E525 Les trousseaux de clés de Nyctophile [** à la main]
Solution
Trois couleurs sont nécessaires avec le trousseau personnel de cinq clés de Nyctophile et deux seulement permettent de repérer chacune des 2007 clés de son trousseau professionnel..
Jean Moreau de Saint Martin, Pierre Jullien, Fabien Gigante, Clément Franchini, Jean Louis Pourailly, Claude Morin et Michel Boulant ont débusqué aisément ce résultat qui à première vue paraît surprenant.
Solution de Clément Franchini - zéro clef zéro couleur et c'est bon, - une clef une couleur et c'est bon, - deux clefs deux couleurs et c'est bon,
- trois clefs trois couleurs et c'est bon (deux ne sont pas suffisantes : BBB ou BBR),
- quatre clefs trois couleurs et c'est bon. Pourquoi pas deux : BBBB : non , BBBR : non, BBRR : non, BRBR : non et tous les cas sont là, donc il en faut bien trois.
- cinq clefs trois couleurs. On ne peut pas le faire avec deux couleurs : BBBBB pas possible, BBBBR pas possible, BBBRR pas possible, BBRBR pas possible (déjà vu, c'est le BBRB) - six clefs ou plus (par exemple 2007 clés) deux couleurs suffisent : Nyctophile met dans son trousseau quatre clefs ainsi : BBRB et toutes les autres en R. Ainsi il connait la R au milieu des trois B. Et grâce à BB et B il sait reconnaitre
chacune des autres clés R selon son rang déterminé à partir de ces repères. Il a évidemment intérêt à savoir compter très vite.
Solution de Jean Louis Pourailly
On peut supposer que Nyctophile connaît bien son trousseau personnel et qu’il peut donc le numéroter sans ambiguïté.
De plus on supposera que Nyctophile a numéroté de 1 à 5 ses clés en tournant toujours dans le même sens le long du trousseau.
La clé 1 et la clé 5 se retrouvent adjacentes . On peut alors peindre la clé 1 en vert et la clé 5 en bleu.
Si maintenant on écarte les clés colorées on définit 2 arcs de cercle qu’on peut décrire du vert au bleu. Un arc de cercle est vide l’autre arc contient toutes les clés non colorées dans l’ordre 2,3 et 4.
Donc si on parcourt le trousseau de la clé verte à la clé bleu sur l’arc qui contient les autres clés on rencontre d’abord la clé 2 puis la 3 et enfin la 4 et cela sans ambiguïté. Donc pour ce trousseau 2 couleurs suffisent.
On peut supposer aussi que les clés professionnelles ont été classées puis enfilées sur le trousseau en commençant par la clé 1 et en finissant par la clé 2007. si avant de les enfiler dans l’ordre sur la chaîne circulaire du trousseau on a pris le soin de peindre la clé 1 en vert et la clé 2007 en bleu à la fermeture du trousseau ces clés se retrouvent adjacentes.
Maintenant pour trouver la clé de la chambre numéro N il suffit d’écarter les clés colorées puis de parcourir l’arc de cercle contenant les clés de la verte vers la bleue en comptant « très vite » de 1 à N (si N est grand).
Si Nyctophile compte aussi bien à l’endroit qu’à l’envers il peut, pour gagner du temps, partir de la clé bleue vers la clé verte quand N >1003.
Donc pour repérer les clés sur un trousseau 2 couleurs suffisent
