Loi d’Ohm
Zig et Puce poss`edent 10 r´esistances ´electriques, chacune de 1.000 Ω exacte- ment, et un ohmm`etre capable de mesurer les r´esistances de 1 `a 20 kΩ`a10−6 pr`es.
S’ils assemblent les 10 r´esistances en s´erie, ils peuvent mesurer une r´esistance de 1 kΩde 10 fa¸cons diff´erentes, de 2 kΩ de 9 fa¸cons diff´erentes, ... jusqu’`a 10 kΩd’une seule fa¸con.
S’ils les assemblent en parall`ele, ils peuvent mesurer une r´esistance de 100 Ω d’une seule fa¸con.
Leur probl`eme est de concevoir un r´eseau de 10 r´esistances tel que les r´esistances mesur´ees entre 2 nœuds quelconques du r´eseau soient en nombre aussi grand que possible (mˆeme si ces valeurs sont voisines).
Zig pense qu’avec un r´eseau dissym´etrique de 6 nœuds, il pourra obtenir 15 valeurs diff´erentes. Mais apr`es v´erification, il s’aper¸coit que 6 valeurs sont lues 2 fois et qu’il n’a donc que 9 valeurs distinctes.
Puce est partisan de la simplicit´e. Il annonce 18 valeurs diff´erentes avec un r´eseau de 8 nœuds, et il le prouve.
Retrouvez leur 2 r´eseaux.
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N est le nombre de nœuds du r´eseau; il est compris entre 2 (montage en par- all`ele) et 11 (montage en s´erie). Le nombre de mesures, pas n´ecessairement diff´erentes, que l’on peut faire estN(N −1)/2. Il y a donc un avantage `a un N grand.
La somme du nombre de branches issues des nœuds est ´evidemment de 20, et on doit ´eviter d’avoir un nœud avec juste 2 branches car les r´esistances du r´eseau mesur´ees entre ce nœud et les 2 nœuds voisins seraient les mˆemes. Toujours au nom de la vari´et´e, il est pr´ef´erable d’avoir au plus 1 nœud avec 1 seule branche.
Zig a donc 2 possibilit´es de r´eseau :
- (r´eseau A) une partie tr`es connect´ee, dite ”compacte”, de 9 r´esistances, o`u chaque nœud a au moins 3 branches, plus une r´esistance vers l’ext´erieur, - (r´eseau B) un ensemble compact de 10 r´esistances.
N = 6 :
- avec 5 nœuds, on ne peut prendre que 10 mesures au maximum, donc aucun avantage par rapport au montage en s´erie,
- avec 7 nœuds, il y a au moins 1 nœud qui n’a que 2 branches.
Zig peut maintenant pr´eciser la structure des r´eseaux A et B ci-dessus.
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R´eseau A: la partie compacte comprend 18 branches `a r´epartir en 5 nœuds, soit la r´epartition [4, 4, 4, 3, 3]. Les 3 nœuds `a 4 branches ne peuvent pas ˆetre voisins sur le pentagone parce qu’il faudrait 10 r´esistances pour la seule partie compacte. La r´esistance ext´erieure peut ˆetre branch´ee en n’importe lequel des 3 nœuds `a 4 branches.
On peut effectuer 10 mesures sur la partie compacte, mais `a cause de la sym´etrie de cette partie, on n’obtient que 6 mesures diff´erentes, plus 4 mesures `a partir du nœud `a 1 branche. Donc 10 valeurs diff´erentes en tout.
R´eseau B: on dispose de 20 branches `a r´epartir en 6 nœuds, soit la r´epartition [4, 4, 3, 3, 3, 3].
Les 2 nœuds `a 4 branches ne doivent pas ˆetre voisins sur l’hexagone.
Il n’existe pas de sym´etrie dans le r´eseau. Zig esp`ere donc obtenir 15 valeurs diff´erentes.
Calcul des valeurs mesur´ees dans le r´eseau B
Pour mesurer la r´esistance entre les nœuds A et B (pris `a titre d’exemple), on applique la diff´erence de tensionV = 1voltentre A et B, on mesure le courant I qui circule dans le circuit ext´erieur, etR= V
I.
Aux nœuds autres que A et B, la somme alg´ebrique des courants dans les branches issues du nœud est nulle. Comme toutes les branches ont la mˆeme r´esistance, cela se traduit en termes de potentiels :
3VC =VB+VD+VE
3VD =VA+VC+VE
4VE =VA+VC+VD+VF
3VF =VA+VB +VE
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En rempla¸cantVA par1et VB par0, on obtient 4 ´equations lin´eaires `a 4 in- connues qui permettent de calculer les potentiels `a tous les nœuds, et
RAB = 1000 1 +VC+VF
Tous calculs faits, Zig constate que son r´eseau est sym´etrique malgr´e les ap- parences :
AB VC=0,468750 VD=0,718750 VE=0,687500 VF=0,562500 R=492,308 AC VB=0,569620 VD=0,518987 VE=0,556962 VF=0,708861 R=607,692 AD VB=0,727273 VC=0,424243 VE=0,545455 VF=0,757576 R=507,692 AE VB=0,636364 VC=0,363636 VD=0,454545 VF=0,545455 R=423,077 AF VB=0,540984 VC=0,622951 VD=0,737705 VE=0,590164 R=469,231 BC VA=0,600001 VD=0,333334 VE=0,400001 VF=0,666667 R=576,923 BD VA=0,510639 VC=0,468086 VE=0,404256 VF=0,638298 R=723,076
BE VA=0,443038 VC=0,430380 VD=0,291139 VF=0,481013 R=607,692 = AC BF VA=0,478262 VC=0,637682 VD=0,507247 VE=0,405798 R=530,769
CD VA=0,405798 VB=0,637682 VE=0,478261 VF=0,507247 R=530,769 = BF CE VA=0,312501 VB=0,531251 VD=0,437500 VF=0,281250 R=492,307 = AB CF VA=0,404256 VB=0,468085 VD=0,638298 VE=0,510638 R=723,077 = BD DE VA=0,409837 VB=0,377050 VC=0,459017 VF=0,262296 R=469,230 = AF DF VA=0,473685 VB=0,368422 VC=0,631579 VE=0,526316 R=730,769
EF VA=0,545455 VB=0,424243 VC=0,727273 VD=0,757576 R=507,692 = AD Puce pr´esente alors son r´eseau avec lequel il obtient les 18 valeurs de 1 `a 5 kΩ,
de 0.5 `a 5.5 kΩ, de 0.333 `a 5.333 kΩ et enfin 5.888 kΩ.
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