PARTIEL – ALGEBRE

PARTIEL – ALGEBRE

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Question de cours

1. Soit(G,·, e) un groupe.

Montrer que l’élément neutre edeG est unique.

2. Soit(G,·, e)un groupe, soit(G^′,·, e^′)un autre groupe et soitf:G→G^′un homomorphisme de groupe.

(a) Montrer que f(e) =e^′, i.e. quef préserve l’élément neutre.

(b) Soitx un élément d’inversex⁻¹, montrer quef(x⁻¹) =f(x)⁻¹, i.e. quef préserve l’inverse.

3. Soit(G,·, e)un groupe, soit(G^′,·, e^′)un autre groupe et soitf:G→G^′un homomorphisme de groupe.

Montrer que l’image Im(f) est un sous-groupe de G^′.

Exercice 1 Soitf la fonction de R² dansRqui à (x, y)∈R² associef(x, y) =x²+ 2y.

1. Rappeler la définition d’une fonctionh surjective de E dansF. La fonction f est-elle surjective ?

2. Rappeler la définition d’une fonctionh injective deE dansF. La fonction f est-elle injective ?

3. Soitx0 un réel fixé. Soitg la fonction de RdansRqui ày∈Rassocieg(y) =f(x0, y) =x²0+ 2y.

Montrer que g est bijective et déterminer sa bijection réciproque.

Exercice 2 On définit surR² la relation Rpar

(x, y) R (x^′, y^′)⇐⇒x²−2y^′ =x^′2−2y.

1. Montrer queRest une relation d’équivalence.

2. Soit(a, b)∈R². Vérifier que toute classe d’équivalence de(a, b), notéeR(a, b), est une paraboleP dont on déterminera une équation cartésienne en fonction des paramètres aetb.

3. Soitf : R² −→R l’application définie parf(x, y) =x²+ 2y.

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L1 Maths - Info Algèbre – S2 2008

(a) Montrer que,∀(x^′, y^′)∈ R(x, y), on a

f(x^′, y^′) =x²+ 2y.

Par conséquent on a que f(R(x, y)) ={x²+ 2y} pour tout(x, y)∈R².

(b) En déduire que l’application f induit une application bijective f de l’ensemble quotient R²/R dansR.

Exercice 3 Soitσ∈ S¹⁰ la permutation définie par

σ= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 5 7 6 3 1 10 9 8

!

1. Décomposerσ en un produit de cycles disjoints.

2. Décomposerσ en un produit de transpositions.

3. Déterminer la signature deσ.

4. Quel est l’ordre deσ? Calculerσ¹⁴⁵. 5. Trouver l’inverseσ⁻¹ deσ.

Exercice 4 SoitG=Z× {1,−1} le produit cartésien deZet{1,−1}.

On définit une loi de composition ⋆:G×G→Gpar la formule suivante : (m, α)⋆(n, β) = (m+αn, αβ)

pour tout m, n∈Zet toutα, β ∈ {1,−1}.

1. Trouver un élément neutre pour la loi de composition⋆ . 2. Montrer queGmuni de la loi ⋆est un groupe.

3. Le groupe(G, ⋆)est-il abélien ? Justifiez votre réponse.

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