Il passe par A et B et par l'intersection de la médiatrice de AB et de la droite (Δ

D651 – Vite fait, bien fait

Problème proposé par Pierre Leteurtre

Étant donné deux points A et B et une droite (Δ) qui coupe la droite AB en un point C, discuter, selon la position de C sur la droite AB, l'existence et le nombre de cercles passant par A et B et tangents à (Δ). En donner une construction à la règle et au compas.

Solution proposée par Patrick Gordon

 Si C est entre A et B

Il n'y a aucun cercle répondant à la question.

 Si C est en A ou en B

Il n'y a qu'un cercle répondant à la question. Son centre est à l'intersection de la médiatrice de AB et de la perpendiculaire en A ou B suivant le cas à la droite (Δ).

 Si C est à l'infini (droite (Δ) parallèle à AB)

Il n'y a qu'un cercle répondant à la question. Il passe par A et B et par l'intersection de la médiatrice de AB et de la droite (Δ).

 Si C est extérieur au segment B

Il y a deux cercles répondant à la question. C'est le seul cas où la construction à la règle et au compas mérite quelque détail.

Soit T le point où l'un de ces cercles est tangent à la droite (Δ). De par la notion de puissance, on a : CA.CB = CT². Traçons un cercle arbitraire passant par A et B et soit T' un des points de contact de ce cercle avec une tangente issue de C. On a CA.CB = CT'², d'où la longueur t de CT.

Les points T1 et T2 où le cercle de centre C et de rayon t coupe la droite (Δ) sont les points de contact avec (Δ) des deux cercles cherchés. Leurs centres sont aux intersections respectives de la médiatrice de AB et des perpendiculaires en T₁ et T₂ à la droite (Δ).

Nota : pour faciliter la construction, on pourra prendre le cercle arbitraire passant par A et B avec pour diamètre AB.