A433 : Ne pas s’emballer… dans les emballages
Des cartons d'emballage tous identiques de forme parallélépipédique dont les côtés a, b et c s'expriment en nombres entiers de décimètres, distincts entre eux, servent à emballer quatre catégories de boites cubiques ( i = 1,2,3,4) qui ont chacune pour volumes respectifs v, 2v, w et 3w avec v et w nombres entiers exprimés en dm3 ≤ 20 dm3 .Dans chaque carton, on place le plus grand nombre possible de boîtes avec leurs arêtes parallèles aux côtés du carton. On désigne par CR(i) le coefficient de remplissage qui est le rapport du volume total des boîtes de la catégorie i au volume du carton d'emballage.
On observe que CR(1) = 2*CR(2) et on est tenté de dire que le remplissage d'un carton est d'autant plus élevé que les cubes sont petits. Mais il ne faut pas s'emballer... On observe que CR(4) = 3*CR(3)
Quelles sont les dimensions des cartons et quels sont les volumes des quatre boîtes cubiques?
Soit ni le nombre de boîtes de type i que l’on peut emballer dans un carton ; si nous posons x3=u et y3=v, et notons pour simplifier l’écriture g=21/3 et h=31/3, les cotés xi des boîtes cubiques seront respectivement : x1=x, x2=gx, x3=y et x4=hy. Nous supposerons de plus que a<b<c. Le coefficient de remplissage est alors : CR(i)=nixi3/abc. Nous
déduisons de l’énoncé que n1=4n2 et n3=n4 De plus, ni=[a/xi]*[b/xi]*[c/xi], où [ ] désigne la partie entière.
Il découle de la relation n3=n4 que [a/x3]=[a/x4], [b/x3]=[b/x4] et [c/x3]=[c/x4] : en effet, on ne peut avoir deux inégalités de sens inverses.
Or si [a/y]=[a/hy]=p, py≤a<(p+1)y et phy≤a<(p+1)hy, donc a/(p+1)<y≤a/ph, ce qui suppose (p+1)/p>h, et qui n’est vrai que pour p=1 ou 2. On a donc phy≤a≤(p+1)y, avec de plus y<201/3, ce qui donne les possibilités (pour a mais aussi pour b et c):
p=1 : a=2, 1<y≤2/h ; a=3, 3/2<y≤3/h ; a=4, 2<y≤4/h, a=5, 5/2<y≤5/h
p=2 : a=3, 1<y≤3/2h ; a=4, 4/3<y≤2/h ; a=5, 5/3<y≤5/2h ; a=6, 2<y≤3/h ; a=7, 7/3<y<7/2h ; a=8, 8/3<y≤4/h, et comme :
1<3/2h<4/3<2/h<3/2<5/3<5/2h<2<3/h<7/3<7/2h<5/2<8/3<4/h<5/h, les seules valeurs de y qui correspondent à trois valeurs distinctes pour a, b et c sont situées entre 2 et 3h ou entre 8/3 et 4/h, d’où deux cas : a=3, b=4, c=6 (avec 8<y3≤9, donc v=9) ou a=4, b=5 et c=8 (avec 512/27<y3≤64/3 soit v=19 ou 20).
Il reste à vérifier que la condition sur les boîtes 1 et 2 est bien respectée. On a n1=4n2, ce qui sera vérifié si [a/x]/[a/gx]=2, [b/x]/[b/gx]=3/2 et [c/x]/[c/gx]=4/3.
Dans le premier cas, [3/x]=2, [3/gx]=1 donc 1<x≤3/2 et 3/2g<x≤3/g ; [4/x]=3, [4/gx]=2 donc 1<x≤4/3 et 4/3g<x≤2/g ; [6/x]=4, [6/gx]=3 donc 6/5<x≤3/2 et 3/2g<x≤2/g et
1<4/3g<3/2g<6/5<4/3<3/2<2/g<3/g : toutes les inégalités sont vérifiées pour 6/5<x≤4/3, soit 216/125<x3<64/27 donc u=2.
Dans le second cas, [4/x]=2, [4/gx]=1 soit 4/3<x≤2 et 2/g<x<4/g ; [5/x]=3, [5/gx]=2 donc 5/4<x≤5/3 et 5/3g<x≤5/2g ; [8/x]=4, [8/gx]=3 donc 8/5<x≤2 et 2/g<x≤8/3g, et comme 5/4<5/3g<4/3<2/g<8/5<5/3<5/2g<8/3g<4/g, toutes les inégalités sont vérifiées pour 8/5<x≤5/3, donc 512/125<x3≤125/27 ce qui ne donne pas de solution pour u.
En résumé la seule solution est a=3, b=4, c=6, u=2 et v=9.
