H133 : Les six problèmes du millénaire

H133 : Les six problèmes du millénaire

En 2000, l’Institut Mathématique de Clay a lancé sept défis mathématiques réputés insurmontables qui ont été appelés les Problèmes du millénaire. La démonstration de l’un d’eux (la conjecture de Poincaré) a été faite en 2003 par Grigori Perelman et validée en 2006.

2008 mathématiciens se retrouvent en congrès pour faire le point sur les six problèmes restants. Quand deux d’entre eux se rencontrent, ils parlent toujours du même problème. Quand trois d’entre eux se rencontrent, est-il possible qu’il n’y ait jamais de conversation à trois sur un même problème, quelles que soient les trois personnes?

Associons à chaque mathématicien un sommet d’un graphe et à chaque problème une couleur, l’arête reliant deux points étant colorée suivant le problème dont discutent les deux mathématiciens. L’énoncé peut alors se traduire par la condition suivante : aucun triangle n’est formé de trois arêtes de même couleur. Nous avons ici 6 problèmes donc 6 couleurs, mais nous allons raisonner dans le cas général.

Soit F(n) le nombre maximal de points tel que le graphe complet à n points réponde à la condition ; nous avons donc F(1)=2. S’il existait F(n-1)+1 arêtes de même couleur issues d’un même sommet, les autres sommets de ces arêtes formeraient un sous- graphe de F(n-1)+1 sommets, dont aucune arête ne peut être de la couleur initiale (sous peine de former un triangle d’une seule couleur avec les arêtes issues du sommet initial), donc n’utilisant que n-1 couleurs ; d’où contradiction. Il en résulte que d’un sommet ne peuvent partir qu’un maximum de F(n-1) arêtes d’une même couleur, donc que F(n)≤nF(n-1)+1.

Puisque F(1)=2, F(2)=5 (il est facile de vérifier l’égalité), F(3)≤16, F(4)≤65, F(5)≤326 et F(6)≤1957. Donc, si 2008 mathématiciens discutent de 6 problèmes, il y aura

obligatoirement une conversation à trois sur un même problème.