Note sur les séries alternées

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

G. V ALIRON

Note sur les séries alternées

Nouvelles annales de mathématiques 4

^e

série, tome 11 (1911), p. 136-137

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(2)

[D2b]

NOTE SUR LES SÉRIES ALTERNÉES;

PAR M. G. VALIRON.

Considérons une série alternée

« o — a ! -1- . . . - t - ( — i ) " a , , — . . .

dont les termes décroissent en valeur absolue à partir d'un certain rang, et supposons que lim — ~⁼ j .

La condition nécessaire et suffisante pour que la série converge est que lim afl~ °- Ecrivons alors

n - «

—— = i -+- 0Ln (%n >> o d'après ce qui p r é c è d e ) .

" « • 4 - 1

La série alternée converge ou diverge suivant que la série dont le terme général est xⁿ diverge ou converge.

En effet, on n

a,,

( i - f - a , , H i - r - a , , . * - , ) . . . ( ! — » „ . + - , , i )

d'où

et par conséquent, si Sa^/; diverge, le dénominateur croît indéfiniment atl+p tend vers zéro.

De même, on peut écrire

>a

J.-

L I-t-a«-4-/;-l

(3)

Si la série a,, converge, la série —-~— converge a for- tiori et par conséquent on peut trouver n assez grand pour que

quelque soit/?, e t s étant arbitrairement petit. Il suit de là

diverge.

quel que soit p. a^n+p ne tend pas vers zéro, la série verge.

Le théorème est donc démontré.

Cas particuliers. — Si Ton a

lim en = o, À > o ) >

la série converge (elle est absolument convergente pour X > i d'après la règle de Duhamel, et diverge pour X <^ o).

Si

(

^{lim i}ⁿ = o, A > o

la série converge pour o < a £ i (non absolument) et diverge pour a > i, elc.