http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/td_seriesnum.pdf
TD 3 : Séries numériques
Convergence
Exercice 1(Entraînement). Déterminer la nature des séries numériques suivantes :
(1) X
unavecun=n2e−n (2) X
wnavecwn=ln(n) np
n (3) X
vnavecvn=ln µ
1+1 n
¶
−sin µ1
n
¶
(4) X
anavecan=ln(n)
pn (5) X
bnavecbn=ln2n
n2 (6) X
cnaveccn=ln µn+1
n+2
¶
Exercice 2.Nature suivant les valeurs deα∈Rde la série de terme généralun= nn p(n!)α.
Exercice 3.Nature de la sérieX(−1)nlnn
n .
Exercice 4.Nature de la sérieX (−1)n pn+(−1)n.
Exercice 5(Oral Centrale, PC, 2019).Soitβ∈R+∗, on pose pourn∈N:Sn=
n
X
k=0
cos(k).
(a) Montrer que
n
X
k=1
cos(k) kβ =Sn
nβ+
n−1X
k=1
Sk
µ 1
kβ− 1 (k+1)β
¶
−1.
(b) Montrer que la série de terme généralUn=cos(n)
nβ converge.
Convergence et somme
Exercice 6.Démontrer la convergence de la sérieP
nÊ1unoù on a posé, pournÊ1 un=(−1)n
pnn
Déterminer une valeur approchée de la somme de cette série à 10−3près.
Exercice 7.Convergence puis somme de la sérieX ln
µ (2n+1)n (n+1)(2n−1)
¶ . Exercice 8(Oral TPE, PC, 2013). Soient (a,b)∈R2et, pourn∈N,un=p
n+ap
n+1+bp n+2.
(a) Exprimerunsous la formep n
à k+k0
… 1+1
n+k00
… 1+2
n
!
aveck,k0,k00∈R. (b) Donner un développement asymptotique deun.
(c) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la série de terme généralunconverge.
Donner alors sa somme.
Restes et sommes partielles
Exercice 9.Nature de la sériePunavecun=
+∞X
k=n
1 k2. Exercice 10.Nature de la sériePunavecun=
+∞X
k=n
(−1)k k2 .
Exercice 11.On pose pournÊ2 :
un= 1
n
P
k=2
(lnk)2
Déterminer un équivalent deunlorsquen→ +∞et en déduire la nature de la sérieP un.
Lien suites séries
Exercice 12(Formule de Stirling).
(1) On définit les suites (an)nÊ1et (un)nÊ1en posant pournÊ1 : an= n!en
nn+1/2 et un=lnan+1−lnan
Montrer que la sériePunconverge.
(2) En déduire qu’il existe`>0 tel que : n! ∼
n→+∞`nn+1/2e−n (3) On définit la suite (In)nÊ0en posant pournÊ0 :
In= Z π/2
0 sinntdt Établir une relation entreIn+1etIn−1.
(4) En déduire l’expression deI2pà l’aide de factorielle puis un équivalent faisant intervenir`.
(5) Établir l’encadrementIn+2ÉIn+1ÉInet en déduire queIn+1 ∼
n→+∞In.
(6) Montrer que la suite ((n+1)In+1In) est constante et en déduire un équivalent deIn puis la valeur de`.
Exercice 13(Oral CCP, PC, 2019). Soient (a,b)∈]0,+∞[2tel que 1+a<bet (un) une suite de réels strictement positifs telle que :
∀n∈N, un+1
un =n+a n+b (1) Déterminer un équivalent de ln³n+a
n+b
´
lorsquen→ +∞.
(2) Montrer que lim
N→+∞
à N X
n=0
ln µun+1
un
¶!
= −∞. En déduire queun−−−−−→n
→+∞ 0.
Soitα=b−a. Pourn∈N∗, on définitvn=nαun. (3) Montrer que la sérieX
ln µvn+1
vn
¶
converge.
(4) Montrer qu’il existe un réelA>0 tel queun ∼
n→+∞
A
nb−a. En déduire queX
unconverge.
(5) Calculer
+∞X
n=0
un. On pourra commencer par calculer la somme partielle d’indiceNde n(un+1−un)+bun+1−aun
TD 3 : Séries numériques
Indications
Ex 1. Onpeuteffectuer des comparaisons.
Ex 2. Règle de d’Alembert.
Ex 3. Théorème des séries alternées.
Ex 4. Établir un développement asymptotique de la forme : (−1)n
pn+(−1)n =α(−1)n pn +β
n+ O
n→+∞
µ 1 n2
¶
et étudier séparément chaque terme.
Ex 5. (a) Utiliser cos(k)=Sk−Sk−1. (b) CalculerSnen utilisant les nombres complexes. Montrer que Snest bornée. Déterminer un équivalent de
1
kβ− 1 (k+1)β lorsquek→ +∞.
Ex 6. Théorème des séries alternées et majoration du reste.
Ex 7. Écrire une somme partielle, séparer, changements d’indices, simplifier.
Ex 8. (a) (b) Utiliser le DL2(0) dep
1+x. (c) Considérer différents cas.
Ex 9. Encadrerunà l’aide d’intégrales.
Ex 10. Utiliser la majoration du reste dans le théorème des séries alternées.
Ex 11. Encadrement par des intégrales.
Ex 12. Déterminer un équivalent deun. Réaliser une intégration par parties surIn+1. Ex 13. (1) Écrire ln³n+a
n+b
´
sous la forme ln(1+u) avecu→0.
(2) Montrer que la série est à termes négatifs et divergente.
(3) Effectuer un développement asymptotique de ln µvn+1
vn
¶ .
(4) Justifier que la suite (ln(vn)) converge, que peut-on en déduire sur la suite (vn) ? Sur la suite (un) ? Sur la sériePun?
