Les connecteurs propositionnels
cours d’introduction à la logique, UniL, Philipp Blum 27 février 2019
Points à retenir de la dernière leçon
1. La logique moderne a été créée par Gottlob Frege en 1879.
2. La philosophie est la science des arguments.
3. La logique est l’étude des inférences valides.
4. La logique porte sur un langage simplifié, idéalisé et formel.
5. La logique propositionnelle étudie les connecteurs propositionnels qui relient des phrases ; la logique des prédicats étudie en plus la quantification, les relations et les fonctions.
6. La syntaxe concerne la forme des expressions, la sémantique, leurs significations et la prag- matique, leur usage.
7. La formalisation des arguments est un art.
8. Les arguments ne sont pas vrais ou faux, mais valides ou invalides.
9. Une inférence est valide si et seulement s’il est impossible que ses prémisses soient vraies et sa conclusion fausse.
10. Il faut distinguer l’utilisation et la mention des mots et mettre des guillemets si l’on veut parler d’une expression linguistique et non pas de la chose qu’elle représente.
La fornalisation des arguments
Le vocabulaire du langageLde la logique propositionnelle :
(A1) des phrases atomiques «p», «q», «r», «s», «t» etc.,
(A2) des constantes logiques «∧» (parfois : « & ») (« et »), «∨» (« ou »), «¬» (parfois «∼») (« il n’est pas le cas que »), «→» (parfois : «⊃») (« si … alors· · · ») et «↔» (parfois : «≡») (« … si et seulement si· · · »), (A3) des parenthèses «(» et «)» et des virgules « , ».
Nous appelons «∧» « conjonction », «∨» « disjonction », «¬» « négation », «→» « implication » et «↔» « équi- valence ».
Les règles de formation du langageLde la logique propositionnelle : (B1) Toute phrase atomique est une formule bien formée.
(B2) Si «p» et «q» sont des formules bien formées, alors «(¬p)», «(p∧q)»,
«(p∨q)», «(p→q)» et «(p↔q)» sont des formules bien formées.
(B3) Il n’y a pas d’autres formules bien formées.
Le connecteur principal : ((2 + 3)·4)−5 ((5)·4)−5
(20)−5
= 15
La distinction entre sens et référence chez Frege (1879) : (2.1) L’étoile du matin est (identique à) l’étoile du soir.
(2.2) L’étoile du matin est (identique à) l’étoile du matin.
Le choix de mots ‹ logiques ›détermine si notre logique est extensionnelle ou intensionnelle :
(2.3) Si j’étudie la logique, je serai heureux et sage. J’étudie la logique. Donc je serai heureux et sage.
(2.4) Tous les hommes sont mortels. Socrate est un homme. Donc Socrate est mortel.
(2.5) Il est nécessaire que 8 soit la somme de 5 et 3. 8 est la somme de 4 et 4. Donc il est nécessaire que la somme de 5 et 3 soit (identique à) la somme de 4 et 4.
(2.6) Je sais tout ce que Robert a dit. Tout ce que Robert a dit est qu’il est fatigué et en a marre.
Donc Robert est fatigué et en a marre.
La logique modale est intensionnelle ;
(2.5′) Il est nécessaire que 8 soit la somme de 5 et 3. 8 est le nombre des planètes. Donc il est nécessaire que le nombre des planètes soit la somme de 5 et 3.
(2.5′′) Il est nécessaire que 8 soit la somme de 5 et 3. 8 est mon nombre préféré. Donc il est nécessaire que mon nombre préféré soit la somme de 5 et 3.
L’extensionalité comme indifférence :
(ext) Si une formule comme «p↔q» est vraie, alors la logique ne distingue pas entre «. . . p· · ·» et
«. . . q· · · ».
La négation
Dans les langues naturelles, il existe de nombreuses manières de nier une phrase telle que « j’aurais pu l’aider » : N1 Il n’est pas le cas que j’aurais pu l’aider.
N2 Il était impossible pour moi de l’aider.
N3 Je n’aurais pas pu l’aider.
N4 L’aider m’était impossible.
N5 Aurais-tu pu l’aider ? Non.
N6 C’est faux que j’aurais pu l’aider.
Nous pouvons définir la signification de «¬» par la table de vérité suivante : p ¬p
V F
F V
Cette table est une autre manière de dire : 1. Si «p» est vrai, alors «¬p» est faux.
2. Si «p» est faux, alors «¬p» est vrai.
Ou plutôt :
1. S’il est vrai quep, alors il est faux que¬p.
2. S’il est faux quep, alors il est vrai que¬p.
Trois principes de la négation :
• Leprincipe de bivalencedit que où bien une phrase «p» est vraie ou bien «p» est fausse (il n’y a pas de
• Le principe de non-contradiction dit que, pour toute phrase « p », il n’est pas possible que « p »et
«¬p» soient vraies ensemble. Si «p» est vrai, alors «¬p» ne l’est pas ; si «¬p» est vrai, alors «p» ne l’est pas.
• Leprincipe du tiers-excludit que soit «p» soit «¬p» est vrai – que «p∨ ¬p» (« soit p, soit¬p») est une vérité logique (une phrase que nous expliquerons plus tard).
Un rangement complet et exhaustif :
vrai faux
La loi de la double négation :
¬¬p p ¬E
La réduction à l’absurde : p→ ⊥
¬p ¬I∗
La conjonction
C1 Ils se sont mariés et ont eu un enfant.
C2 Ils ont eu un enfant et se sont mariés.
C3 Pierre et Paul étudient la logique, mais ils sont heureux et sages.
C4 Elle est allée voter bien que sa mère lui disait de rester à la maison.
C5 Je suis heureux et sage.
C6 Je suis heureux, et également sage.
Lés règles d’introduction et d’élimination : p, q
p∧q ∧I p∧q
p ∧E p∧q
q ∧E
La table de vérité :
p q p∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
La disjonction
D1 Il pleut ou il ne pleut pas.
D2 [Qu’est-ce que tu veux dans la vie ?] Me marier, être heureux ou gagner un million.
D3 [Qui prendras-tu dans ta voiture ?] Jean-Pierre ou Paul.
D4 [Qui gagnera à la loterie ?] Je vais gagner ou tu vas gagner.
D5 [A quelle heure arrive-t-elle ?] A six ou à sept heures.
D6 Tu es ou seras soit heureux soit sage.
La table de vérité :
p q p∨q
V V V
V F V
F V V
F F F
Les règles d’introduction et d’élimination : p
p∨q ∨I q
p∨q ∨I p∨q,¬p
q ∨E
L’implication et l’équivalence matérielle
I1 Si j’étudie la logique, je serai heureux et sage.
I2 À condition qu’elle fasse les exercices, elle réussira l’examen.
I3 Étant donné que je n’ai rien d’autre à faire, je peux très bien sortir ce soir.
I4 Quand il pleut, je suis triste.
I5 Si je ne m’appelle pas « Arthur », je ne ferai jamais de logique.
I6 Si je ne fais jamais de logique, alors je ne m’appelle pas « Arthur ».
Contrastons :
(2.7) Si je lâche le crayon, il tombe par terre.
(2.8) Si je lâche le crayon, il se colle au plafond.
(2.7′) Si je lâchais le crayon, il tomberait par terre.
(2.8′) Si je lâchais le crayon, il se collerait au plafond.
La table de vérité pour l’implication matérielle :
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
La règle d’élimination est lemodus ponens: p→p q
q →E
Nous avons également :
I9 Il n’est content que si elle vient aussi.
I10 Nous irons faire un pique-nique pourvu qu’il fasse beau temps.
I11 Je t’aide à condition que tu sois gentil.
I12 Il est invité du moment qu’il amène quelque chose à boire.
I13 Elle pourra venir à moins qu’elle n’amène pas sa soeur.
L’équivalence matérielle :
E1 Je suis content si et seulement si elle me salue.
E2 Il me rend toujours visite – et seulement – quand j’ai quelque chose à manger chez moi.
E3 Elle y arrivera au cas où, mais seulement au cas où elle se dépêche.
E4 Elle y arrivera si, mais seulement si elle se dépêche.
p→q, q→p
p↔q ↔I p↔q
p→q ↔E p↔q q→p ↔E
p q p↔q
V V V
V F F
F V F
F F V
Les tables de vérité
Construisons une table de vérité pour «¬(¬p∨¬q)». Nous commençons par l’interprétation des phrases atomiques : étant donné qu’il y en a deux, «p» et «q», nous avons deux colonnes, ce qui nous donne, avec les deux valeurs de vérité, quatre ‹ possibilités logiques › :
p q
V V
V F
F V
F F
Ces quatre lignes représentent soit les interprétations différentes de «p» et «q», soit des manières pour le monde d’être par rapport à la vérité, ou non, de «p» et «q».
Comme les deux phrases atomiques sont niées dans la formule «¬(¬p∨ ¬q)», nous ajoutons deux colonnes avec les valeurs de vérité de leurs négations :
p q ¬p ¬q
V V F F
V F F V
F V V F
F F V V
À partir de ces deux nouvelles colonnes, nous calculons la valeur de vérité de la disjonction des deux négations : p q ¬p ¬q ¬p∨ ¬q
V V F F F
V F F V V
F V V F V
F F V V V
Dans notre formule initiale «¬(¬p∨ ¬q)», cette disjonction est niée : p q ¬p ¬q ¬p∨ ¬q ¬(¬p∨ ¬q)
V V F F F V
V F F V V F
F V V F V F
F F V V V F
Dans la colonne de droite, on retrouve maintenant les valeurs de vérité de la formule initiale «¬(¬p∨¬q)» pour les quatre interprétations différentes de ses phrases atomiques. On voit que «¬(¬p∨ ¬q)» n’est vraie qu’à condition que les deux phrases atomiques «p» et «q» soient vraies ; si l’une d’entre elles (au moins) est fausse la phrase complexe l’est également.
Il existe une autre méthode pour arriver aux mêmes résultats. Nous commençons directement avec la formule dont les valeurs de vérité pour les différentes interprétations nous intéressent, et faisons une colonne pour chaque phrase atomique et connecteur qu’elle contient :
¬ (¬ p ∨ ¬ q)
Nous ajoutons les interprétations pour les phrases atomiques dans toutes les colonnes correspondantes :
¬ (¬ p ∨ ¬ q)
V V
V F
F V
F F
Nous commençons avec la première étape de complexité, et calculons d’abord les négations des phrases atomiques :
¬ (¬ p ∨ ¬ q)
F V F V
F V V F
V F F V
V F V F
Toujours selon l’ordre dont la formule est construite avec ses constituants, nous calculons la disjonction à partir des colonnes 2 et 5 :
¬ (¬ p ∨ ¬ q)
F V F F V
F V V V F
V F V F V
V F V V F
Nous sommes donc arrivés au connecteur principal, qui est la négation de toute la parenthèse :
¬ (¬ p ∨ ¬ q)
V F V F F V
F F V V V F
F V F V F V
F V F V V F
Nous avons mis la colonne de gauche en gras pour montrer qu’il s’agit de la colonne du connecteur principal et donc de celle où figurent les valeurs de vérité de la formule complexe. Cette colonne ne se trouve pas forcément à gauche.
Les connecteurs propositionnels
On peut constater cela en considérant les 16 possibilités différentes de distribuer les «V » et les « F » sur les quatre interprétations de «p» et «q» :
p q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
V V V V V V V V V V F F F F F F F F
V F V V V V F F F F V V V V F F F F
F V V V F F V V F F V V F F V V F F
F F V F V F V F V F V F V F V F V F
