AP 15 - Le produit scalaire dans le plan - TS
Les 4 expressions du produit scalaire : (en pratique, la première expression est peu utilisée)
• Soient ⃗ u et ⃗ v deux vecteurs du plan : ⃗ u.⃗ v = 1 2
( ∥⃗ u +⃗ v ∥
2− ∥⃗ u∥
2− ∥⃗ v ∥
2) .
• Dans un repère orthonormé (
O, → − ı , − → ȷ )
, si on a ⃗ u(x; y) et ⃗ v ( x
′; y
′)
alors ⃗ u.⃗ v = xx
′+ y y
′.
• A, B et C sont tels que ⃗ u = −−→
AB et ⃗ v = −−→
AC alors
⃗ u.⃗ v = ∥⃗ u ∥ × ∥⃗ v ∥ × cos (⃗ u,⃗ v ) = AB × AC × cos B AC .
• Soient A, B et C trois points de l’espace et H le projeté orthogonal de B sur (AC ).
On a : −−→
AB . −−→
AC = −−→
AB . −−→
AH . De plus −−→
AB . −−→
AC = −−→
AB . −−→
AH =
{ AB × AH si −−→
AB et −−→
AH ont le même sens
−AB × AH si −−→
AB et −−→
AH n’ont pas le même sens . Propriété 1
Illustration de la quatrième expression du produit scalaire
AOB aigu AOB droit AOB obtus
H O
B
A H= O
B
A H O
B
A
−−→ O A . −−→
OB = O A ×OH −−→
O A . −−→
OB = 0 −−→
O A . −−→
OB = −O A × OH Application 1 :
Dans chaque cas, calculer −−→
AB . −−→
AC (ou ⃗ u.⃗ v pour le cas 2) :
cas 1 cas 2 cas 3
2
C
B
A H 1 2 3 7
1 2 3 4
0
⃗v
⃗ u
A B
C
2π 2 3
2
Le repère est orthonormé
À quoi ça sert ?
Première utilisation : démontrer que des vecteurs sont orthogonaux
— ⃗ u et ⃗ v sont deux vecteurs non nuls. Dire que ⃗ u et ⃗ v sont orthogonaux signifie que si
⃗ u = −−→
AB et ⃗ v = −−→
C D alors les droites ( AB ) et (C D ) sont perpendiculaires.
— Par convention, le vecteur nul ⃗ 0 est orthogonal à tout autre vecteur.
Définition 1
⃗ u
⃗ v
A B
C D
⃗
u.⃗ v = 0 si, et seulement si, les vecteurs ⃗ u et ⃗ v sont orthogonaux.
Propriété 2
Application 2 :
Dans un repère orthonormé, on donne les vecteurs −−→
AB (−2; 3) et −−→
C D (6; 4).
Les vecteurs −−→
AB et −−→
C D sont-ils orthogonaux ? Justifier.
Deuxième utilisation : avec la deuxième expression. Déterminer l’équation cartésienne d’un plan.
Dire qu’un vecteur non nul ⃗ n est normal à une droite (d) signifie que ⃗ n est orthogonal à un vecteur directeur de la droite (d ).
Définition 2
Soit (d ) la droite passant par A de vecteur normal ⃗ n.
Alors (d) est l’ensemble des points M tels que −−−→
AM . ⃗ n = 0.
Propriété 3 (Conséquence)
Application 3 :
Dans un repère orthonormé, on considère la droite (d) passant par le point A(2; 3) et de vecteur normal
⃗ n(4; 5). Soit M (x; y ) un point de (d).
Traduire l’égalité −−−→
AM . ⃗ n = 0 afin d’obtenir une équation cartésienne de (d ).
2
— Une droite (d ) de vecteur normal ⃗ n(a; b) a une équation cartésienne de la forme ax + b y + c = 0 où c est un nombre réel.
— La droite (d) d’équation cartésienne ax + b y + c = 0 avec (a; b) ̸= (0; 0) admet le vecteur
⃗ n(a, b) pour vecteur normal.
Propriété 4
Application 4 :
Dans un repère orthonormé, on a A(5;−2), B (2;−1) et C (1; 3). Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de A du triangle ABC .
Exercices Exercice 1
Dans chaque cas, calculer −−→
AB . −−→
AC en justifiant la réponse.
figure 1 figure 2 figure 3
A B
C
120ˇr 2
3
C
A 4 B
C
A B
3 5
le quadrillage est orthonormé
Exercice 2
1. (d) est la droite de vecteur normal ⃗ n(2; − 1) et passant par le point A (
− 5; 1 2 )
. Déterminer une équation de (d).
2. Soient (d
1) et (d
2) les droites d’équations respectives 5x − 4y + 8 = 0 et y = 2x + 3.
Pour chacune d’elles, déterminer les coordonnées d’un vecteur normal.
3. (d) et (d
′) sont deux droites d’équations respectives : 3x − 5y + 2 = 0 et 2x + 6 5 y = 0.
a. Préciser un vecteur directeur et un vecteur normal pour chacune de ces droites.
b. Démontrer que ces droites sont perpendiculaires.
4. Soit D( − 2; 2), E (4; − 1) et F (1; 3).
Déterminer une équation de la droite perpendiculaire à (DE ) passant par F . 5. Soit (d) la droite d’équation 5x − 3y + 1 = 0.
Déterminer une équation de la droite ∆ perpendiculaire à (d) passant par le point P (2; −1).
Exercice 3
ABC D et B E F G sont deux carrés placés comme sur la figure ci-dessous.
Que peut-on dire des droites (AG) et (EC ) ? Justifier la réponse.
A B E
C D
F G
