Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Maple
TP n˚3
Synth` ese sur l’algorithmique
− La pr´esentation de la feuille Maple entrera en jeu dans l’´evaluation du travail.
− Chaque exercice sera r´esolu dans une section qui lui est propre.
− Tout programme non correctement indent´e ne sera pas lu.
− Les r´eponses de certaines questions devront ˆetre r´edig´ees sur une copie annexe.
Exercice 1 (Produit de deux nombres r´eels)
1. ´Ecrire une proc´edure nomm´eeproduit, d’arguments xetyo`u :
• xest un nombre r´eel ;
• yest un nombre r´eel ; qui renvoie :
• le produit des nombresxety.
2. Tester la proc´edureproduit en l’appelant pour calculer le produit de−100et de5,55.
Exercice 2 (Signe d’un nombre r´eel)
1. ´Ecrire une proc´edure nomm´eesigne, d’argument xo`u :
• xest un nombre r´eel ; qui renvoie :
• −1 sixest strictement n´egatif ;
• 0 six est nul ;
• 1six est strictement positif.
2. Tester la proc´eduresigneen l’appelant pour connaˆıtre le signe de chacun des r´eels suivants :3,090477; 0;−0,0001.
Exercice 3 (Cubes des premiers entiers)
1. ´Ecrire une proc´edure nomm´eeaffiche_cube, d’argument No`u :
• Nest un nombre entier naturel non nul ;
qui affiche les cubes des entiers de 1 `aN, de sorte que l’appelaffiche_cube(4)de la proc´edureaffiche_cube donne le r´esultat suivant.
Le cube de 1 est 1.
Le cube de 2 est 8.
Le cube de 3 est 27.
Le cube de 4 est 64.
2. Tester la proc´edureaffiche_cubeen l’appelant pourN= 10.
Exercice 4 (Valeurs approch´ees d’une solution d’´equation par la m´ethode de dichotomie) 1. Soit la fonction
f: [0,1]→R; x7→x4+x−1.
D´emontrer que l’´equation f(x) = 0 admet une unique solution sur [0,1]. On r´edigera la preuve sur une copie et non dans le fichier Maple. Dans la suite, on notera α l’unique ´el´ement de [0,1] solution de f(x) = 0.
2. D´efinir la fonctionf en Maple, grˆace `a la commande ->.
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3. Tracer le graphe de la fonction f grˆace `a la commande plotde Maple.
4. ´Ecrire une proc´edure nomm´eedichotomie, d’argumentepsilono`u :
• epsilonest un nombre r´eel strictement positif ; qui renvoie :
• une valeur approch´ee deα, calcul´ee avec la m´ethode de dichotomie, avec une erreur inf´erieure `aepsilon.
5. Utiliser la proc´eduredichotomiepour obtenir une valeur approch´ee deα, avec 5 d´ecimales exactes.
6. Comparer le r´esultat de la question pr´ec´edente avec la valeur approch´ee calcul´ee par Maple, `a l’aide de la commande fsolve.
Exercice 5 (Projet´e orthogonal d’un point sur une droite) Soit R= (O;~u, ~v)un rep`ere orthonorm´e du plan.
1. ´Ecrire une proc´edure nomm´eeproj_ortho, d’argumentsa,b,c,xA,yAo`u :
• (a,b)est un couple d’entiers non nul ;
• cest un nombre entier ;
• (xA,yA)est un couple d’entiers ;
qui affiche les coordonn´ees du projet´e orthogonal du point A(xA,yA)sur la droite d’´equation ax+by+c= 0.
de sorte que l’appel proj_ortho(3,-4,-1,1,1)de la proc´edure proj_ortho donne le r´esultat suivant.
Les coordonn´ees du projet´e orthogonal de A(1,1) sur la droite D: 3x+(-4)y+(-1)=0 sont:
(31/25,17/25).
On ´ecrira sur une copie une analyse math´ematique du probl`eme et on justifiera le fait que les coordonn´ees du projet´e orthogonal, sous l’hypoth`ese quea,b,c,xA,yAsont tous entiers, sont des nombres rationnels.
2. Tester la proc´edureproj_orthoen effectuant l’appelproj_ortho(3,-4,-1,1,1)de la proc´edureproj_ortho.
Exercice 6 (Maximum de trois nombres r´eels)
1. ´Ecrire une proc´edure nomm´eemax_3, d’arguments a,b,c o`u :
• aest un nombre r´eel ;
• best un nombre r´eel ;
• cest un nombre r´eel ; qui renvoie :
• le plus grand des trois nombresa,b,c.
2. Effectuer une batterie de tests de la proc´edure max_3balayant tous les ordres relatifs possibles pour les nombres r´eels a,b,c.
Exercice 7 (Point de concours ´eventuel de trois droites) Soit R= (O;~u, ~v)un rep`ere orthonorm´e du plan.
1. ´Ecrire une proc´edure nomm´eeis_concourantes, d’argumentsxA,yA,xB,yB,xC,yC,xu,yu,a,b,co`u
• (xA,yA)est un couple de r´eels ;
• (xB,yB)est un couple de r´eels distinct de(xA,yA);
• (xC,yC)est un couple de r´eels ;
• (xu,yu)est un couple de r´eels non nul ;
• (a,b)est un couple de r´eels non nul ;
• cest un nombre r´eel ; qui renvoie
• 0 si les droites
– D1 passant par les points de coordonn´ees (xA,yA)et(xB,yB);
– D2 passant par le point de coordonn´ees (xC,yC)et dirig´ee par le vecteur de coordonn´ees (xu,yu); – D3 d’´equation cart´esienneax+by+c= 0.
ne sont pas concourantes ;
• les coordonn´ees (entre crochets) du point de concours deD1,D2 et D3 sinon.
2. Effectuer une batterie de tests de la proc´edureis_concourantesbalayant les diff´erents cas.
On pourra utiliser la commandesolvede Maple.
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