LE R´ ESEAU R´ ECIPROQUE
Le r´eseau r´eciproque est un concept initialement introduit par J.W. Gibbs (1839-1903). Ce concept, plutˆot abstrait, est absolument central en physique du solide : le but de cet exercice est de vous donner l’occasion de manipuler le r´eseau r´eciproque et d’en comprendre quelques utilisations.
0.1 Rang´ ees cristallines et plans r´ eticulaires
Imaginons un plan qui coupe les axes du rep`ere quelconque en trois noeuds du r´eseau A, B, C. Les unit´es choisies sur les trois axes sonta,b et c. On peut ´ecrire :OA=xa,OB=ybet OC =zc. Les coordonn´ees de Asont (x,0,0), celles de B sont (0,y,0) et celles deC sont (0,0,z) o`u x,y, zsont des entiers Prenons leurs inverses 1/x, 1/y, 1/z et multiplions les par leur plus petit commun multiple. On obtient trois nombres premiers entre eux h, k, etl qui sont les indices de Miller du plan consid´er´e.
Les indices de Miller d’un plan sont not´es entre des parenth`eses (hkl). L’´equation du planABCs’´ecrithx+ky+lz=N. Vous pouvez le v´erifier aux pointsA,B,C; la constante enti`ereN est nulle lorsque le plan passe par l’origine.
1. Imaginez un r´eseau quelconque. Portez les noeuds A, B, C, D, E et F de coordonn´ees respectives : 100, 010, 001, 200, 020, 002. Quels sont les indices de Miller du planABC puis ceux du planDEF?
2. Consid´erons maintenant un r´eseau orthogonal quelconque de vecteurs de base−→a,−→
b et−→c. Donnez les indices de Miller du plan perpendiculaire `a (−→a,−→
b), et dont la trace dans ce plan coupe le premier axe en 2aet le second enb.
3. Dans le mˆeme r´eseau, en supposant quea/b=√
3, trouvez l’angle qui existe entre la rang´ee [1 -1 0] et la normale au plan (1 -1 0).
4. Construisez le r´eseau r´eciproque associ´e au r´eseau hexagonal (on tracera la projection des r´eseaux direct et r´eciproque sur le plan (001), `a partir de la mˆeme origine)
5. Sur le sch´ema que vous venez de tracer, construisez la rang´ee [120] du r´eseau r´eciproque, et la trace du plan (120) du r´eseau direct. Que remarquez-vous ? Vous venez de d´ecouvrir une propri´et´e fondamentale du r´eseau r´eciproque : la normale au plan d’indices de Miller (hkl) est la rang´ee r´eciproque de composantes [HKL].
6. Calculez la distance interr´eticulaire entre deux plans successifs d’une mˆeme famille dans un r´eseau hexagonal.
7. Toujours dans le r´eseau hexagonal, calculez l’angle entre les plans (101) et (111) (on supposera que le rapport c/a est ´egal `a 1,538).
A ce stade, il est essentiel de comprendre que tous les calculs de g´eom´etrie concernant les plans cristallographiques se r´ealisent ais´ement dans l’espace r´eciproque - c’est absolument indispensable d`es lors que le rep`ere du r´eseau direct n’est plus orthonorm´e. B -
0.2 Microscopie ´ electronique en transmission
Nous allons donc montrer ici que le r´eseau r´eciproque n’est pas qu’une construction purement abstraite. La figure 1 illustre le trajet des ´electrons dans un microscope ´electronique en transmission (pour ceux que ¸ca int´eresse, nous disposons de ce type d’´equipement `a l’ ´Ecole des Mines). Le faisceau incident parall`ele traverse l’´echantillon (par exemple un monocristal de silicium sous forme d’unelame mince de≈100nm d’´epaisseur). On suppose que le monocristal est orient´e de fa¸con `a ce qu’une famille de plans r´eticulaires (hkl) est en position de Bragg exacte. L’objectif est constitu´e d’un jeu de lentilles ´electromagn´etiques, et peut ˆetre assimil´e `a une lentille mince convergente. Dans le plan focal image nous obtenons un clich´e de diffraction constitu´e de deux taches (voir figure 1.
1. Montrer, grˆace `a la construction d’Ewald, que ce clich´e de diffraction n’est rien d’autre qu’une coupe de l’espace r´eciproque
2. Maintenant que vous savez mat´erialiser le r´eseau r´eciproque dans un microscope ´electronique en transmission, retrouvez les conditions d’extinction obtenues par le calcul du facteur de structure. Pour ce faire, on construira et comparera les r´eseaux r´eciproques des structures cubique simple, cubique centr´ee et cubique face centr´ee.
Utilisez la maille primitive pour votre construction.
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cliché de diffraction
Fig.1 –Sch´ema d’un microscope ´electronique `a transmission
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