EXAMEN – ALGEBRE
Université du Littoral Côte d’Opale Mercredi 17 juin 2009, 9h-12h
L’usage de tout ouvrage de référence, de tout document et de tout matériel électronique (incluant le téléphone portable, la calculatrice, ...) est rigoureusement interdit.
Question de cours Soient E un espace vectoriel sur un corps R.
SoientF ={f1, f2, . . . , fn}etG ={g1, g2, . . . , gk} deux familles d’éléments deE.
On notehF i l’espace vectoriel engendré parF ethGi l’espace vectoriel engendré parG.
1. (a) Donner la définition de "F est génératrice deE".
(b) Donner la définition de "F est libre dans E".
(c) Comment appelle-t-on une "famille libre et génératrice de E" ? 2. hF i ethGi sont "supplémentaires dansE" s’écrit :E =hF iL
hGi.
Donner la définition de cette notion.
Application.E=R3;F ={(1,1,1)} etG={(1,1,−1),(1,−1,1)}.
Montrer quehF i ethGi sont "supplémentaires dansE".
Exercice 1
1. En détaillant les étapes du calcul, donner la valeur du déterminant
1 −1 1 −1
−1 2 −6 24
1 −6 24 −120
−1 24 −120 720 .
2. En détaillant les étapes du calcul, donner l’inverse de la matrice
M =
1 1 1
1 −1 1 1 1 −1
.
Exercice 2 L’ensemble R2[X] est connu comme étant un espace vectoriel de dimension 3 sur le corps R dont on connaît une baseB={1, X, X2}.
1
L1 Maths - Info Algèbre – S2 2009
On considère l’ensemble
E ={P(X)∈R2[X]tel que P(−1) =P(1)}.
1. Montrer queE est un sous espace vectoriel de R2[X].
2. Donner une base deE (sans justification).
On considère alors l’applicationf de E dansRqui à P(X)associeP0(0)(remarque :P0 est le polynôme dérivé de P).
1. Montrer quef est une application linéaire.
2. Donner successivement Ker(f) et Im(f).
3. Énoncer le théorème de la dimension et le vérifier pourf.
Exercice 3 On considère R3 muni de la base canonique B = {~e1 = (1,0,0), ~e2 = (0,1,0), ~e3 = (0,0,1)}
et de la base B0 ={~u= (−1,1,1), ~v= (2,1,1), ~w= (0,−1,1)} etf l’endomorphisme de R3 dont la matrice associée relativement à la base B est donnée par :
A=mat(f,B) =
1 1 1
1 −1 1 1 1 −1
.
1. Calculerf(~u), f(~v),f(w). En déduire~ D =mat(f,B0) la matrice associée à f relativement à la base B0.
2. DonnerP la matrice de passage deB vers B0 et vérifier que son inverseP−1 est
P−1 =
−13 13 13
1 3
1 6
1 6
0 −12 12
.
3. CalculerAP etP D. En déduire une expression deA utilisantD,P etP−1. 4. CalculerAn pour tout entier natureln.
–2/2– Mathématiques
