E561 – La couverture harmonique
Sur un segment OA de longueur 100 cm, on trace tous les points i = 1,2,3.... d’abscisse xi = 100/i. Le premier point est donc en A, le suivant est au milieu de OA, etc...
On dispose d’un ruban adhésif de longueur 25 cm que l’on découpe en morceaux de même longueur. Déterminer le nombre minimum de morceaux qui permettent de cacher tous les points qui ont été tracés.
Solution par Patrick Gordon
On commence par la gauche. Si l'on découpe en k morceaux, donc de longueur 25/k, on couvre de l'infini jusqu'à n tel que 100/n ≥ 25/k, soit n ≥ 4k.
Le point suivant à couvrir est 100 / (n+1). Avec le second morceau, on peut couvrir de (n+1) jusqu'à x, tel que :
100 [1/x – 1/(n+1)] ≤ 25/k, c’est-à-dire :
x ≥ 4k(n+1) / (4k+n+1), donc :
x = 4k(n+1) / (4k+n+1), si cette expression est entière;
ENT [4k(n+1) / (4k+n+1)] + 1, sinon.
Au moyen d'un tableur, on applique cette formule pour les valeurs successives de k = 2, 3, etc.
jusqu'à ce qu'on ait pu couvrir le 1.
On trouve k = 12.
k
2 8 4
3 12 6 4
4 16 8 5 4
5 20 10 7 5 4
6 24 12 8 6 5 4
7 28 14 9 7 5 4 3
8 32 16 11 8 6 5 4 3
9 36 18 12 9 7 6 5 4 3
10 40 20 13 10 8 6 5 4 3 2
11 44 22 15 11 9 7 6 5 4 3 2
12 48 24 16 12 9 7 6 5 4 3 2 1
