Triangle rectangle et cercle.
1 Cercle circonscrit d’un triangle rectangle.
Le cercle circonscrit d’un triangle rectangle a pour diamètre son hypoténuse.
Son rayon vaut donc la moitié de l’hypoténuse.
La médiane issue de l’angle droit est égale au rayon du cercle.
D’après l’égalité de Pythagore, le rayon vaut donc :
2 2
2 AC CB
r +
=
2 Caractérisation d’un triangle dont un côté est le diamètre de son cercle circonscrit :
Tout triangle dont un côté est le diamètre de son cercle circonscrit est un triangle
rectangle.
Le diamètre est alors l’hypoténuse du triangle.
3 Exercice :
a) West un cercle de centre O et de diamètre 12 cm. AB est un de ces diamètres.
M est un point du cercle W tel que AM = 6 cm.
Construis une figure aux vraies dimensions.
b) Quelle est la nature du triangle AMB ? Justifie.
c) Quelle est la nature du triangle AMO ? Justifie.
d) Donner en les justifiant les mesures des angles MAB et MBA.
e) Calculer MB au mm près.
f) Calculer l’aire du triangle AMB au mm² près.
g) Soit H le pied de la hauteur du triangle AMB issue de M.
1) Construire H.
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2) Calculer MH (Il faut utiliser l’aire que tu as calculée en question f.) h) Soit N, le milieu de [ON].
1) Place N.
2) Comment sont les droites (AM) et (ON) ? Justifie.
3) Que peut-on dire du triangle ONB ? Justifie.
4) Calcule ON.
i) Calcule le cosinus de l’angle MAB.
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