D.348 Le berlingot
Solution proposée par Pierre Renfer 1) Choix d'un repère
Soit
la perpendiculaire commune aux droites D et D'.Soient H et H' les points d'intersection de avec D et D' respectivement.
On choisit un repère orthonormé dont l'origine O est le milieu de [HH'], tel que l'axe des z soit la droite (HH') et le plan (xOz) soit un plan bissecteur du plan passant par D et (HH') et du plan passant par D' et (HH').
Il existe alors une pente t fixée telle que les droites D et D' aient comme représentations paramétriques :
d/2 z
t y x
D , R et
d/2 z
t y x '
D ,
RLe vecteur AA' a pour coordonnées :
d
) ( t '
AA
, avec la condition : AA'2()2t2()2 d2 l2
La condition s'écrit :
u
2 t
2v
2 l
2 d
2, si l'on pose :
v u
C'est l'équation d'une conique E' dans le plan de coordonnées (u,v).
2) Sections horizontales de la frontière du berlingot Soit z un réel fixé dans l'intervalle
2 , d 2
d
Le nombre z est le barycentre des nombres 2 d et
2
d, avec les poids z 2
d et z 2 d .
Le point M, de cote z sur [AA'], est donc barycentre de A' et A avec les mêmes poids.
Le point M a pour coordonnées :
z
d 2
v td u tz 2 d 2
z 2 t d
d 2
z 2 t d
y
d 2
v z 2 u d d 2
z 2 d d
2 z 2 x d
M
Soit f l'application linéaire qui au couple (u,v) associe le couple (x,y), définie par ces formules La section E de la frontière du berlingot par le plan, de cote z, est l'image de l'ellipse E' par f.
Donc :
Aire ( E ' )
d 4
) z 4 d ( ) t ' E ( Aire ) f det(
) E (
Aire
22
2
L'ellipse (E') a pour axes :
a l
2 d
2 et l2 d2 tb1
Donc :
t ) d ab l(
) ' E ( Aire
2 2
Et :
( d 4 z )
d 4
) d ) l(
z ( A ) E (
Aire
2 2 22
2
3) Volume V du berlingot
6 d ) d z l(
3 z 4 d d
4 ) d dz l(
) z ( A V
2 d/2 2
d/2 - 3 2
2 2 2 2
/ d
2 / d
