Chapitre n°11 : Produit scalaire, partie 1

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Chapitre n°11: Produit scalaire, partie 1

Objectifs.

O18. Définition, propriétés.

i. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs par différentes méthodes : - projection orthogonale ; - analytiquement ; - à l'aide des normes et d'un angles ; - à l'aide des normes.

[Démonstration : il est intéressant de démontrer l'égalité des expressions attachées à chacune de ces méthodes]

019. Applications du produit scalaire : calculs d'angles et de longueurs.

Durée approximative : 10 cours

Cours n°1 I) Norme , projeté orthogonal

Définition n°1

On appelle norme d'un vecteur ⃗u la longueur de ce vecteur. On la note ‖⃗u‖. Définition n°2

On appelle projeté orthogonal d'un point C sur une droite (AB) le point d'intersection de la perpendiculaire à la droite (AB) passant par C avec cette droite (AB)

Figure :

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Activité d'approche n°1

Le théorème de Pythagore permet de caractériser les triangles rectangles :

« ABC est rectangle en A » équivaut à « AB² + AC² = BC² » ou « AB² + AC² – BC² = 0 » On note  = 1

2 ( AB² + AC²– BC²)

A. Que se passe-t-il quand le triangle ABC n’est pas rectangle en A ?

B. Soit H le projeté orthogonal de C sur (AB), plusieurs cas de figures sont possibles.

1- Établissez que dans tous les cas , on a : ^ = 1

2 ( AB² + AH²– BH²) .

2- Suivant la position de H sur (AB) , exprimez ^ en fonction de AB et AH.

Peut-on regrouper les résultats obtenus en deux cas ?

est appelé produit scalaire des vecteurs ^⃗ABet ^⃗AC, noté^⃗AB.^⃗AC

Cours n°2 II) Définitions du produit scalaire

Définition n°3 : produit scalaire avec ^

Soit trois points A, B et C trois points du plan. Soit le nombre :

 = 1

2 ( AB² + AC²– BC²).

est appelé produit scalaire des vecteurs ⃗AB et ⃗AC, noté⃗AB.^⃗AC

Définition n°4 : produit scalaire avec le projeté orthogonal

Soit deux vecteurs ⃗u et ⃗v et trois points A, B et C tels que : ⃗u= ⃗ABet ⃗v =

⃗AC. Soit H le projeté orthogonal de C sur (AB).

Le produit scalaire des vecteurs ⃗u et ⃗v est le nombre réel noté ⃗u.⃗v , défini par :

● Si ⃗u= ⃗0, alors ⃗u.⃗v =0.

● Si ⃗v

≠

^⃗⁰, alors :

 Si les vecteurs ⃗AB et ⃗AH sont de même sens, alors ⃗u.⃗v = AB×AH

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 Si les vecteurs ⃗AB et ⃗AH sont de sens contraires, alors ⃗u.⃗v = – AB×AH Figure :

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Exemple n°2 :

ABC est un triangle équilatéral de côté 4. Calculez le produit scalaire ⃗AB.^⃗AC

…...

...

Exemple n°3 :

1. ⃗ABet ⃗AC sont deux vecteurs colinéaires et de même sens.

Calculez ⃗AB.^⃗AC .

…...

2. ⃗ABet ⃗AC sont deux vecteurs colinéaires et de sens contraire.

Calculez ⃗AB.^⃗AC .

…...

Exercice n°1

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=4 et AC=6.

1. Calculez ⃗BA.⃗BC

2. Soit I le milieu de [BC]. Calculez ⃗BI .⃗BC 3. Calculez ⃗AI .⃗AC

4. Calculez ⃗BA.⃗CB Exercice n°2

ABCD est un parallélogramme tel que^{^}^DAB= 

3 . H est le projeté orthogonal de B sur (AD). On a AD=6 et AB=5

1. Calculez AH.

2. En déduire⃗AD .⃗AB

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Activité d'approche n°2

On reprend l'act. n°1.

A. En considérant les différents cas précédents, montrez que :  = AB×AC×cos(),  étant la mesure de l’angle formé par les vecteurs ⃗ABet ⃗AC.

B. On se place dans un repère orthonormé, on note ⃗u et ⃗v les vecteurs ⃗AB et ⃗AC . Soit (x ; y) et (x’ ; y’) les coordonnées des vecteurs ⃗u et ⃗v .

1- Montrez que = 1

2

[

‖⃗u‖²+‖⃗v‖²−‖⃗v−⃗u‖²

]

2- Calculez Δ en fonction de x , y , x’ et y’ .

Cours n°3

Définition n°5 : produit scalaire avec le cosinus (équivalente à la déf.n°3) Soit deux vecteurs ⃗u et ⃗v .

Si ⃗u

≠

^⃗0 et ⃗v

≠

^⃗0

,

le produit scalaire ⃗u.⃗v est le réel défini par :

⃗u.⃗v =...×...×...

Sinon,⃗u.⃗v= …...

Exemple n°4 :

ABC est un triangle équilatéral de côté 6. Calculez le produit scalaire^⃗AB.⃗AC

…...

...

Définition n°6 : produit scalaire avec les coordonnées (équivalente à la déf.n°3)

Soit deux vecteurs ⃗u et ⃗v . Et soient (x;y) et (x';y') leurs coordonnées respectives dans un repère orthonormé.

le produit scalaire ⃗u.⃗v est le réel défini par : ⃗u.⃗v =...×...+...×...

Exemple n°5 :

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O; ⃗i , ⃗j ). Soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs de coordonnées respectives (4;5) et (-2;3). Calculer ⃗u.⃗v

…...

...

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Exercice n°3 Ex. 19 p.200 Exercice n°4

Ex.21 p.200

Exercice n°5 Ex.88 p.205 Exercice n°6

Ex.98 p.206 (AC=7 et non pas 9)

Activité d'approche n°3

En utilisant une des quatre expressions de  obtenue aux activités 1 et 2, montrez que :

1- Quels que soient les vecteurs ⃗u et ⃗v , ⃗u.⃗v = ⃗v .⃗u

2- Le produit scalaire de deux vecteurs est nul si et seulement si les vecteurs forment un angle droit.

3- Quels que soient les vecteurs ⃗u , ⃗v et w⃗ et le nombre réel k , en se plaçant dans un repère orthonormal ,on a :

a- ⃗u.(k ⃗v ) = k (⃗u.⃗v )

b- ⃗u.(⃗v + w⃗ ) = ⃗u. ⃗v + ⃗u . w⃗

4- Soit quatre points A, B, C et D et les projetés orthogonaux C’ et D’ des points C et D sur (AB), on a ⃗AB.⃗CD= ⃗AB.⃗C ' D ' .

Cours n°4 III) Propriétés

Propriété n°1

Quels que soient les vecteurs ^⃗^u et ⃗v, ⃗u.⃗v= ⃗v .⃗u Propriété n°2 : caractérisation de la perpendicularité.

Le produit scalaire de deux vecteurs est nul si et seulement si les vecteurs forment un angle droit.

Quels que soient les vecteurs ⃗u , ⃗v et w⃗ et le nombre réel k , en se plaçant dans un repère orthonormal, on a :

a- ⃗u.(k ⃗v ) = k (⃗u.⃗v )

b- ⃗u.(⃗v + w⃗ ) = ⃗u. ⃗v + ⃗u. w⃗

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(11)

Soit quatre points A, B, C et D et les projetés orthogonaux C’ et D’ des points C et D sur (AB), on a : ⃗AB.⃗CD= ⃗AB.⃗C ' D ' .

Le carré scalaire d'un vecteur ⃗u est le produit scalaire ⃗u. ⃗u, noté ⃗u². On a : ⃗u²=‖⃗u‖²

Si deux point A et B sont tels que ⃗u= ⃗AB . On a : ⃗AB²= AB^2.

Exemple n°6 :

Soit ABCD un rectangle tel que AB=2 et BC=3. Calculez le produit scalaire

⃗DB.^⃗AC .

…...

...

Exemple n°7 :

Soit ABCD un carré de côté 4 et I le milieu de [AD]. Calculez le produit scalaire

⃗AB .^⃗IC

…...

...

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(13)

Soit deux vecteurs ⃗u et ⃗v . Alors :

⃗u.⃗v = 1

2 ( ‖⃗u+⃗v‖²–‖⃗u‖²–‖⃗v‖²)

⃗u.⃗v = 1

2 ( ‖⃗u‖²+‖⃗v‖²–‖⃗u−⃗v‖²)

⃗AB. ⃗AC= 1

2 [AB² + AC²–BC²] Démonstration :

( ⃗u+ ⃗v )² = …...

…...

( ⃗u– ⃗v )² = …...

…...

( ⃗u+ ⃗v ).( ⃗u– ⃗v ) = …...

…...

Ex.51 p.202 Exercice n°9

Ex.52 p.202

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Cours n°5

IV) Conséquences de l'expression analytique du produit scalaire

Propriété n°8 : caractérisation cartésienne de la perpendicularité.

Dans un repère orthonormé, on note (x;y) et (x';y') les coordonnées des vecteurs ⃗u et ⃗v .

Dire que⃗uet⃗v sont orthogonaux revient à dire que xx' + yy'=0.

Démonstration :

…...

...

…...

...

Exemple n°7 :

Dans un repère orthonormal, soit trois points A(0;4), B(-2;0) et C(3;0). ABC est un triangle tel que AB=5, AC=3 et BC=6. Calculez le produit scalaire⃗AB.^⃗AC

…...

...

Exemple n°8 :

Utilisez les calculs de l'exemple n°7 pour calculer une valeur approchée de l'angle (⃗AB,^⃗AC )

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…...

...

Ex.108 p.206

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Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.

Act.1 : 2. ^AB×AH ou – AB×AH Ex.1 : 1.16 2. 26 3.18 4. -16 Ex.2 : 1. 2,5 2. 15

Act.2 : AH=...

Ex.3 : 1. 9, 2. 5

√

²

2 3. 18

√

³

Ex.4 : 5.

Ex.5 : 1. -15

√

^{3 2. 5}

√

²

2 3. -18

√

^{3 4. 3.}

Ex.6 : ^{^}BAC ≈ 44°

Ex.7 : 15;15 ;-15 Ex.8 :

√

⁶³

Ex.9 : 9

Act.3 : 1. avec xx'+... 2. Avec le cos.... 3. Avec les coord... 4. Avec les projetés.

Ex.10 : 1. 13

2 2.

√

¹³^;

√

¹³

2 3. π

4 Ex.11 : 8 ;-42;8 ;-15

Ex.12 : -19,5 Ex.13 : -6

√

³

Ex.14 : 54

Ex.15 : 1. 35;9;14;35 2. 26 3. ^{^}ACB≈33°

Ex.16 : 1. -29 ;-20;4 2. 29;20 3. ^ABC≈102°

Ex.17 : 4

√

⁷

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Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :