Les trousseaux de clés de Nyctophile
Problème E525 de Diophante
Nyctophile le veilleur de nuit a deux trousseaux de clés. Son trousseau personnel a cinq clés et son trousseau professionnel comporte 2007 clés (il est vrai qu’il travaille dans un immense caravansérail de 2007 chambres…). Dans les deux cas, les clés sont disposées sur une chaîne circulaire. Comme elles ont toutes
pratiquement la même forme, il souhaite les repérer par des étiquettes de différentes couleurs. C’est ainsi qu’avec quatre clés, Nyctophile constate que trois couleurs suffisent. Certes, il y a deux clés rouges mais celle qui est adjacente à la clé verte se distingue bien de la clé adjacente à la clé bleue.
Quel est pour chacun des deux trousseaux le nombre minimal de couleurs différentes qui permettent de repérer sans ambiguïté les clés ?
Quelques précisions :
* l’étiquetage des clés doit rester opératoire quand on retourne chacun des trousseaux.
* les notions « droite » et « gauche » sont exclues.
* Nyctophile sait compter et il le fait très vite …
Solution
Montrons que deux couleurs (rouge et vert) suffisent pour un nombre de clés, strictement supérieur à cinq. Ce qui résout le problème du trousseau professionnel.
En effet la configuration ci-contre permet de déterminer une origine et d’ordonner sans ambiguïté la chaîne circulaire des clés, de telle sorte que chaque clé sera identifiée par son rang.
Toutes les clés sont vertes sauf trois. Une clé rouge est isolée séparée, par une clé verte, de deux clés rouges contiguës. La clé rouge isolée peut être choisie comme étant la première ; la deuxième étant la clé verte, qui sépare cette clé des deux autres rouges, qui occupent les rangs trois et quatre, etc.
En ce qui concerne, le trousseau personnel de cinq clés trois couleurs sont nécessaires. En effet, tous les trousseaux bicolores admettent au moins une symétrie et la configuration ci-contre montre que trois couleurs suffisent.
Pierre JULLIEN, mai 2007
