un peu de thermo

intégrales curvilignes thermo

un peu de thermo

gaz parfaitpV =nRT

quantité de chaleur échangée durant transformation infinitésimale réversible ? différentes expressions de

la forme différentielleδQ

δQ=nCVdT + pdV, ounCpdT −Vdp, ouTdS

cycle de Carnot : deux isothermes + deux adiabatiques

1→2 détente isotherme T1=T2etpV =nRT1doncp=nRT1/V 2→3 détente adiabatique loi de LaplacepV^γconstante doncTV^γ−1aussi

3→4 compression isotherme T3=T4etpV=nRT4doncp=nRT4/V 4→1 compression adiabatique

quantité totale de chaleur échangée sur le cycle ?

intégrales curvilignes thermo

un peu de thermo

1→2 détente isotherme dT =0 doncδQ=nCVdT +pdV =pdV commep=nRT1/V : δQ=nRT1dV/V on intègre

Q1→2=RV₂

V₁ nRT1dV/V =nRT1ln(V2/V1)

2→3 détente adiabatique δQ=TdS=0 on intègre

Q2→3=0

intégrales curvilignes thermo

un peu de thermo

et de même

Q3→4=nRT4ln(V₄/V₃) et Q4→1=0

ainsi au final,

Q=Q1→2+Q2→3+Q3→4+Q4→1=nRT1ln(V2/V1) +nRT4ln(V4/V3) maisT2V₂^γ−1=T3V₃^γ−1doncT2/T3= (V3/V2)^γ−1

de mêmeT₄/T₁= (V₁/V₄)^γ−1 et commeT1=T2,T3=T4,

(V3/V2)^γ−1= (V4/V1)^γ−1 ainsiV3/V2=V4/V1,V4/V3=V1/V2

quantité totale de chaleur échangée durant le cycle de Carnot Q=nR(T1−T3) ln(V2/V1)

Qest l’intégrale curviligne de la forme différentielleδQsur le cycle

intégrales curvilignes formes différentielles

rappel : forme différentielle ω

différentielle :

ω(x,y,z) =P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz

représente une petite quantité, déterminée par de petites variations dex,y,z

exemples : différentielle de fonction df = ∂f

∂xdx + ∂f

∂ydy + ∂f

∂zdz ω(x,y) =ydx − xdy

δQrev=Cv(T)dT+pdV δWtravail élémentaire

intégrales curvilignes formes différentielles

formes exactes

forme exacte

ωest dite exacte siωest la différentielle d’une fonctionf

exemple : ω=2xydx + (x²+ sin(y))dy? elle est exacte : prendref(x,y) =x²y−cos(y) Condition nécessaire pour qu’une forme soit exacte :

siω(x,y,z) =P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dzest exacte, on peut trouverftelle queP= ∂f

∂x,Q= ∂f

∂y,R= ∂f

∂z et d’après le théorème de Schwarz

∂Q

∂x =∂P

∂y

∂R

∂x =∂P

∂z

∂Q

∂z =∂R

∂y. (si on n’a que deux variables, une seule équation !)

intégrales curvilignes formes différentielles

formes fermées

différentielle fermée

ω(x,y,z) =P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dzest fermée si

∂Q

∂x =∂P

∂y

∂R

∂x =∂P

∂z

∂Q

∂z = ∂R

∂y

ainsi,

toute forme exacte est fermée

exemple : la formeω=ydx − xdyest elle exacte ? non car ∂y

∂y =16= ∂(−x)

∂x

intégrales curvilignes formes différentielles

théorème de Poincaré

ω= −y

x²+y²dx + x

x²+y²dyest elle exacte ? on voit par le critère des dérivées partielle qu’elle est fermée.

et on reconnait dans l’expression deωles dérivées partielles dearctan(y/x), qui n’est pas définie six=0 : la forme n’est donc pas exacte sur son ensemble de définition.

théorème de Poincaré

siωest fermée, sur un ensemble de définition « sans trou » (domaine simplement connexe), alorsωest exacte

Ainsi,ω= −y

x²+y²dx + x

x²+y²dyest bien exacte si on la définit seulement sur le demi-planx>0, et alorsω=d(arctan(y/x)), mais n’est pas exacte sur son ensemble

de définition complet (le plan privé de(0,0), ensemble "à trou").

intégrales curvilignes intégrales curvilignes

définition de l’intégrale curviligne

on considère :

ωforme différentielle, ω=P(x,y)dx +Q(x,y)dy γcourbe, γ(t) = (x(t),y(t))entret=aett=b

l’intégrale curviligne deωsur la courbeγest R

γω=Rb

a P(x(t),y(t))x^′(t) + Q(x(t),y(t))y^′(t) dt

(chemin fermé : siγ(a) =γ(b): on note alorsH

γω)

intégrales curvilignes intégrales curvilignes

exemple 1 : retour sur le cycle de Carnot

en pratique, le cycle de Carnot n’est pas réalisable ; en diagramme entropique(T,S), on obtient une courbe de type ellipse, plutôt qu’un rectangle. Si on calcule la chaleur

échangéeQ=H

cycleδQ=H

cycleTdSsur un cycle elliptique d’équations T(t) = Ta+Tbcos(2πt/τ)

S(t) = Sa+Sbsin(2πt/τ) (avecτla période du cycle) on obtient doncQ=H

cycleTdS=Rτ

0[Ta+Tbcos(2πt/τ)]2πS_b

τ cos(2πt/τ)dt, soitRτ

0 2πTaSb

τ cos(2πt/τ) +^2πT_τ^bSbcos²(2πt/τ) dt, soit encore Rτ

0 2πTaS_b

τ cos(2πt/τ) +^2πT_2τ^bSb +^2πT_2τ^bSbcos(4πt/τ) dt.

Les cosinus qui apparaissent sont de périodeτetτ /2, donc leur intégrale est nulle, et finalementQ= 2πTbSb

2τ τ=πT_bSb...ce qui correspond à l’aire de l’ellipse.

intégrales curvilignes intégrales curvilignes

exemple 2

Intégrerxdy − ydxsur le cercleCde centreOet rayonR Ici on peut prendrex(t) =Rcos(t)ety(t) =Rsin(t)pourt∈[0,2π],

donc dx=−Rsin(t)dtet dy=Rcos(t)dt, donc l’intégrale vautR2π

0 R²cos²(t) +R²sin²(t)dt=R2π

0 R²dt=2πR².

Un autre exemple, pas très différent : intégrer−ydx + xdy

x²+y² sur le cercleCde centreOet rayonR.

intégrales curvilignes intégrales curvilignes

exemple 3

intégrale deω= (y+1)dx+ (x−y)dysur le segment[AB]avecA(−1,0)etB(1,0).

On décrit le segment par les équationsx(t) =−1+2t,y(t) =0 avect∈[0,1], donc dx=2dt, dy=0dt,

et l’intégrale vaut doncR

[AB]ω=R1

0 1×2dt+ (−1+2t−0)×0dt=R1

02dt=2.

intégrale de la même formeωsur le demi-cercle supérieurC, de centreOet de rayon 1 parcouru dans le sens trigonométrique :

On décritCpar les équationsx(t) = cos(t),y(t) = sin(t)avect∈[0, π], donc dx=−sin(t)dt, dy= cos(t)dt,

et l’intégrale vaut doncR

Cω=Rπ

0 (sin(t) +1)(−sin(t))dt+ (cos(t)−sin(t)) cos(t)dt= Rπ

0 (−sin²(t) + cos²(t) + sin(t) cos(t)−sin(t))dt=−2

Les résultats sont opposés : ce n’est pas un hasard, comme on va le voir.

intégrales curvilignes intégrales curvilignes

exemple 4

intégrer la forme différentielle "travail élémentaire"ω=P.~~ dldu poids~P=−mg~kd’un objet en chute libre d’un pointAvers un pointB.

En coordonnées cartésiennes le vecteur déplacement élémentaire est dl~ =dx~ı+dy~+dz~k.

(en coordonnées polaires on auraitdl~ =dru~r+rdθ ~uθ, en cylindriques dl~ =dru~r+rdθ ~uθ+dz~k, ...)

Donc iciω=P.~~ dl=−mgdz.

On peut simplement paramétrer la courbe parzentrez_Aetz_B, donc R

[AB]ω=RzB

zA −mgdz=−mgzB+mgzA.

S’il s’agit d’une chute,Best en dessous deAet ce nombre est positif : le poids favorise le déplacement.

intégrales curvilignes forme exacte

intégrale d’une forme exacte

Siγest un courbe etωun forme exacte, avecω=dF alors

R

γω=Rb

a dF =F(γ(b))−F(γ(a))

donc l’intégrale d’une forme exacte ne dépend que du point de départ et du point d’arrivée, pas du chemin suivi, des états intérmédiaires. En particulier : siωexacte

H

γω=0 l’intégrale d’une forme exacte sur un chemin fermé est nulle exemple : dS=δQ/T est exacte

exemple : si on reprend l’exemple 3,ω= (y+1)dx+ (x−y)dyest exacte, c’est la différentielle deF(x,y) =xy+x−y², donc l’intégrale entreAetB, quel que soit le

chemin suivi, vaut

F(B)−F(A) =F(1,0)−F(−1,0) = (0+1−0²)−(0−1−0²) =1+1=2

gradient et champs de vecteurs gradient d’une fonction

gradient d’une fonction

on définit le gradient def(x,y)

grad(f~ ) = ∂f

∂x~ı+ ∂f

∂y~ =











∂f

∂x

∂f

∂y











(et de même pour une fonction de 3 variables)

kfixé :f(x,y) =kest l’équation d’une courbe

(x(t),y(t))paramétrage de la courbe : pour toutt f(x(t),y(t)) =k en dérivant :x^′(t)∂f

∂x +y^′(t)∂f

∂y =0, donc le vecteur vitesse et le gradient











∂f

∂x

∂f

∂y









 sont

orthogonaux : le gradient est un vecteur normal à la surface.

gradient et champs de vecteurs gradient d’une fonction

interprétation géométrique

petit déplacement dans le sens du gradient : de(x,y)vers(x^′,y^′), on prendx^′=x+t∂f

∂x ety^′=y+t∂f

∂y (t>0 petit),

alorsf(x^′,y^′) =f(x,y) +t||grad(F~ )||²: le gradient pointe dans le sens desfcroissants interprétation géométrique

sif(x,y) =kest une courbe,grad(f)~ est orthogonal à la courbe et pointe dans le sens desf croissants

sif(x,y,z) =kest une surface,grad(f)~ est orthogonal à la surface et pointe dans le sens desfcroissants

exemple 1 : cerclex²+y²=1. Le gradient en(x,y)vaut(2x,2y): c’est le vecteur 2OM~ qui est bien orthogonal au cercle et pointe vers l’extérieur.

exemple 2 : plan 2x+3y−z=4. Le gradient est constant, et vaut(2,3,−1). On retrouve l’expression d’un vecteur normal au plan vu en terminale et en S1 !

gradient et champs de vecteurs champ de vecteurs

circulation d’un champ de vecteurs

circulation d’un champ de vecteurs :

la circulation du champ de vecteurs~A=P(x,y)~ı+Q(x,y)~le long deγest définie comme l’intégrale curviligne surγde~A.~dl

champ de gradient

si~Aest un champ de gradient (~A=grad(F~ )), la circulation de~Ane dépend pas du chemin suivi

En effet~A.~dl =P(x,y)dx+Q(x,y)dy.

Dire que~A=grad(F~ )revient exactement à dire que~A.~dl=dF, donc~Aest un champ de gradient si et seulement si~A.~dlest exacte.

exemple : en mécaniqueF~.~dlest exacte ou non, selon que la force est conservative ou non ; cela revient à demander que le travail (la circulation de~F) ne dépendent pas

du chemin suivi.

gradient et champs de vecteurs Green-Riemann

formule de Green-Riemann

Ddomaine de bordγ(γparcouru en gardantDà gauche) formule de Green-Riemann

H

γP(x,y)dx+Q(x,y)dy=R R

D(∂Q

∂x −∂P

∂y)dxdy en particulier si

P(x,y) =−yetQ(x,y) =0 ou bien

P(x,y) =0 etQ(x,y) =x ou bien

P(x,y) =−y/2 etQ(x,y) =x/2 on en déduit l’

aire deD

R R

Ddxdy=H

γ−ydx=H

γxdy=¹₂H

γ(−ydx+xdy)