E525 - Les trousseaux de clés de Nyctophile
Nyctophile le veilleur de nuit a deux trousseaux de clés. Son trousseau personnel a cinq clés et son trousseau professionnel comporte 2007 clés (il est vrai qu’il travaille dans un immense caravansérail de 2007 chambres…).
Dans les deux cas, les clés sont disposées sur une chaîne circulaire. Comme elles ont toutes pratiquement la même forme, il souhaite les repérer par des étiquettes de différentes couleurs. C’est ainsi qu’avec quatre clés, Nyctophile constate que trois couleurs suffisent. Certes, il y a deux clés rouges mais celle qui est adjacente à la clé verte se distingue bien de la clé adjacente à la clé bleue.
Quel est pour chacun des deux trousseaux le nombre minimal de couleurs différentes qui permettent de repérer sans ambiguïté les clés ?
Quelques précisions:
l’étiquetage des clés doit rester opératoire quand on retourne chacun des trousseaux.
les notions « droite » et « gauche » sont exclues.
Nyctophile sait compter et il le fait très vite…
Solution
On remarque tout d’abord que la stratégie à trois couleurs que Nyctophile utilise pour son trousseau à 4 clés, convient pour tout trousseau de 2 clés ou plus.
En effet, l’étiquette verte indique la première clé (début de chaîne), et l’étiquette bleue la dernière clé (fin de chaîne). On compte les clés intermédiaires à étiquettes rouges dans le sens de lecture approprié (du vert vers le rouge)…
Essayons de trouver une solution n’utilisant que 2 couleurs.
Dans le cas du trousseau à 5 clés, toutes les combinaisons présentent une symétrie, ce qui amène à des ambigüités.
On conclut que 3 couleurs sont bien nécessaires pour repérer les 5 clés du trousseau personnel de Nyctophile.
Dans le cas d’un trousseau à n clés, avec n>=6, on utilise l’étiquetage suivant :
En effet, l’étiquette rouge isolée (unique car n>=6) indique la première clé, et l’étiquette verte isolée la suivante, donnant ainsi le sens de lecture.
On conclut que 2 couleurs seulement sont nécessaires pour repérer les 2007 clés du trousseau professionnel de Nyctophile.
