A433. Ne pas s’emballer…. dans les emballages
Des cartons d’emballage tous identiques de forme parallélépipédique dont les côtés , et s’expriment en nombres entiers de décimètres, distincts entre eux, servent à emballer quatre catégories 1,2,3,4 de boites cubiques dont les volumes respectifs sont égaux à , 2, et 3 avec et nombres entiers exprimés en dm3, 20 dm. Dans chaque carton, on place le plus grand nombre possible de boîtes d’une catégorie donnée avec leurs arêtes parallèles aux côtés du carton. On désigne par le coefficient de remplissage qui est le rapport : volume total des boites de la catégorie rangées dans le carton / volume de ce carton.
On observe que 1 22 et on est tenté de dire que le coefficient de remplissage d’un carton est d’autant plus élevé que les cubes sont petits. Mais il ne faut pas s’emballer… On observe que 4 33
Quelles sont les dimensions d’un carton et quels sont les volumes des quatre boites cubiques ? Source : d’après Olympiades internationales de mathématiques 1976.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
On pose . Puisqu’on peut toujours ranger au moins une boîte, et que 1, il vient 3/ 1. On note le volume d’une boîte de catégorie , et le nombre de boîtes de catégorie que contient un carton.
. ! " . ! " . ! " et
! L’équation 4 33 devient alors #3 3, soit finalement :
$. !% $. !% $. ! % $. 3 ! % $. 3 ! % $. 3 ! %
Or on a de façon évidente$. ! % $. 3 ! % (et respectivement pour et ) donc l’égalité ne se produit que si les facteurs sont égaux deux à deux, soit $. ! % $. 3 !% (et respectivement pour et ).
. ! & 1 $. ! % $. 3 ! % . ! ' 3 ! (1 & 3 ! ) ! (1 & 3 ! ) 20! 9 On résout $. ! % $. 3 ! % en énumérant les cas 2 8 et 1 20 :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 X
3 X X X X X X
4 X X X X X X X X X X X X
5 X X X X X X
6 X
7 X X
8 X X
Seuls 9, 19 ,- 20 permettent d’obtenir trois valeurs distinctes , , 3,4,6 ,- 4,5,8. L’équation 1 22 devient 40, soit finalement :
$. ! % $. ! % $. ! % 4 $. 2 ! % $. 2 ! % $. 2 ! % On résout l’équation précédente en énumérant les cas , , 3,4,6 ,- 4,5,8 et 1 20 :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
3 4 6 X 4 5 8
On conclut que l’unique solution possible est :
1 2, 3 4, 5 6, 7 8, 9 :
