Nombres complexes

Nombres complexes

Cours de É. Bouchet ECS1 10 décembre 2018

Table des matières

1 Notation algébrique d'un nombre complexe 2

1.1 Dénition . . . 2

1.2 Conjugué . . . 3

2 Notation exponentielle d'un nombre complexe 4 2.1 Module . . . 4

2.2 Argument . . . 5

2.3 Notation exponentielle . . . 6

2.4 Exemple d'utilisation : les racines n-ièmes de l'unité . . . 7

3 Interprétation géométrique 8

4 Principales formules trigonométrique 8

1 Notation algébrique d'un nombre complexe

1.1 Dénition

On appelle nombre complexe tout élément z pouvant s'écrire sous la forme z=a+ib,

avec (a, b) un couple de réels etiune solution de l'équationi² =−1. L'ensemble des nombres complexes est noté C.

Dénition (Nombre complexe).

L'écriture du nombre complexe z sous la forme z = a+ib avec a et b des réels est appelée l'écriture algébrique de z. Le réelaest appelé la partie réelle de z etbest sa partie imaginaire.

On notea= Re(z) etb= Im(z).

Dénition (Partie réelle, partie imaginaire).

L'écriture algébrique d'un nombre complexe z est unique.

Proposition.

Démonstration. On suppose que z=a+ib=α+iβ avec (a, b, α, β)∈R⁴. Alors(a−α) =−i(b−β), et donc Sib=β, alors a=α et les deux écritures sont identiques.

Sib6=β, alors

i=−a−α b−β ∈R, ce qui est impossible.

D'où l'unicité.

Variante : en mettant au carré l'égalité(a−α) = −i(b−β), on trouve (a−α)² =−(b−β)² et les deux carrés sont donc nuls. Donca=α etb=β.

Remarque. On peut donc montrer queCest un R-espace vectoriel dont une base est(1, i).

Le complexezest dit imaginaire pur siRe(z) = 0. On noteiRl'ensemble des nombres imaginaires purs.

Dénition (Nombre imaginaire pur).

L'ensemble C des nombres complexes est muni de deux opérations internes, l'addition et la multiplication dont les règles de calculs sont identiques à celles de R, en tenant compte de l'égalité i² = −1. Les formules usuelles sur les sommes (somme de termes d'une suite géométrique, télescopage, binôme de Newton) restent valides dansC.

Une formule utile : siz=a+ibavec (a, b) un couple de réels diérent de (0,0), alors z6= 0 et on a :

1.2 Conjugué

Soit (a, b) un couple de réels. Le conjugué du nombre complexez=a+ib est le nombre complexe z=a−ib.

Dénition (Conjugué).

Pour tout complexe z,

Re(z) = 1

2(z+z) et Im(z) = 1

2i(z−z).

Proposition.

Démonstration. On pose z=a+ibavec (a, b)∈R². Alorsz+z= 2a= 2 Re(z) etz−z= 2ib= 2iIm(z).

Remarque. Cela donne en particulier :

z∈R⇐⇒z=z, z∈iR⇐⇒z=−z.

Soit z₁ etz₂ deux nombres complexes quelconques. On a : z₁+z₂=z₁+z₂,

z1.z2=z1.z2, et si z2 est non nul,

z1

z2

= z1

z2

. Proposition (Opérations sur le conjugué).

Démonstration. On pose z₁=a₁+ib₁ etz₂ =a₂+ib₂, avec(a₁, b₁, a₂, b₂)∈R⁴. Alors : z1+z2 =a1+a2−i(b1+b2) =a1−ib1+a2−ib2 =z1+z2,

z1.z2 =a1a2−b1b2+i(a1b2+a2b1) =a1a2−b1b2−ia1b2−ia2b1= (a1−ib1)(a2−ib2) =z1.z2. On obtient la dernière égalité par produit avec :

1 z₂

= a2

a²₂+b²₂ +i b2

a²₂+b²₂ = 1 z₂.

2 Notation exponentielle d'un nombre complexe

2.1 Module

Soit z=a+ib où(a, b) est un couple de réels. Le module de z, noté|z|, est le réel

|z|=p

a²+b² =√ zz.

Dénition (Module).

Pour tout nombre complexez,

|z|=|z|, |z|>0 et |z|= 0⇐⇒z= 0.

Proposition.

Pour tout nombre complexez,

|Re(z)|6|z| et Re(z) =|z| ⇐⇒z∈R+,

|Im(z)|6|z| et Im(z) =|z| ⇐⇒z∈iR+. Proposition (Relations entre|Re(z)|,|Im(z)|et|z|).

Démonstration. (démonstration à connaître) On montre la première relation, la deuxième s'obtient de la même ma- nière. Soitz∈C, par stricte croissance de la fonction racine surR₊, on a :

|Re(z)|=p

Re(z)²6p

Re(z)²+ Im(z)² =|z|, de plus,

Re(z) =|z| ⇐⇒(Re(z)>0 et Re(z)²= Re(z)²+ Im(z)²)⇐⇒(Re(z)>0et Im(z) = 0)⇐⇒z∈R₊.

Soit z1 etz2 deux nombres complexes quelconques. Alors

|z₁z₂|=|z₁| |z₂|. Proposition (Module du produit).

Démonstration. Comme z₁z₁ =|z₁|² >0, on peut écrire :

|z₁z₂|=√

z₁z₂z₁z₂=√ z₁z₁√

z₂z₂=|z₁| |z₂|.

Soit z1 etz2 deux nombres complexes quelconques. Alors

|z₁+z₂|6|z₁|+|z₂| et

|z₁+z₂|=|z₁|+|z₂| ⇐⇒z₁z₂ ∈R₊. Proposition (Inégalité triangulaire).

Démonstration. (démonstration à connaître) On procède d'abord comme dans le cas réel :

|z₁+z₂|²−(|z₁|+|z₂|)²= (z₁+z₂)(z₁+z₂)− |z₁|²− |z₂|²−2|z₁| |z₂|

= (z1+z2)(z1+z2)− |z₁|²− |z₂|²−2|z₁| |z₂|

=|z₁|²+z₁z₂+z₂z₁+|z₂|²− |z₁|²− |z₂|²−2|z₁z₂|

= 2 Re(z1z2)−2|z₁z2|60.

D'où |z₁+z₂|² 6 (|z₁|+|z₂|)², et en passant à la racine (croissante sur R₊), comme les modules sont tous positifs,

|z₁+z₂|6(|z₁|+|z₂|). De plus, on a égalité ssi

Re(z₁z₂) =|z₁z₂| ⇐⇒z₁z₂ ∈R₊.

2.2 Argument

Soit zun nombre complexe non nul. Tout réel θ tel que

z=|z|(cosθ+isinθ) est appelé un argument de z.

Dénition (Argument).

Remarque. Siθest un argument de z, alors tout réel de la formeθ+ 2kπ avec k∈Zest encore un argument dez. Remarque. Supposonsz=a+ib=ρ(cosθ+isinθ) avec (a, b)∈R²\ {(0,0)}, et(ρ, θ)∈R^∗₊×R. Alors :

a=ρ(cosθ) etb=ρ(sinθ), ρ=p

a²+b², cosθ= a

√a²+b² et sinθ= b

√a²+b². Exemple 1. Trouver le module et un argument dez= 1 +i.

|z|=√

1 + 1 =√

2. Donc z=√ 2

√1 2 +i^√1

2

. Orcos ^π₄

= ^√1

2 etsin ^π₄

= ^√1

2. Doncθ= ^π₄ est un argument dez.

2.3 Notation exponentielle

Dans la suite, on noterae^iθ le complexecosθ+isinθ.

Tout nombre complexe z non nul s'écrit sous la forme exponentielle z=re^iθ,

avec r >0etθ réel. On a alors r=|z|etθ est un argument dez. Dénition (Forme exponentielle).

Pour tout (θ, ϕ)∈R²,

e^−iθ = cosθ−isinθ=e^iθ, e^iθ

= 1, e^iθe^iϕ=e^i(θ+ϕ) et e^iθ

e^iϕ =e^i(θ−ϕ). Proposition.

Pour tout θ réel, et tout entiern,

(cosθ+isinθ)ⁿ= cos(nθ) +isin(nθ).

Proposition (Formule de Moivre).

Démonstration. Il sut de passer sous forme exponentielle :

(cosθ+isinθ)ⁿ=

e^iθ n

=e^inθ = cos(nθ) +isin(nθ).

Exemple 2. Exprimercos(3θ) etsin(3θ) en fonction decosθ etsinθ. On a :

cos(3θ) +isin(3θ) = (cosθ+isinθ)³ = (cosθ)³+ 3i(cosθ)²sinθ−3 cosθ(sinθ)²−i(sinθ)³. En identiant les parties réelles et imaginaires, on trouve :

cos(3θ) = (cosθ)³−3 cosθ(sinθ)², sin(3θ) = 3(cosθ)²sinθ−(sinθ)³.

Pour tout θ∈R,

1 _{iθ −iθ}

et 1 _{iθ −iθ}

Proposition (Formules d'Euler).

Démonstration. Il sut d'appliquer les formulesRe(z) = ^z+z₂ etIm(z) = ^z−z_2i au nombre complexez= cos(θ)+isin(θ).

Exemple 3. Soitθ∈]−π, π[. Écrire le complexe 1 +e^iθ sous forme exponentielle.

On a

1 +e^iθ =e^iθ2

e^−iθ2 +e^iθ2

= 2 cosθ 2e^iθ2, qui convient car siθ∈]−π, π[,2 cos^θ₂ >0.

Exemple 4. Soitθ∈]−π, π[. Exprimercos(θ)³ comme combinaison linéaire decos(3θ)etcos(θ)(cette opération de transformation d'un produit en combinaison linéaire s'appelle linéarisation).

On applique successivement les formules d'Euler, le binôme de Newton, et de nouveau les formules d'Euler : cos(θ)³ = 1

8(e^iθ+e^−iθ)³

= 1 8

e^3iθ+ 3e^2iθe^−iθ+ 3e^iθe^−2iθ+e^−3iθ

= 1 4

e^3iθ+e^−3iθ

2 + 3e^iθ+e^−iθ 2

= cos(3θ) + 3 cos(θ)

4 .

Exemple 5. Soitn∈N. Calculer la somme S=

n

X

k=0

n k

cos(k).

On remarque queS = Re(T) avec T =

n

X

k=0

n k

e^ik. On commence donc par calculer T. Par la formule du binôme de Newton puis en appliquant la formule de l'exemple 3, on trouve :

T =

n

X

k=0

n k

(eⁱ)^k= (eⁱ+ 1)ⁿ=

2 cos 1

2

e²ⁱ n

= 2ⁿcos 1

2 n

eⁱⁿ² . D'où par passage à la partie réelle,S= 2ⁿcos ¹₂n

cos ⁿ₂ .

2.4 Exemple d'utilisation : les racines n-ièmes de l'unité

Soitnest un entier naturel non nul. On cherche à résoudre l'équation zⁿ= 1, d'inconnuez∈C.

Comme le but est de calculerzⁿ, la forme exponentielle semble la plus adaptée : on posez=|z|e^iθ avecθ∈R. zⁿ= 1⇐⇒ |z|ⁿe^inθ= 1⇐⇒ |z|ⁿ= 1 ete^inθ= 1 (en prenant le module).

Comme|z| ∈R₊,

|z|ⁿ= 1⇐⇒ |z|= 1.

Par ailleurs,

e^inθ = 1⇐⇒cos(nθ) = 1et sin(nθ) = 0⇐⇒ ∃k∈Ztel que θ= 2kπ n . L'ensemble des solutions dezⁿ= 1dans Cest donc :

n

e^2ikπn |k∈Zo .

Commee^2iπ= 1, on pourrait également montrer (mais c'est plus long) que cet ensemble se restreint à : n

e^2ikπn |k∈[[0, n−1]]

o .

3 Interprétation géométrique

Dans le plan muni d'un repère orthonormal(O;~u, ~v), le nombre complexe z =a+ib avec (a, b) réels est l'axe du pointM du plan de coordonnées(a, b)relativement au repère (O;~u, ~v). C'est aussi l'axe du vecteur−−→

OM.

Sous forme exponentielle z = re^iθ, r correspond à la distance du point M à l'origine, et θ à une valeur de l'angle (~u,−−→

OM) en radians.

0 a

b M

r θ

4 Principales formules trigonométrique

Pour tous réelsaetb, on a :

cos(a+b) =cosacosb−sinasinb, cos(a−b) =cosacosb+ sinasinb, sin(a+b) =sinacosb+ cosasinb, sin(a−b) =sinacosb−cosasinb.

Proposition (Formules d'addition).

Démonstration. (démonstration à connaître) On passe par les nombres complexes : cos(a+b) +isin(a+b) =e^i(a+b)

=e^iae^ib

= (cos(a) +isin(a))(cos(b) +isin(b))

= (cosacosb−sinasinb) +i(sinacosb+ cosasinb).

Il sut ensuite d'identier les parties réelles et imaginaires de ces deux égalités pour obtenir les expressions decos(a+b) etsin(a+b). Les deux autres s'obtiennent de même en remplaçantb par−b dans les calculs.

Pour tout a∈R,

cos(2a) = (cosa)²−(sina)² = 2(cosa)²−1 = 1−2(sina)², sin(2a) = 2(sina)(cosa).

Proposition (Formules de duplication).

Pour tout a∈R,

(cosa)²= 1 + cos(2a)

2 ,

(sina)²= 1−cos(2a)

2 .

Proposition (Formules de linéarisation du carré).

Démonstration. Cela découle directement des formules cos(2a) = 2(cosa)²−1 etcos(2a) = 1−2(sina)². Mais on pouvait également le montrer en utilisant les formules d'Euler :

(cosa)² =

e^ia+e^−ia 2

2

= e^2ia+e^−2ia+ 2

4 = cos(2a) + 1

2 ,

et de même pour la formule de(sina)².

Remarque. Attention : pour linéariser une expression autre qu'un carré, il faut impérativement utiliser les formules d'Euler.