Mécanique des milieux continus - élasticité
Ce qu’il faut savoir 8 février 2021
Y. Ricard 2011 - F. Chambat 2021
1 Préambule
Qu’est ce qu’un milieu continu ?
Qu’est ce que la physique des milieux continus ? Que sont les opérateurs grad, div, rot etΔ? Qu’est ce que l’operateur nabla,∇?
Vous comprenez la difference entre∇A,∇·A,∇·A,∇A,∇×A(qui sont respec- tivement, un vecteur, un scalaire, un vecteur, un tenseur, un vecteur).
Vous savez passer d’integrales de volume a integrales de surface en utilisant
∬
S
AndS =
∭
V
∇AdV
∬
S
A· ndS =
∭
V
∇·AdV
∬
S
A.ndS =
∭
V
∇·AdV
2 Les contraintes
Hydrostatique : Definition de la pression ;
Sur chaque surface dS, dirigee par la normalens’applique une force df =−PndS.
Vous savez en deduire l’equation de l’hydrodynamique ρ𝜕2
tu=−∇P+ρg.
Mecanique des milieux continus : Definition de la contrainte ; 1
Sur chaque surface dS, dirigee par la normalens’applique une force df =σndS.
Vous savez en deduire l’equation de la dynamique ρ𝜕2
tu=∇·σ+ρg.
Vous savez que le tenseur des contraintes est symetrique. Vous savez interpréter le fait qu’il est diagonalisable. Vous savez calculer les axes principaux et les contraintes principales.
En definissantσ = Δσ−PId, où tr(Δσ)=0, vous comprenez pourquoiΔσest appelé le tenseur deviatorique.
Vous savez calculer la contrainte suivant la directionpagissant sur la surface dirigee par la normalenen utilisantσp= (σn) ·p. Vous savez par exemple calculer la contrainte normale et cisaillante sur un plan de faille lorsque le tenseur des contraintes est connu.
Vous comprenez pourquoiσnest continu sur les interfaces dirigees parn.
Vous savez calculer la pression dans une planete de densite uniforme.
Vous savez justifier le concept d’isostasie. Vous savez l’appliquer sur des cas simples (montagnes, bassins...).
Vous comprenez pourquoi un relief est "plus en extension". Vous comprenez l’ori- gine de la "poussee aux dorsales".
Vous savez associer un etat de contrainte à une tectonique donnee (extension, en compression et cisaillement).
Vous connaissez la définition de la contrainte tectonique, de la pression lithosta- tique et de la pression moyenne.
Vous savez construire le cercle de Mohr des contraintes. Vous savez que le frotte- ment sur une faille verifie la loi de Coulombτ = fσn+C. Vous savez expliquer quand et suivant quel azimut un milieu se fracture.
3 Les deformations
Vous comprenez ce qu’est le déplacementu(x, y, z, t).
Vous savez écrire du = FdxoùF = ∇u. Vous savez ecrire la matriceF explicite- ment. Vous comprenez la notation dui =𝜕juidxj.
Vous connaissez la decompositionF = F+2FT + F−FT
2 = ε +Ω. Vous comprenez qu’une cinematique locale = translation+rotation+deformation. Vous connaissez
εij = 1
2 𝜕jui+𝜕iuj Ωij = 1
2 𝜕jui−𝜕iuj .
Vous savez calculer les changements de distance ds02=ds2+2Eijdxidxjavec Eij = 1
2 𝜕jui+𝜕iuj+2𝜕iuk𝜕juk . 2
Vous connaissez les proprietes de ces tenseurs, symmetrie, trace, interpretation...
Pour des deplacements simples vous savez calculer les tenseurs des deformations et de rotation, trouver les axes et deformations principales, interpreter le tenseur rotation.
Par exemple, pouru= (−x−y, x−y)vous savez representer le champ de deformation, calculer les tenseurs E,εetΩ, calculer ∇ · u, trouver le vecteurωcorrespondant au tenseurΩavecΩdx=ω×dxet montrer queω= 1
2∇×u.
Vous comprenez pourquoi on peut confondreEijetεij. Vous savez montrer que tout tenseuras’ecrit
aij = tr(a) 3 δij +
aij− tr(a) 3 δij
.
Quel est l’avantage de cette representation ? Comment s’appellent les deux termes sia est le tenseur des contraintes, des deformations ?
4 Rheologie elastique
On admet que la relation entre contraintes et deformations est lineaire σij =cijklεkl.
Le tenseur des coefficients elastiques est invariant par permutationij → ji,kl → lk,ijkl →klij. Pourquoi ? Vous savez montrer qu’il y a 21 coefficients.
L’augmentation des symetries du cristal reduit le nombre de coefficients jusqu’a 2 dans le cas isotrope.
La relation fondamentale de l’elasticiteisotropeecrite avec les parametres de Lamé est
σij =λεkkδij +2µεij.
Des expressions alternatives des parametres elastiques existent. Par exemple, l’in- compressibilite K = λ + 2/3µreliant P = −K∇ · u. Les mecaniciens utilisent le module d’YoungE, tel que la deformation d’une eprouvette unidirectionnelle (suivant z) chargee par une contrainte normale (parfois appellee pression) estεzz = P/E et sa deformation transverseεxx=εyy=−νεzzouνest le coefficient de Poisson.
Ketµsont positifs.
5 Equation d’elastodynamique et d’elastostatique
Dans beaucoup de cas, on peut considerer les contraintes comme sommes de contraintes statiques et de contraintes dynamiques et ecrireσ =σs+σdoù
∇·σs+δ(ρg) =0
∇·σd=ρ𝜕2ud
𝜕t2 . 3
Vous savez resoudre quelques exercices simples stationnaires, et comprendre quelles sont les conditions aux limites a appliquer (par ex, deplacements nuls, contraintes nor- males imposees, contraintes cisaillantes nulles...).
En introduisant la rheologie elastique dans l’equation de la dynamique, vous savez montrer l’équation de l’élastodynamique, ou de Navier :
ρ𝜕2
tu=(λ+µ)∇∇·u+µ∇2u+δ(ρg) ou encore
ρ𝜕2
tu= (λ+2µ)∇∇·u−µ∇×∇×u+δ(ρg).
Vous savez montrer que des ondes planes monochromatiquesu =u0exp[i(k.x− ωt)](et vous comprenez ce formalisme) sont solutions de ces équations (avec change- ment de gravité nul). Vous interpretez le résultat obtenu comme la propagation des changements de volume a la vitessevp = p
(λ+2µ)/ρet des cisaillements a la vitesse vs = p
µ/ρ. Vous savez donc expliquer la differences entre ondes de compression et ondes de cisaillement.
Le minimum des relations à connaître par coeur σn =T σ+n=σ−n ρ𝜕2
tu=∇·σ+δ(ρg)
(∇·σ)i =𝜕jσij σij =λεkkδij+2µεij εij = 1
2 𝜕jui+𝜕iuj
ρ𝜕2
tu=(λ+2µ)∇(∇·u) −µ∇×∇×u+δ(ρg) vp= q
(λ+2µ)/ρ vs = q
µ/ρ
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