Université Mohammed Premier Faculté Pluridisciplinaire de Nador Département de Maths et Informatique
Filières SMA Semestre S3 Année universitaire: 2020-2021
TD d’Algèbre 4
Série 2: Diagonalisation & trigonalisation.
Exercice 1.
Soient A∈GLn(K) et B ∈ Mn(K). On suppose que la matrice AB est diagonalisable. Montrer que la matriceBAest diagonalisable.
Exercice 2.
Soienta1et a2deux réels tels que (a1,a2)6= (0,0) etA=
0 a1
a2 0
.
1) Calculer le polynôme caractéristique deA.
2) Montrer queAest diagonalisable dansM2(R) si et seulement sia1a2>0.
3) Montrer queAest diagonalisable dansM2(C) si et seulement sia1a26= 0.
Exercice 3.
Déterminera∈Rpour que 2 soit valeur propore de A =
1 −1 0
a 1 1
0 1 +a 3
. Montrer alors queA est diagonalisable et déterminer ses éléments propores.
Exercice 4.
Soit
A=
3 0 2 1 3 1 0 0 1
1) Donner le polynôme caractéristique deAet ses valeurs propores.
2) Déterminer les sous-espaces propores deA. La matriceAest-elle diagonalisable ? 3) Déterminerv1, v2, v3 tels queAv1=v1, Av2= 3v2,etAv3=v2+ 3v3.
4) Montrer que (v1, v2, v3) est une base de R3 et donner la matrice de passage P de la base canonique deR3 à la base (v1, v2, v3).
Exercice 5.
Soit (a, b, c, d)∈K4.Montrer que la matriceA=
1 ab 0 0
1 b 0 0
0 1 c cd
0 0 1 d
n’est pas diagonalisable.
Exercice 6.
SoitE unR-espace vectoriel de dimension finie etf ∈ L(E).
On suppose que (f+IdE)3◦(f−2IdE) = 0 et (f +IdE)3◦(f −2IdE)6= 0.L’endomorphismef est-il trigonalisable ? Est-il diagonalisable ?
Exercice 7.
CalculerAn pour :
A=
2 1 1 1 2 1 1 1 2
.
Série 2: Diagonalisation & trigonalisation. 1/1
