UNIVERSIT´E DE GEN`EVE Facult´e des sciences
Section de math´ematiques
Analyse II r´eelle
S´erie 21 3 mai 2005
1. Dire de quelle nature est le point critique (0,0) par lin´earisation :
ξ=−(xy2+ 2 sin(y), x−x2y−sin(y)) , ξ= (y−sin(x)3,−4x−sin(y)3) , ξ= (ey−1,−sin(x)−y)
2. L’´equation du mouvement du pendule s’´ecrit :
¨
x+ksin(x) = 0
o`uxrepr´esente l’angle du bras du pendule avec la verticale etkest une constante positive. En posanty= ˙x cette ´equation est ´equivalente au syst`eme d’ordre 1 :
(x˙ =y
˙
y=−ksin(x)
Etudier les points critiques de ce syst`eme et leur stabilit´e.Indication : en (0,0), on peut utiliser la somme de l’´en´ergie cin´etique et de l’´energie potentielle, qui est constante sur les trajectoires ; en (±π,0), on peut regarder la partie lin´eaire de l’´equation.
3. L’´equation du mouvement du pendule avec friction s’´ecrit :
¨
x+cx˙+ksin(x) = 0
o`ucest une nouvelle constante positive. Ramener, en posanty= ˙x, `a un syst`eme de deux ´equations d’ordre 1. Etudier la nature des points critiques par lin´earisation. En d´eduire que l’´equation ´etudi´ee `a l’exercice pr´ec´edent n’est pas structurellement stable.
4. Le syst`eme d’´equations
(x0 =x(ε1−σ1x−α1y)
y0=y(ε2−α2x−σ2y , εi, αi, σi>0 , σ1σ2−α1α26= 0
repr´esente l’´evolution de deux esp`eces en comp´etition. Trouver le point critique situ´e dans le premier cadran (strictement). Prenez ε1 =ε2 = 1, σ1 = 2, σ2 = 3, α1 =α2 = 1 et ´etudiez dans ce cas la nature du point critique par lin´earisation, et montrez que les deux esp`eces peuvent coexister (plus g´en´eralement, on peut montrer que siσ1σ2−α1α2>0, alors les deux esp`eces peuvent coexister).
0,6 0,4
x y
0,35
0,7 0,1
0,5 0,3
0,4
0,2 0,25
0,15 0,3
Fig.1 – Especes en comp´etition : quelques trajectoires
