut distinguer k pair et k impair : On trouve :

™ K pair

( ) ^{( )}

( )

 





 



 −

+

 







 







−

=

+

−

−







 

 − +

−

 −



 

 + + −

−

2 1 2

sin2 2 1 1 1 sin2

2 1 1 1

2

2

1

^{j nk}_N ^j _N^{n k}

N k N

jn N

k N

jn N k

jn

n

e n e

j

e n e

j e k c

π π

π π π

π π

π

π

™ K impair

( )

( )

 





 



 −

−

 







 







−

=

+

−

−







 

 − +

 −



 

 +

− −

2 1 2

sin2 2 1 1 1 sin2

2 1 2 1

2

1

^{j nk}_N ^j _N^{n k}

N k N

jn N

k N

jn N

j kn

n

e n e

j

e n e

j e k c

π π

π π π

π π

π

π

On observe par rapport au cas précédent une importante atténuation de l’harmonique 2, les rangs 4 et 5 restant toutefois inchangés à respectivement 42,7% et 26,8%

Le taux de distorsion présente une petite amélioration avec 100%( !!!)

On trouve pour a1 -0.5432131et b1 0,78043056, le déphasage du fondamental est lui aussi légèrement diminué :

33 , 10 608065123 2

, 0

1

1 1

π

ϕ   = − = −

 



= 

b

arctg a

N=5, commutations symétriques par rapport à Te/2

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

an bn

racine(an^2+bn^2)

N=5, commutations symétriques par rapport à Te/2, reconstitution 150 premiers harmoniques

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

00,35 0,7 1,05 1,4

1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85 4,2

4,55 4,9 5,25 5,6

5,95 6,3 6,65 7

7,35 7,7 8,05 8,4

8,75 9,1 9,45 9,8 10,2

10,5 10,9

11,2 11,6

Compléments :

N=25, commutations non symétriques par rapport à Te/2

-0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59

racine(an^2+bn^2) an

bn

Taux de distorsion pour les 60 premiers harmoniques : THD60=85,37%

N=25, reconstitution 150 premiers harmoniques commutations non symétriques par rapport à Te/2

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5

0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3 3,3 3,6 3,9 4,2 4,5 4,8 5,1 5,4 5,7 6 6,3 6,6 6,9 7,2 7,5 7,8 8,1 8,4 8,7 9 9,3 9,6 9,9 10,2 10,5 10,8 11,1

N=25, commutations symétriques par rapport à Te/2

-0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59

an bn

racine(an^2+bn^2)

THD60=78,72%

N=26, commutations symétriques par rapport à Te/2

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59

an bn

racine(an^2+bn^2)

THD60=74,6%

on peut tirer de ces graphiques les conclusions suivantes : Commutations non symétriques:

Le contenu harmonique se trouve groupé autour du rang N qui présente une amplitude importante (>40%) puis autour de 2N avec une amplitude max encore supérieure à 20%

etc….

Commutations symétriques :

Le contenu harmonique se trouve groupé autour du rang N/2 qui présente une amplitude plus modérée (environ 20%) puis aux environs de 2N/3 on trouve des harmoniques d’amplitude supérieure (de 23 à 40% selon le cas)

Avec N impair ce regroupement est plus large (diffus) qu’avec N pair pour lequel la

concentration des harmoniques est plus importante autour de N/2 avec comme inconvénients une amplitude de 23% pour le rang N/2 (au lieu de 18% N impair) et une proximité plus grande du fondamental.

En termes de taux de distorsion, on ne fait guère mieux que pour un signal carré.

Cependant, l’énorme avantage réside dans l’absence quasi-totale des harmoniques « proches » (de rang 3, 5, 7...,13) responsables de contraintes supplémentaires dans l’alimentation des machines électriques.

N=99, commutations symétriques par rapport à Te/2

-0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 106 113 120 127 134 141 148 155 162 169 176 183 190 197 204 an bn

racine(an^2+bn^2)

N=100, commutations symétriques par rapport à Te/2

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 106 113

120 127

134 141

148 155

162 169

176 183

190 197

204 an bn

racine(an^2+bn^2)