Pierre Lissy March 22, 2010

Wedderburn (page 82 du Perrin)

Pierre Lissy March 22, 2010

Soitkun ensemble vériant tous les axiomes des corps sauf la commutativité. On considèreZ le centre dek, de cardinal q. C'est un sous-corps commutatif, donc on peut considérerk comme unZ−ev. Ainsi|k|=qⁿ. Si l'on suppose k non commutatif, on a n>2. Faisons opérer k^∗ sur lui-même par automorphismes intérieurs. On notew(x)l'orbite dex, etk_x le stabilisateur. Si on lui ajoute0, on obtient un sous-corps dekcontenantZ, donck_x est de cardinalq^d−1, alors que k∗est de cardinalqⁿ−1. D'après la formule des classes on a(q^d−1)|(qⁿ−1). ceci implique que d|n. En eet, si l'on eecture la division euclidienne de d par n on a n = ds+r, r < d, donc qⁿ−1 =q^ds+r−1 =q^ds+r−q^r+q^r−1 =q^r(q^ds−1) +q^r−1 =q^r(q^d−1)(1 +q^d+. . . q^d(s−1)), ce qui est la division euclidienne deqⁿ−1 parq^d−1. On a donc la division ssid|n.

Or par dénition des polynômes cyclotomiques: qⁿ−1 =Q

m|nΦm(q), et de même pour don a q^d−1 =Q

m|dΦ_m(q), donc en faisant le quotient(qⁿ−1)/(q^d−1) =Q

m|n,m6|dΦ_m(q). Equation aux classes : qⁿ−1 =q−1 +P

d|n,d6=n(qⁿ−1)/(q^d−1) =q−1 + Φ_n(q)M (card=nssi on est dans le centre privé de0). DoncΦ_n(q)|(q−1), ce qui n'est pas possible carq−1 =Q(q−ξ_l) racines n-ième de l'unité. On voit assez facilement que c'est pas possible car tous les|q−ξ_l|>q−1 avec Al-Kashi.

References

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