Le tenseur des contraintes de Cauchy
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Repr´esentation des efforts int´erieurs Le postulat de Cauchy
Le lemme d’imparit´e Le th´eor`eme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamique Premi`ere loi de Cauchy du mouvement Seconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuit´es
5 Bilan : ´equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
Lois d’Euler du mouvement
d dt
Z
Ωt
ρv dv =R d
dt Z
Ωt
OP ∧ρv dv =M0
Lois d’Euler du mouvement
d dt
Z
Ωt
ρv dv = Z
Ωt
ρ(x,t)f(x,t)dv + Z
∂Ωt
t(x, ∂Ωt,t)ds d
dt Z
Ωt
OP ∧ρv dv = Z
Ωt
OP ∧ρ(x,t)f(x,t)dv
+ Z
∂Ωt
OP ∧t(x, ∂Ωt,t)ds
• Elles s’appliquent `a tout sous–domaineD ⊂Ωt.
• On a besoin des deux ´equations!
• R´ef´erentiel non galil´een : mettre les forces d’inertie dans f
Lois d’Euler du mouvement 4/60
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Repr´esentation des efforts int´erieurs Le postulat de Cauchy
Le lemme d’imparit´e Le th´eor`eme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamique Premi`ere loi de Cauchy du mouvement Seconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuit´es
5 Bilan : ´equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus
Etats de contraintes remarquables
La controverse des “´ elasticiens” du XIX` eme si`ecle
Cˆot´e fran¸cais : Navier, Cauchy, Saint–Venant l’hypoth`ese mol´eculaire Cˆot´e anglais : Young, Green l’approche ph´enom´enologique
Repr´esentation des efforts int´erieurs 6/60
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Repr´esentation des efforts int´erieurs Le postulat de Cauchy
Le lemme d’imparit´e Le th´eor`eme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamique Premi`ere loi de Cauchy du mouvement Seconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuit´es
5 Bilan : ´equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus
Etats de contraintes remarquables
Description des efforts int´ erieurs
Ωt
D
∂D
• le vecteur–contrainte Rsurf =
Z
∂D
t(x, ∂D,t)ds
Repr´esentation des efforts int´erieurs 8/60
Description des efforts int´ erieurs
Ωt
D
∂D
n t
• le vecteur–contrainte Rsurf =
Z
∂D
t(x, ∂D,t)ds
• le postulat de Cauchy : t(x, ∂D,t) :=t(x,n,t) normale sortante
Description des efforts int´ erieurs
Ω D1
∂D1
D2
∂D2
n t
• le vecteur–contrainte Rsurf =
Z
∂D
t(x, ∂D,t)ds
• le postulat de Cauchy : t(x, ∂D,t) =t(x,n,t) normale sortante
• une cons´equence
t(x, ∂D1,t) =t(x, ∂D2,t)
Repr´esentation des efforts int´erieurs 10/60
Ω D1
∂D1
D2
∂D2
n1
n2
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Repr´esentation des efforts int´erieurs Le postulat de Cauchy
Le lemme d’imparit´e Le th´eor`eme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamique Premi`ere loi de Cauchy du mouvement Seconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuit´es
5 Bilan : ´equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
L’argument du cachet d’aspirine
Ωt
S
Dε
n
n x
∂D ε
∂D
• S =S ∩ Dε
∂Dε=∂D+∪∂D−∪ Hε
• f,a born´ees
• t continu (pas d’efforts surfaciques concentr´es)
• premi`ere loi d’Euler Z
∂D
t(x,n,t)ds= Z
D
ρ(x,t)(a −f)dv
L’argument du cachet d’aspirine
Ωt
S
Dε
n
n x
∂D ε
∂D
• S =S ∩ Dε
∂Dε=∂D+∪∂D−∪ Hε
• f,a born´ees
• t continu (pas d’efforts surfaciques concentr´es)
• premi`ere loi d’Euler Z
∂D
t(x,n,t)ds= Z
D
ρ(x,t)(a −f)dv
Repr´esentation des efforts int´erieurs 14/60
L’argument du cachet d’aspirine
Ωt
S
Dε
n
n x
∂D ε
∂D
• S =S ∩ Dε
∂Dε=∂D+∪∂D−∪ Hε
• f,a born´ees
• t continu (pas d’efforts surfaciques concentr´es)
• Lemme d’imparit´e
t(x,−n,t) =−t(x,n,t) actio =reactio
L’argument du cachet d’aspirine
Ωt
S
Dε
n
n x
∂D ε
∂D
• S =S ∩ Dε
∂Dε=∂D+∪∂D−∪ Hε
• f,a born´ees
• t continu (pas d’efforts surfaciques concentr´es)
• Lemme d’imparit´e
t(x,−n,t) =−t(x,n,t) actio =reactio
• Exemple de repr´esentation det(n) remplissant cette condition?
Repr´esentation des efforts int´erieurs 16/60
Insuffisance de la repr´ esentation pression
repr´esentation des efforts surfaciques par un champ de pression : t =−pn
Insuffisance de la repr´ esentation pression
repr´esentation des efforts surfaciques par un champ de pression : t =−pn
Repr´esentation des efforts int´erieurs 18/60
Une remarque...
• premi`ere loi d’Euler Z
∂D
t(x,n,t)ds= Z
D
ρ(x,t)(a −f)dv
• Quelles sont les conditions surt pour qu’une int´egrale de volume se r´eduise `a une int´egrale de surface?
Le th´ eor` eme de la divergence et autres formes
Z
Ω
divv dv = Z
∂Ω
v.n ds
Repr´esentation des efforts int´erieurs 20/60
Le th´ eor` eme de la divergence et autres formes
Z
Ω
divv dv = Z
∂Ω
v.n ds plus g´en´eralement,
Z
Ω
•,idV = Z
∂Ω
•nids Z
Ω
∇f dv = Z
∂Ω
fnds Z
Ω
divv dv = Z
∂Ω
v.n ds Z
Ω
divT∼dv = Z
∂Ω
T∼.n ds
Une remarque...
• premi`ere loi d’Euler Z
∂D
t(x,n,t)ds= Z
D
ρ(x,t)(a −f)dv
• Quelles sont les conditions surt pour que l’on puisse passer ainsi du volume `a la surface?
Si t est un flux ⇐⇒t lin´eaire enn ⇐⇒ t =•.n, alors le passage surface–volume est possible.
La r´eciproque constitue le th´eor`eme de Cauchy.
Repr´esentation des efforts int´erieurs 22/60
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Repr´esentation des efforts int´erieurs Le postulat de Cauchy
Le lemme d’imparit´e Le th´eor`eme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamique Premi`ere loi de Cauchy du mouvement Seconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuit´es
5 Bilan : ´equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus
Etats de contraintes remarquables
L’argument du t´ etra` edre de Cauchy
n
1
2 3
P1
P3
P2
M
n = [n1 n2 n3]T t´etra`edre ∆h = MP1P2P3
passant par le point P(hn1,hn2,hn3)
hauteurh
surfacesS1,S2,S3,S
Z
∆h
ρ(x,t)(a −f)dv = Z
∂∆h
t(x,n,t)ds
Repr´esentation des efforts int´erieurs 24/60
L’argument du t´ etra` edre de Cauchy
n
1
2 3
P1
P3
P2
M
n = [n1 n2 n3]T t´etra`edre ∆h = MP1P2P3
passant par le point P(hn1,hn2,hn3)
surfacesS1,S2,S3,S
t1(M,n) =t1(M,
3
X
i=1
niei) =
3
X
i=1
nit1(M,ei)
L’argument du t´ etra` edre de Cauchy
n
1
2 3
P1
P3
P2
M
n = [n1 n2 n3]T t´etra`edre ∆h = MP1P2P3
passant par le point P(hn1,hn2,hn3)
surfacesS1,S2,S3,S
t1(M,n) =t1(M,
3
X
i=1
niei) =
3
X
i=1
nit1(M,ei)
t2(M,n) =t2(M,
3
X
i=1
niei) =
3
X
i=1
nit2(M,ei)
t3(M,n) =t3(M,
3
X
i=1
niei) =
3
X
i=1
nit3(M,ei)
Repr´esentation des efforts int´erieurs 26/60
L’argument du t´ etra` edre de Cauchy
n
1
2 3
P1
P3
P2
M
n = [n1 n2 n3]T t´etra`edre ∆h = MP1P2P3
passant par le point P(hn1,hn2,hn3)
surfacesS1,S2,S3,S
ti(M,n) =
3
X
j=1
ti(M,ej)nj
ti =σijnj, σij(M) :=ti(M,ej)
Le th´ eor` eme de Cauchy
Il existe un champ de tenseurs du second ordreσ∼(x,t) tel que, en tout point r´egulier de Ωt (t continu,f,a finis),
t =σ∼.n
t1 t2 t3
=
σ11 σ12 σ13 σ21 σ22 σ23 σ31 σ32 σ33
n1 n2 n3
Repr´esentation des efforts int´erieurs 28/60
Le tenseur des contraintes
Le tenseur des contraintes est lamachine`a produire les efforts s’exer¸cant sur les ´el´ements de surface enM :
tds =σ∼.n ds =σ∼.ds
n t
σ
nτ
x3
x2
σ33
σ23
σ13
σ32
σ22
σ12
σ31
σ11
σ21
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Repr´esentation des efforts int´erieurs Le postulat de Cauchy
Le lemme d’imparit´e Le th´eor`eme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamique Premi`ere loi de Cauchy du mouvement Seconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuit´es
5 Bilan : ´equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Repr´esentation des efforts int´erieurs Le postulat de Cauchy
Le lemme d’imparit´e Le th´eor`eme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamique Premi`ere loi de Cauchy du mouvement Seconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuit´es
5 Bilan : ´equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus
Etats de contraintes remarquables
Premi` ere loi de Cauchy
• Efforts surfaciques Z
∂D
t(x,n,t)ds= Z
∂D
σ∼(x,t).n ds
Z
∂D
ti(x,n,t)ds = Z
∂D
σij(x,t)njds
Equations locales de la dynamique 32/60
Premi` ere loi de Cauchy
• Efforts surfaciques Z
∂D
t(x,n,t)ds= Z
∂D
σ∼(x,t).n ds Z
∂D
ti(x,n,t)ds = Z
∂D
σij(x,t)njds = Z
D
∂σij
∂xj
dv (th´eor`eme de la divergence)
Premi` ere loi de Cauchy
• Efforts surfaciques Z
∂D
t(x,n,t)ds= Z
∂D
σ∼(x,t).n ds Z
∂D
ti(x,n,t)ds = Z
∂D
σij(x,t)njds = Z
D
∂σij
∂xj dv (th´eor`eme de la divergence)
• Application `a la premi`ere loi d’Euler Z
D
ρ(ai−fi)− ∂σij
∂xj
dv = 0
• En tout point r´egulier
∂σij
∂xj +ρ(fi−ai) = 0 divσ∼+ρ(f −a) = 0
Equations locales de la dynamique 34/60
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Repr´esentation des efforts int´erieurs Le postulat de Cauchy
Le lemme d’imparit´e Le th´eor`eme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamique Premi`ere loi de Cauchy du mouvement Seconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuit´es
5 Bilan : ´equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus
Etats de contraintes remarquables
Seconde loi de Cauchy
• Seconde loi d’Euler Z
D
(x −x0)∧ρ(a −f)dv = Z
∂D
(x −x0)∧(σ∼.n)ds Dans une base cart´esienne orthonorm´ee directe d’origine x0, la premi`ere composante vaut
Z
D
(x2ρ(a3−f3)−x3ρ(a2−f2))dv = Z
∂D
(x2σ3j −x3σ2j)njds
Equations locales de la dynamique 36/60
Seconde loi de Cauchy
• Seconde loi d’Euler Z
D
(x −x0)∧ρ(a −f)dv = Z
∂D
(x −x0)∧(σ∼.n)ds Dans une base cart´esienne orthonorm´ee directe d’origine x0, la premi`ere composante vaut
Z
D
(x2ρ(a3−f3)−x3ρ(a2−f2))dv = Z
∂D
(x2σ3j −x3σ2j)njds
= Z
D
(x2∂σ3j
∂xj −x3∂σ2j
∂xj +δ2jσ3j −δ3jσ2j)dv
Seconde loi de Cauchy
• Seconde loi d’Euler Z
D
(x −x0)∧ρ(a −f)dv = Z
∂D
(x −x0)∧(σ∼.n)ds Dans une base cart´esienne orthonorm´ee directe d’origine x0, la premi`ere composante vaut
Z
D
(x2ρ(a3−f3)−x3ρ(a2−f2))dv = Z
∂D
(x2σ3j −x3σ2j)njds
= Z
D
(x2∂σ3j
∂xj −x3∂σ2j
∂xj +δ2jσ3j −δ3jσ2j)dv
• Seconde loi de Cauchy (milieux non polaires) Z
D
(σ32−σ23)dv = 0 σ23−σ32 = 0 σ31−σ13 = 0 σ12−σ21 = 0
Equations locales de la dynamique 38/60
Seconde loi de Cauchy
Le tenseur des contraintes est un tenseur euclidien d’ordre 2 sym´etrique: c’est une forme bilin´eaire sym´etrique...
n1.σ∼.n2 =n2.σ∼.n1 ... ou un endomorphisme auto–adjoint
σ∼T =σ∼, σij =σji
n.σ∼ =σ∼.n Cons´equence?
Seconde loi de Cauchy
Le tenseur des contraintes est un tenseur euclidien d’ordre 2 sym´etrique: c’est une forme bilin´eaire sym´etrique...
n1.σ∼.n2 =n2.σ∼.n1 ... ou un endomorphisme auto–adjoint
σ∼T =σ∼, σij =σji
n.σ∼ =σ∼.n
Cons´equence : le tenseur des contraintes est diagonalisable dans une base orthonorm´ee et ses valeurs propres sont r´eelles
σ∼ =
3
X
i=1
σini⊗ni, avec σ∼.ni =σini (no sum) σi : contraintes principales
ni : directions principales des contraintes
Equations locales de la dynamique 40/60
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Repr´esentation des efforts int´erieurs Le postulat de Cauchy
Le lemme d’imparit´e Le th´eor`eme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamique Premi`ere loi de Cauchy du mouvement Seconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuit´es
5 Bilan : ´equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus
Etats de contraintes remarquables
Surface de discontinuit´ e mobile
cas de champs continus par morceaux
∂D S
∂D
D
D
D
wnn
• vitesse de propagation
w = lim
∆t→0
MtMt+∆t
∆t =wnn vitesse relative de la
mati`ere /S
U=v.n −wn
• saut de f `a travers S [[f]] :=f+−f−
• conservation de la masse [[ρU]] = 0
• casS mat´erielle
Equations aux discontinuit´es 42/60
Premi` ere loi d’Euler avec discontinuit´ es
∂D S
∂D
D
D
D
wnn
d dt
Z
D
ρv dv= Z
D
ρ(x,t)f(x,t)dv+ Z
∂D
t(x,n,t)ds
Premi` ere loi d’Euler avec discontinuit´ es
∂D S
∂D
D
D
D
wnn
un th´eor`eme de transport d dt
Z
D
ρv dv= Z
D
ρadv+ Z
S
[[v]]ρU ds
Equations aux discontinuit´es 44/60
Equations aux discontinuit´ es
n
x
S
∂D
∂D s
domaineS ⊂ D,S ⊂ S Z
D
ρadv+ Z
S
[[v]]ρU ds = Z
D
ρ(x,t)f(x,t)dv+ Z
∂D
t(x,n,t)ds
Equations aux discontinuit´ es
n
x
S
∂D
∂D s
domaineS ⊂ D,S ⊂ S Z
D
ρadv+ Z
S
[[v]]ρU ds = Z
D
ρ(x,t)f(x,t)dv+ Z
∂D
t(x,n,t)ds
`a la limiteD →S, Z
S
[[v]]ρU ds = Z
S
[[σ∼]].nds
Equations aux discontinuit´es 46/60
Equations aux discontinuit´ es
• cas g´en´eral
[[σ∼]].n −ρU[[v]] = 0 ondes de choc
• cas d’une surface de discontinuit´e S mat´erielle (ou cas statique)
[[σ∼]].n = 0
le vecteur–contrainte est continu au travers de toute surface mat´erielle
le tenseur des contraintes n’est pas n´ecessairement continu!
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Repr´esentation des efforts int´erieurs Le postulat de Cauchy
Le lemme d’imparit´e Le th´eor`eme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamique Premi`ere loi de Cauchy du mouvement Seconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuit´es
5 Bilan : ´equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
Bilan : cas g´ en´ eral
t =σ∼.n vecteur–contrainte
Equations de champ :
divσ∼+ρf =ρa quantit´e de mouvement (Cauchy 1) σ∼T =σ∼ moment cin´etique (Cauchy 2) Equations aux discontinuit´es :
[[ρU]] = 0
[[σ∼]].n −ρU[[v]] = 0
Bilan : cas statique
t =σ∼.n vecteur–contrainte divσ∼+ρf = 0 quantit´e de mouvement σ∼T =σ∼ moment cin´etique
[[σ∼]].n = 0 continuit´e du vecteur–contrainte
Bilan : ´equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus 50/60
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Repr´esentation des efforts int´erieurs Le postulat de Cauchy
Le lemme d’imparit´e Le th´eor`eme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamique Premi`ere loi de Cauchy du mouvement Seconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuit´es
5 Bilan : ´equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus
Etats de contraintes remarquables
Traction simple
σ∼ =σd ⊗d
[σ∼] =
σ 0 0
0 0 0
0 0 0
(e1=d,e2,e3)
2 1
σ σ
machine de traction hydraulique (capacit´e 10t)
Etats de contraintes remarquables 52/60
Etat de contraintes biaxial
σ∼=σ1d1⊗d1+σ2d2⊗d2 avecd1.d2= 0
[σ∼] =
σ1 0 0 0 σ2 0
0 0 0
(e1=d1,e2=d2,e3)
contraintes planes
2
1
σ1
σ1
σ2
machine de traction biaxiale pour ´eprouvettes cruciformes
Etat de contraintes triaxial
une “compression” de C´esar
Etats de contraintes remarquables 54/60
Etat de contraintes triaxial
[σ∼] =
σ1 0 0
0 σ2 0 0 0 σ3
m´ecanique des roches et des sols
machine de compression plane sous pression de confinement (bain d’huile, 2MPa, laboratoire 3S-INPG)
Etat de contraintes triaxial
[σ∼] =
σ1 0 0
0 σ2 0 0 0 σ3
m´ecanique des roches et des sols
machine triaxiale, ´echantillon cubique (150x150x150mm3) (bain d’huile, 2-60MPa, v´erins 10t, laboratoire 3S-INPG)
Etats de contraintes remarquables 56/60
Etat de contraintes triaxial
[σ∼] =
σ1 0 0
0 σ2 0 0 0 σ3
machine triaxiale, LMT-Cachan
Essai de cisaillement
Etats de contraintes remarquables 58/60
Etat de cisaillement simple
σ∼ =τ(d1⊗d2+d2⊗d1)
[σ∼] =
0 τ 0
τ 0 0
0 0 0
(e1=d1,e2=d2,e3)
2
1
τ τ
τ
τ τ τ
τ
avec d1.d2 = 0
Champ de contraintes non homog` ene
Essais sur structures : flexion 4 et 3 points
Etats de contraintes remarquables 60/60
