EXAMEN – ALGEBRE
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Veuillez utiliser des feuillesblanchespour la question de cours et les exercices1et2, des feuillesjaunes pour les exercice 3et4, et des feuilles vertespour les exercices 5et6.
Question de cours Soient V etW deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K. 1. Rappeler la définition d’une application K-linéaire L:V −→W.
2. Rappeler les définitions du noyauker(L) de Let de l’image Im(L) de L.
3. Montrerker(L) est un sous-espace vectoriel de V. 4. Montrer queIm(L) est un sous-espace vectoriel de W.
Exercice 1 Considérons trois vecteurs deR3 :−→V1 = (2,−1,1),−→V2 = (1,−3,−2)et−→V3 = (1,7,8).
Le système{−→V1,−→V2,−→V3}forme-t-il une base de R3?
Exercice 2 On considère le sous-ensemble
P ={(x, y, z)∈R3 tels que2x−y+ 2z= 0}
de l’espace vectoriel réel R3.
1. Montrer queP est un sous-espace vectoriel de R3.
2. Donner une base deP et justifier qu’il s’agit bien d’une base.
Exercice 3 Soitf une application de R3 dansR3 définie par
f(x, y, z) = (2x+z, z−y,2x+y).
1. Montrer quef est une application linéaire.
2. Déterminerker(f).
3. L’applicationf est-elle bijective ?
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L1 Maths - Info Algèbre – S2 2007
4. Appliquer le théorème de rang pour trouver la dimension deIm(f).
5. DéterminerIm(f).
6. SoitF un supplémentaire quelconque de ker(f). A-t-on forcémentF ⊂Im(f)? Justifier.
Exercice 4 Pour quelles valeurs du paramètrem le système linéaire(S)admet-il une unique solution ?
(S) :
2 = −mx +2y −2z
0 = x −my +2z
−1 = y +z Résoudre le système(S) pour ces valeurs du paramètre m.
Exercice 5 On munitR2 de la base canonique B={e~1, ~e2}avec −→e1 = (1,0)et−→e2 = (0,1).
Soit l’application linéairef : R2 → R2 et soit A la matrice def relativement à la base B :
A=MB,B(f) = 2 3 4 1
! .
1. Soit un vecteur−→u ∈R2 admettant(x, y)pour coordonnées dans la base B. Déterminer f(−→u).
2. On change la baseBen la baseB′={−→v ,−→w}où −→v =−3−→e1+ 4−→e2 et−→w =−→e1 +−→e2. Donner la matrice de passageP deB à B′.
3. Déterminer la matriceB =MB′,B′(f) de f relativement à la baseB′. 4. ExprimerA en fonction deB etP. CalculerAn.
Exercice 6
1. Calculer le déterminant
1 ı 0 0 ı 1 ı 0 0 ı 1 ı 0 0 ı 1
.
2. On admet que
1 −12 +√23ı −12 −√23ı
−12 +√23ı 1 −12 +√23ı
−12 −√23ı −12 +√23ı 1
= 3 2 +3√
3 2 ı.
Calculer les déterminants
−12 −√23ı −12 +√23ı 1
−12 +√23ı 1 −12 +√23ı 1 −12 +√23ı −12 −√23ı
et
2 −1 +√
3ı −1−√ 3ı
−1 +√
3ı 2 −1 +√
3ı
−1−√
3ı −1 +√
3ı 2
.
–2/2– Mathématiques
