Chapitre I Le jeu de pile ou face. Introduction aux marches al´ea- toires

Chapitre I

Le jeu de pile ou face. Introduction aux marches al´ ea- toires

1. 1 – Exp´ erimentation, simulation

1. 1. 1 – Attente du premier, du deuxi`eme,· · ·, duk`eme pile

Exp´erience : elle se fait en deux temps. Dans un premier temps, r´ep´eter un grand nombre de fois une mˆeme exp´erience conduisant `a un succ´es ou `a un ´echec (lancer de pi`ece pour obtenir pile, lancer de d´es pour obtenir le 1 ou le 2, lancer d’une punaise pour qu’elle retombe la pointe en haut, ...). En comptant les succ´es, estimer la probabilit´e de succ´es (approche dite fr´equentiste).

Puis, dans un deuxi`eme temps, r´ep´eter un grand nombre de fois la proc´edure suivante : faire l’exp´erience jusqu’au premier succ´es et noter le nombre de coups n´ecessaires. En additionnant et en divisant par le nombre d’exp´eriences, calculer le “temps d’attente moyen” pour le premier succ´es.

On constate num´eriquement que le temps d’attente moyen n’est pas tr`es ´eloign´e de l’inverse de la fr´equence de succ´es.

De nouvelles exp´eriences, voire des simulations, permettront de se convaincre de la g´en´eralit´e de cette con- statation, et d’´enoncer une conjecture : si une exp´erience al´eatoire conduit au succ´es avec une probabilit´e p >0, et si on r´ep`ete ind´ependamment cette exp´erience jusqu’`a l’instantT du premier succ´es (T = 1si on r´eussit au premier coup,2si on ´echoue au premier coup et r´eussit au second, etc.),E(T) = 1

p (o`uE d´esigne l’esp´erance math´ematique).

Une fois ´enonc´ees les bonnes d´efinitions, il n’est pas difficile, par un calcul de somme de s´erie d´eriv´ee d’une s´erie g´eom´etrique, de prouver cette conjecture.

Exercice 1. 1 – R´efl´echir aux faits suivants et ´enoncer de nouvelles conjectures :

On d´esigne parTk l’instant de r´ealisation duk^{`eme</sup>succ´es. L’intervalleTk−T<sub>k−1</sub>d´ecrit le temps qui s’´ecoule entre le (k−1)<sup>`eme}succ´es et lek<sup>`eme</sup>. Que peut on penser des lois de T1 et deTk−T<sub>k−1</sub>? (ind´ependance ? mˆeme loi ? ). Par ailleurs, si on ´echoue `a la premi`ere ´epreuve, l’ind´ependance indique que c’est comme si on repartait au d´ebut. Que peut-on penser de la loi conditionnelle de T1 sachant queT1>1 ?

En moyenne, il doit falloir kfois plus de temps pour obtenir ksucc´es que pour en obtenir 1. Que peut-on penser deE(T_k) ?

1. 1. 2 – Suites dek piles cons´ecutifs

Exp´erience : essayer d’´ecrire une suite de 100 nombres al´eatoires (0 ou 1) “imitant” les lancements d’une pi`ece ´equilibr´ee.

Probl`eme : comment tester la “qualit´e” de cette imitation du hasard ?

On pense ´evidemment `a la proportion de 1 dans la liste (qui devrait avoisiner 50%). On peut aussi regrouper les nombres 2 par 2 et compter le nombre d’occurrences des quatre suites 00, 01, 10 et 11. Id´ealement, ces quatre nombres devraient s’approcher de 12,5 (quoique le nombre d’exp´eriences soit un peu petit pour pouvoir appliquer les lois de grands nombres). On d´ecrit ici un crit`ere beaucoup moins intuitif et qui permet d’´eliminer beaucoup de listes.

Dans ce paragraphe, l’exp´erience al´eatoire consiste `a lancer un nombre ind´etermin´e de fois une pi`ece pour laquelleP(pile) =p∈[0,1]. Les lancers sont suppos´es ind´ependants.

Th´eor`eme 1. 1. 1

Soitp(k, n)la probabilit´e d’obtenir au moins une suite dek piles cons´ecutifs au cours des npremiers lancers d’une pi`ece. La suite (p(k, n))n v´erifie la relation de r´ecurrence suivante :

∀n>k+ 1, p(k, n) =p(k, n−1) +p^k(1−p)(1−p(k, n−k−1))

Exercice 1. 2 – D´eterminer p(k,1),· · ·, p(k, k−1), p(k, k).

Montrer que sip >0, lim

n→∞p(k, n) = 1 (indication : suite croissante major´ee).

On ´ecrira `al’exercice 1.18un programme de calcul exact et approch´e desp(k, n).

1. 1. 3 – Obtenira piles avantb faces

Le probl`eme est le suivant : deux joueurs jouent `a pile ou face (ou n’importe quel autre jeu d´esignant un vainqueur et un perdant), et le premier qui atteint un nombre N de succ´es remporte la partie. Mais, pour une raison quelconque, ils sont oblig´es d’interrompre la partie alors que le joueurAa remport´eN−asucc´es et le joueurBen a remport´eN−b. La question est alors la suivante : quand ils reprendront la partie, quelle sera la probabilit´ep(a, b) pour que le joueurAl’emporte ?

Avec un ´enonc´e l´eg`erement diff´erent, ce probl`eme est connu sous le nom deprobl`eme des paris de Pascal.

D´esignons parpla probabilit´e qu’a le joueurAde remporter chaque ´etape. On peut visualiser ce jeu par la marche al´eatoire plane suivante : on part de X₀ = (0,0) et `a chaque ´etape n, on fait un pas vers la droite (X_n+1=X_n+ (1,0)) avec probabilit´epou un pas vers le haut (X_n+1=X_n+ (0,1)) avec probabilit´e 1−p.

La marche s’arrˆete quand le pointX_n rencontre la droite d’´equationx=a(on dira que la marche sort par la droite) ou la droite d’´equationy=b (on dira que la marche sort par le haut). Le nombrep(a, b) est alors la probabilit´e pour que la marche sorte par la droite.

Il y a diverses mani`eres de calculer, plus ou moins explicitement, le nombrep(a, b). On en propose deux en exercices.

Exercice 1. 3 – Montrer que la marche sort par la droite ou par le haut en un minimum dea´etapes et en un maximum dea+b−1 ´etapes.

Soitk∈ {a, a+b−1}. En utilisant une loi binomiale, exprimer la probabilit´e pour que la marche sorte par la droite en exactement k´etapes (exprimer la signification de cet ´ev´enement quant au r´esultat de la k^`eme

´

etape et de l’ensemble desk−1 premi`eres ´etapes. En d´eduire une formule exprimantp(a, b) sous la forme d’une somme faisant intervenir des coefficients binomiaux et des puissances depet de 1−p.

Exercice 1. 4 – Montrer que, sia >0,p(a,0) = 0 et que sib >0,p(0, b) = 1.

Montrer que siaetb sont strictement positifs,

p(a, b) =p p(a−1, b) + (1−p)p(a, b−1) (consid´erer deux cas, en fonction du r´esultat de la premi`ere partie).

Les deux exercices ci-dessus fournissent deux moyens de calculerp(a, b), ce que l’on fera `al’exercice 1.19.

1. 1. 4 – Estimation asymptotique de la longueur maximale des suites de piles cons´ecutifs On revient aux suites de piles cons´ecutifs ´etudi´ees auparagraphe 1.1.2.

Exercice 1. 5 – Ecrire un programme (Excel, Java, ...) permettant d’´etudier et de valider num´eriquement l’affirmation suivante, par simulation d’un grand nombre d’exp´eriences : lorsqu’on lance n fois une pi`ece, pas forc´ement ´equilibr´ee, telle que P(Pile) = p ∈]0,1[, la plus longue suite de piles cons´ecutifs a presque sˆurement une longueur de l’ordre de grandeur delnn quandntend vers l’infini.

1. 2 – Quelques ´ eclairages th´ eoriques

1. 2. 1 – El´ements de th´eorie des probabilit´es Espaces probabilis´es

Unespace probabilis´e(Ω,A, P) est un triplet form´e d’un ensemble Ω, d’une familleAde parties appel´ee unetribu, et d’unemesure de probabilit´eP surA.

Dire queAest une tribu signifie que :

• Acontient Ω ;

• Si les An (n ∈ N) sont ´el´ements de A, leur r´eunion l’est aussi (on dit que A est stable par r´eunion d´enombrable) ;

•SiA∈ A, le compl´ementaireA^CdeAest aussi ´el´ement deA(on dit queAest stable par compl´ementation).

Les partiesA∈ Asont appel´ees des´ev´enements.

Dire que P est une mesure de probabilit´e sur A, c’est dire queP associe `a toute partieA∈ Aun nombre P(A)∈[0,1] en respectant les deux r`egles :

•P(Ω) = 1

•Si les An appartiennent `aAet sont deux `a deux disjoints,P([

n∈N

An) =X

n∈N

P(An)

On reconnaˆıt des propri´et´es des probabilit´es rencontr´ees au lyc´ee, except´e que la formule sur la probabilit´e des r´eunions disjointes n’est plus limit´ee aux r´eunions finies mais d´enombrables.

Variables al´eatoires

Une variable al´eatoire r´eelle est une application X : Ω → R mesurable, c’est-`a-dire telle que, pour tout intervalleI deR, l’ensemble des ´el´ements ω de Ω tels queX(ω)∈I soit un ´ev´enement. La probabilit´e de cet ´ev´enement est simplement not´ee P(X ∈I), et en g´en´eral son calcul se fait au moyen d’une somme de s´erie (voire une somme finie) ou d’une int´egrale, et parfois un m´elange des deux.

On appelle loi de X la mesure PX surRqui `a un intervalleI associePX(I) =P(X ∈I). La plupart des calculs de probabilit´e se font grˆace `a cette mesure, ce qui permet de ne pas trop s’inqui´eter, au moins dans un premier temps, si on a du mal avec l’ensemble abstrait Ω et la notion de tribu.

Les exemples les plus classiques de lois sont les lois finiesoud´enombrables (pour lesquellesX ne prend qu’un nombre fini de valeurs ou une infinit´e ´enum´erable par les nombres entiers) et les lois continues `a densit´e, pour laquelle P(X ∈ I) =P_X(I) s’´ecrit sous la forme

Z

I

f(t)dt, formule dans laquellef est une fonction positive surRdont l’int´egrale sur Rvaut 1. Cette fonction f est appel´eela densit´e deX. Variables ind´ependantes, ´ev´enements ind´ependants

On dit quedes variables al´eatoiresX₁,· · ·, X_n sont mutuellement ind´ependantessi, quels que soient les intervallesI1,· · ·, In,

P((X1∈I1)∩ · · · ∩(Xn∈In)) =P(X1∈I1)× · · · ×P(Xn∈In)

On v´erifie que si on retire certaines desX_i `a une famille de variables ind´ependantes, les variables restantes sont encore ind´ependantes.

Si F = (Xi)i∈I est une famille quelconque de variables al´eatoires, on dit que les Xi sont ind´ependantes si toute sous-famille finie de F est form´ee de variables ind´ependantes. Ceci nous permettra dans la suite de parler de suites (X_n)_n∈N de variables ind´ependantes.

On montre que si les (Xi)_i∈I sont ind´ependantes et si on poseY1=ϕ1(XI₁),· · ·, Yn=ϕn(XI_n), o`uϕk(XI<sub>k</sub>) d´esigne une fonction ne d´ependant que desXi pouri∈Ik, si les ensembles d’indicesI1,· · ·, In sont deux `a deux disjoints, alors les variablesY1,· · ·, Yn sont mutuellement ind´ependantes.

Des ´ev´enementsA_isont dits ind´ependantssi la probabilit´e de l’intersection d’un nombre fini quelconque d’entre eux est ´egale au produit de leurs probabilit´es.

Esp´erance

On dit qu’une variable al´eatoire X est int´egrable si R

Ω|X|dP est finie. C’est toujours vrai si X ne prend qu’un nombre fini de valeurs. Si X prend une infinit´e d´enombrable x₀, x₁,· · ·, x_n,· · · de valeurs avec les probabilit´es respectives p₀, p₁,· · ·, p_n,· · ·, X est int´egrable si et seulement si la s´erie

+∞

X

n=0

|xn|pn

converge. SiX est une variable continue de densit´ef,X est int´egrable si et seulement si l’int´egrale impropre Z +∞

−∞

|x|f(x)dxconverge. Lorsque cette condition est r´ealis´ee, on d´efinit l’esp´erance deX par :

• E(X) =

n

X

k=1

x_kp_k si X est une variable prenant un nombre fini de valeursx₁,· · ·, x_n avec les probabilit´es respectivesp₁,· · ·, p_n;

• E(X) =

+∞

X

k=1

xkpk si X est une variable prenant une infinit´e d´enombrable de valeursx1,· · ·, xn,· · ·, avec les probabilit´es respectivesp₁,· · ·, p_n,· · ·;

•E(X) = Z +∞

−∞

xf(x)dxsiX est une variable continue de densit´ef.

On d´emontre que toute combinaison lin´eaireaX+bY de variables al´eatoires int´egrablesXetY est int´egrable et queE(aX+bY) =aE(X) +bE(Y). Par ailleurs, pour toute fonction ϕ: R→Rmesurable,ϕ(X) est int´egrable si et seulement si

•

+∞

X

k=1

|ϕ(xk)|pk converge (cas d´enombrable). On a alorsE(ϕ(X)) =

+∞

X

k=1

ϕ(x_k)p_k;

• Z +∞

−∞

|ϕ(x)|f(x)dxconverge (cas continu `a densit´e). On a alors E(ϕ(X)) = Z +∞

−∞

ϕ(x)f(x)dx.

Exercice 1. 6 – SoitX une variable al´eatoire r´eelle. V´erifier que siϕ: R→Rest la fonction qui vaut 1 sur un intervalleI et 0 ailleurs,ϕ(X) est int´egrable etE(ϕ(X)) =P(X∈A).

On noteϕ= 1I et on appelleϕla fonction indicatrice deI.

En particulier, quandϕ(t) =t², on d´efinit les variables de carr´e int´egrable. SiX est de carr´e int´egrable, on poseV(X) =E(X²)−(E(X))²et on appelle V(X) la variance deX.

Exercice 1. 7 – V´erifier queV(X) =E((X−E(X))²).

On prouve que si lesXisont des variables ind´ependantes de carr´e int´egrable,E(XiXj) =E(Xi)E(Xj) pour touti6=j et V(X₁+· · ·+X_n) =V(X₁) +· · ·+V(X_n).

1. 2. 2 – Loi binomiale

Avant de d´efinir les lois binomiales, nous d´efinissons les lois de Bernoulli. On dit que X suit une loi de Bernoulli de param`etre p(et on noteX ∼ B(p)) si X peut prendre les valeurs 0 et 1 avec les probabilit´es P(X = 0) =petP(X= 1) = 1−p.

Une telle variable est souvent introduite pour servir de “compteur” de succ´es dans une exp´erience al´eatoire ne pouvant aboutir qu’`a deux r´esultats (exemple :X = 1 si on obtient pile,X= 0 sinon). Un calcul simple montre queE(X) =pet V(X) =p(1−p).

On dit queX suit une loi binomiale de param`etresnetp(et on noteX ∼ B(n, p) siX suit la mˆeme loi que la somme denvariables de Bernoulli ind´ependantesXide mˆeme param`etrep. Si chaque variableXiindique si on a obtenu un succ´es `a lai<sup>`eme</sup>exp´erience,X donne le nombre de succ´es au cours des nexp´eriences.

On v´erifie que la probabilit´e pour queX =k vautC_n^kp^k(1−p)^n−k si k∈ {0,· · ·, n} et 0 sinon. Un calcul direct `a partir de ces formules ou l’utilisation des r´esultats th´eoriques rappel´es au paragraphe pr´ec´edent (esp´erance d’une somme quelconque, variance d’une somme de variables ind´ependantes) permet de prouver queE(X) =npet que V(X) =np(1−p).

1. 2. 3 – Le th´eor`eme central-limite

SoitXune variable binomiale de loiB(n,1/2), avecngrand. Nous nous int´eressons dans ce paragraphe `a une estimation de la probabilit´e pour queXprenne ses valeurs “aux environs” de la valeur centraleE(X) =n/2.

Commen¸cons par une estimation num´erique : pourn= 10000, on obtientP(X = 5000)∼0.00798. Ce calcul pose des probl`emes num´eriques (les factorielles impliqu´ees sont trop grandes pour ˆetre calcul´ees) qui ne sont n´eanmoins pas difficiles `a r´esoudre avec un peu d’astuce (voir la question 1 de l’exercice 1.21).

On peut aussi calculer une valeur approch´ee deP(S2n =n) en utilisant la formule de Stirling, qui donne un

´

equivalent den! pourngrand :

n! ' n

e ⁿ√

2πn Exercice 1. 8 – Montrer queP(S2n=n)∼ 1

√πnen utilisant la formule de Stirling. On propose `a la question 1 del’exercice 1.21une comparaison de la valeur exacte et de la valeur approch´ee deP(S_2n=n).

On s’int´eresse maintenant aux probabilit´espn(k) =P(S2n =n+k) etsn(k) =P(n−k6S2n6n+k), o`uk est “petit” devantn(en pratique, cela veut dire quekne d´epasse pas 3√

n). Il n’est pas difficile d’exprimer pn(k) =P(S2n=n+k) en fonction depn(0), et d’en d´eduire une mani`ere de calculer efficacement lespn(k) et, par sommation, lessn(k). On v´erifie en effet que, sik>0

pn(k) =pn(0)

k−1

Y

i=0

1− i n 1 + i+ 1

n

On propose `a la question 1 de l’exercice 1.21d’utiliser ces formules pour calculer ´economiquementpn(k) et sn(k).

Si on trace un diagramme en bˆatons avec, au dessus de l’ordonn´ee k, le nombrepnk), et si on renormalise convenablement les choses, on constate que ce diagramme a une allure de courbe en cloche gaussienne. Ceci est confirm´e par le th´eor`eme suivant, appel´eth´eor`eme central-limite.

Th´eor`eme 1. 2. 1 – Th´eor`eme central-limite

SoitSn une variable binomiale de param`etres n et p= 1/2. On pose Yn = Sn−n/2

√n/2 . La loi de la variableYn converge vers une loi normale quand n tend vers l’infini. Cela signifie que siaet b sont des r´eels fix´es,

n→∞lim P(a6Y_n 6b) = 1

√2π Z b

a

e^−x2/2dx

D´emonstration – Par la relation de Chasles et l’additivit´e des probabilit´es, on peut toujours supposer quea= 0 et renommerb=a. Il s’agit alors de prouver que

n→∞lim P(06Y_n6a) = 1

√2π Z a

0

e^−x2/2dx

Nous nous limiterons pour simplifier les calculs au cas o`unest pair. Posons doncn= 2N. Compte tenu de la d´efinition deY_n,

P(06Y_n 6a) =P(N 6S_2N 6N+a⁰)

aveca⁰=a

√n

2 . D´esignons park0le plus grand nombre entier plus petit quea⁰. Comme la variable al´eatoire S2N est `a valeurs dans N, on cherche donc `a estimer

k₀

X

k=0

P(S2N =N+k) =

k₀

X

k=0

pN(k). D’apr`es les calculs faits ci-dessus

pN(k) =pN(0)

k−1

Y

i=0

1− i N 1 +i+ 1

N et

pN(0)∼ 1

√ πN

La premi`ere approximation faite est la suivante : dans l’expression de p<sub>N</sub>(k), remplacer chaque terme de la forme 1 +j/N pare<sup>j/N</sup> (le premier est le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 du deuxi`eme au voisinage de 0).

Ceci va introduire sur chaque facteur une erreur et il faudra ˆetre capable de contrˆoler l’effet cumul´e de ces erreurs dans notre estimation. Apr`es calculs, on obtient l’estimation

P(S2N =N+k)∼pN(0)e^−k2/N (v´erifier ce r´esultat). L’erreur commise peut s’´ecrirepN(0)εk, avec

εk=

k−1

Y

i=0

1− i N 1 + i+ 1

N

−e^−k2/N

Nous v´erifierons plus bas que cette erreur n’influe pas sur le r´esultat final du calcul.

En rempla¸cantpN(0) par son ´equivalent 1

√πN, nous constatons que la probabilit´e cherch´ee est estim´ee par

P ∼ 1

√ πN

k0

X

k=0

e^−k2/N

avec une erreur maximale de l’ordre depN(0)(ε0+ε1+...+εk₀). Nous montrerons plus loin que cette erreur tend vers 0 quandntend vers l’infini, en tenant compte du fait quek0est de l’ordre den^1/2, vu sa d´efinition.

Puisqu’on souhaite prouver que la somme ci-dessus converge vers une int´egrale, on va la faire apparaˆıtre comme une somme de Riemann d’une fonction ad´equate. Si on d´ecoupe l’intervalle [0, a] avec un pas ´egal

`

a p(de sorte que tous les intervalles sont de largeurp, sauf peut-ˆetre le dernier), on obtient une somme de Riemann du type

p

K0

X

k=0

f(kp)

o`u K<sub>0</sub>pest le plus grand multiple depinf´erieur ou ´egal `aa, comme le sugg`ere la figure ci-dessus.

Ici, on voudrait aboutir `a une somme de Riemann sur [0, a] de la fonctionf d´efinie par f(x) = 1

√2πe^−x2/2

Pour que le ”quotient devant l’exponentielle” soit le bon, ceci nous conduit `a choisir p=

r2 N

(v´erifier ceci). Le nombreK0 est donc le plus grand entier v´erifiant K0

r2 N 6a ou encore

K06a rN

2 =a

√n 2

c’est-`a-dire K0=k0. Par cons´equent, la somme de Riemann def sur [0, a] correspondant au pasps’´ecrit

√1 πN

k0

X

k=0

e^−(kp)2/2= 1

√ πN

k0

X

k=0

e^−k2/N

et par cons´equent co¨ıncide avec l’estimation de la probabilit´eP. Comme le pas tend vers 0 (il est de l’ordre de grandeur de 1

√n), cette somme tend vers l’int´egrale voulue. Une fois qu’on aura d´emontr´e que l’erreur globale

pN(0)(ε0+ε1+...+εk₀) tend vers 0, le th´eor`eme sera ´etabli.

Pour d´emontrer ce dernier point, on va estimer chaqueεk. On a, en valeur absolue

|εk|=

k−1

Y

i=0

1− i N 1 + i+ 1

N

−e^−k2/N Posons

x_k= ln







k−1

Y

i=0

1− i N 1 + i+ 1

N







On a alors,

|εk|=|e^xk−e^−k2/N| Comme les deux nombresxk et−k²/N sont n´egatifs,

|e^xk−e^−k2/N|6|x_k−(−k²/N)|

d’apr`es l’in´egalit´e des accroissements finis (car la d´eriv´ee de l’exponentielle est major´ee par 1 sur R−). Il suffit donc de majorer |xk+k<sup>2</sup>/N|. Vu la mani`ere dont a ´et´e obtenuk²/N dans la premi`ere partie de la d´emonstration, on peut ´ecrire

x_k+k² N =

k−1

X

i=0

ln(1− i N)−

k−1

X

i=0

ln(1 +i+ 1 N ) +

k−1

X

i=0

i N +

k−1

X

i=0

i+ 1 N

Pour N assez grand, tous les nombresj/N qui interviennent dans les sommes ci-dessus sont compris entre

−1/2 et 1/2. Sur cet intervalle, l’application de la formule de Taylor-Lagrange ou un prolongement par continuit´e montrent qu’il existe une constanteC telle que

|ln(1 +x)−x|6Cx²

(v´erifier ceci et montrer que l’on peut choisirC= 2 dans cette majoration). En regroupant la premi`ere et la troisi`eme somme d’un cˆot´e, la deuxi`eme et la quatri`eme de l’autre, on obtient alors finalement la majoration

|xk+k² N|62C

k−1

X

i=0

i² N² +

k−1

X

i=0

(i+ 1)² N²

!

qui est major´e par 2Ck³

N² 6 2Ck₀³

N² (en majorant tous les i et les i+ 1 par k). Finalement, puisque le majorant obtenu est ind´ependant dek, on obtient

|pN(0)(ε₀+ε₁+...+ε_k0)|62Cp_N(0)(k₀+ 1)k³₀ N²

qui tend vers 0 puisquek₀ est de l’ordre deN^1/2 etp_N(O) tend vers 0. Ceci compl`ete la preuve.

Remarque – La formule donnant la valeur deY_n peut paraˆıtre curieuse. En fait, il s’agit simplement de Yn= Sn−E(Sn)

pV(S_n) .

On propose `a la question 3 del’exercice 1.21 de comparer les probabilit´essn(k) d´etermin´ees ci-dessus `a la valeur approch´ee obtenue grˆace au th´eor`eme central-limite et de se faire ainsi une id´ee du domaine de validit´e de ce th´eor`eme.

1. 2. 4 – Un outil important : le lemme de Borel-Cantelli

L’objectif de ce paragraphe est de pr´esenter un outil important dans l’´etude de probl`emes dont la conclusion s’´enonce sous une forme telle que : avec probabilit´e 1, un certain type d’´ev´enement ne se produit qu’un nombre fini de fois lorsqu’on r´ep`ete ind´efiniment certaines exp´eriences. Nous commen¸cons par quelques exercices pour nous habituer, `a travers l’´etude d’exemples li´es au pile ou face, `a la notion d’´ev´enements de probabilit´e nulle.

Exercice 1. 9 – On consid`ere une suite infinie de lancers de pile ou face avec une pi`ece ´equilibr´ee, et on fait l’hypoth`ese que les r´esultats sont ind´ependants. Pour tout entierk>1, on d´esigne parA_k l’´ev´enement :

“au cours de cette suite de lancers, pile est sorti au moins k+ 1 fois”.

1 – Montrer que, pour toutn>1,A^C₁ ⊂Bn,1 o`u Bn,1 est l’´ev´enement : “au cours des npremiers lancers, pile est sorti 0ou1 fois”.

Montrer queP(Bn,1=n+ 1

2ⁿ , et en d´eduire queP(A1) = 1.

2 – En utilisant des ´ev´enementsB_n,k analogues, dont on montrera que la probabilit´e est ´egale `a P(B_n,k) =

k

X

i=0

C_nⁱ 2ⁿ montrer que, pour tout entierk>1,P(A_k) = 1.

3 – Soit A l’´ev´enement : “au cours de la suite de lancers, pile est sorti une infinit´e de fois”. Montrer que A^C =

+∞

[

k=1

A^C_k et en d´eduire queP(A) = 1. Montrer ´egalement que la probabilit´e pour qu’au cours de la suite de lancers, pile et face soient tous les deux sortis une infinit´e de fois, vaut 1.

Montrer que des ´ev´enements sont de probabilit´e nulle n’est pas toujours aussi ´el´ementaire que dans les exemples pr´ec´edents. Nous donnons ci-dessous un r´esultat tr`es important, dont l’emploi est fr´equent dans ce genre de situations.

Th´eor`eme 1. 2. 2 – Lemme de Borel-Cantelli Si(An)est une suite d’´ev´enements telle que la s´erieP

P(An)converge, P(lim supAn) = 0

On traduit ce r´esultat abstrait en disanr que la probabilit´e pour qu’une infinit´e de An se r´ealisent (qui est la probabilit´e de l’ensemble des ´el´ements ω∈Ω qui appartiennent `a une infinit´e deAn) vaut 0. Ensemblis- tement, lim supAn d´esigne pr´ecis´ement cet ensemble.

D´emonstration – Rappelons que lim supAn =T

n>1

S

k>nAk

, qui est l’ensemble des ´el´ements ω∈Ω qui appartiennent `a une infinit´e deAn. On a

P(lim supAn)6P [

k>n

Ak

6X

k>n

P(A_k)

qui tend vers 0 quandntend vers l’infini (reste d’une s´erie convergente).

Remarque – On aurait pu ainsi dire que si on posef =

+∞

X

n=1

1_An,E(f) =

+∞

X

n=1

P(A_n)<+∞, doncf est finie p.s. ; or lim supAn={ω |f(ω) = +∞}.

Nous admettrons que ce th´eor`eme admet la “r´eciproque partielle” suivante :si lesAn sont ind´ependants, et si la s´erie

+∞

X

n=1

P(An)diverge, alors avec probabilit´e1, une infinit´e deAn se r´ealisent.

Comme application du lemme de Borel-Cantelli, nous donnons la propri´et´e suivante, qui reprend de mani`ere formalis´ee l’´enonc´e “lorsqu’on lancenfois une pi`ece, pas forc´ement ´equilibr´ee, telle queP(Pile) =p∈]0,1[, la plus longue suite de piles cons´ecutifs a presque sˆurement une longueur de l’ordre de grandeur de lnn quandn tend vers l’infini” vu auparagraphe. Nous nous limiterons n´eanmoins dans l’´enonc´e ci-dessous au cas d’une pi`ece ´equilibr´ee.

Th´eor`eme 1. 2. 3

On consid`ere une suite infinie de lancers d’une pi`ece ´equilibr´ee, les r´esultats des lancers ´etant suppos´es ind´ependants. On fixe un entier a >1, et on d´esigne, pour tout entier k, parϕ(k)le plus petit entier sup´erieur ou ´egal `aalnk

ln 2.

Enfin, on appelleA_k l’´ev´enement : “au cours des lancers num´erosk−ϕ(k)+1, k−ϕ(k)+2,· · ·, k−1, k, on n’a observ´e que des piles”.

Alors :

- avec probabilit´e 1, seul un nombre fini d’´ev´enementsA_k se r´ealisent.

- avec probabilit´e1, il existe n₀ tel que, quel que soit n>n₀, la longueur de la plus longue suite de piles cons´ecutifs entre le premier et len<sup>`eme</sup>coup est inf´erieure ou ´egale `aϕ(n).

Remarque – On peut d´emontrer, avec un peu plus d’efforts, que si l’on d´esigne par L(n) la longueur de la plus longue suite de piles cons´ecutifs entre le premier et len^`emecoup, la suite Ln

log₂n tend vers 1 avec probabilit´e 1.

D´emonstration – R´edaction `a compl´eter

1. 2. 5 – Loi forte des grands nombres

Parmi les cons´equences du lemme de Borel-Cantelli figure le r´esultat suivant, connu sous le nom de loi forte des grands nombres, dont la d´emonstration dans le cas g´en´eral est un peu compliqu´ee, mais qui est assez

´

el´ementaire dans le cas des variables de Bernoulli.

Th´eor`eme 1. 2. 4 – Loi forte des grands nombres

Soit(X_n)une suite de variables ind´ependantes et de mˆeme loi. On suppose les variablesX_nint´egrables et on d´esigne parm₁ leur esp´erance commune. Alors la variable

Xn= X1+· · ·+Xn

n =Sn

n converge presque sˆurement vers m₁.

Nous commen¸cons par donner la preuve dans le cas o`u les variablesXn sont dansL⁴(Ω) (cas qui s’applique

`

a des variables de Bernoulli). Nous donnons cette preuve sous forme d’exercice.

Exercice 1. 10 – Preuve de la loi forte des grands nombres pour des variables Xn dans L⁴(Ω) On pose, pour tout entiern>1,Yn=Xn−m1et Σn =Y1+· · ·+Yn.

1 – Prouver la formule suivante

(1) Σ⁴_n=

n

X

i=1

Y_i⁴+ 4X

i<j

Y_i³Yj+ 6X

i<j

Y_i²Y_j²+ 12 X

i<j<k

Y_i²YjYk+ 24 X

i<j<k<`

YiYjYkY`

2 – Montrer queE(Yn) = 0.

3 – En utilisant (1) et l’ind´ependance des variablesYn(qu’on ne demande pas de d´emontrer), montrer que

(2) E(Σ⁴_n) =nE(Y₁⁴) + 3n(n−1)

E(Y₁²)² 4 – Soitε >0. Montrer que

(3) P

Σn

n

> ε

6 E(Σ⁴_n) n⁴ε⁴

5 – D´eduire de (2) et (3) que, avec probabilit´e 1, il existe un entiern0 tel que, pour toutn>n0,

−ε6Σn6ε et conclure.

Nous proposons maintenant une d´emonstration du th´eor`eme en nous restreignant au cas particulier o`u les Xn sont de carr´e int´egrable. Nous poserons dans la suitem2=E(X₁²).

D´emonstration – Fixonsε >0. Soitn∈N. D´esignons parAn l’´ev´enement A_n: il existe p∈[n²,(n+ 1)²−1] tel que

S_p n² −m₁

> ε

Nous allons montrer que, presque sˆurement, seul un nombre fini deAn se produit.

Pour queA_n soit r´ealis´e il est n´ecessaire que

•soit l’´ev´enement

Sn²

n² −m1

> ε 2 soit r´ealis´e ;

•soit l’un des 2n´ev´enements

Sp−S_n2

n²

> ε

2, n²+ 16p6n²+ 2n le soit.

En utilisant l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebycheff, on obtient P

Sn²

n² −m1

> ε 2

6V(Sn²/n²)

ε² = 4n²m2

n⁴ε² = 4m2

n²ε² De mani`ere analogue, en notant queE(S_n2−S_p) = 0, on a

P

S_p−S_n2

n²

> ε 2

64V(S_p−S_n2)

n⁴ε² =4(p−n²)m₂

n⁴ε² 6 8m₂ n³ε²

La probabilit´e de A_n est major´ee par celle de la r´eunion mentionn´ee ci-dessus, elle-mˆeme major´ee par la somme des probabilit´es consid´er´ees. On obtient donc

P(An)6 4m2

n²ε² + 8n2m2

n³ε² = K n²ε² Il en r´esulte que si l’on choisitε= 1

n^1/4, la s´eriePP(A_n) converge et que, presque sˆurement seul un nombre fini deAn est r´ealis´e. On a donc montr´e que presque sˆurement il existen0 tel que, pour toutn>n0, pour toutp∈[n²,(n+ 1)²−1],

S_p n² −m1

6 1

n^1/4 Si on remarque que lorsque n² 6 p 6 (n+ 1)²−1, n² = Ent(√

p)2

(o`u Ent d´esigne la fonction partie enti`ere), on a donc d´emontr´e que la suite

Sp

Ent(√ p)² converge versm1 presque sˆurement. Comme la suite

Ent(√ p)2

p

tend vers 1, le r´esultat est prouv´e.

1. 3 – Quelques probl` emes

1. 3. 1 – Probl`eme de la ruine des joueurs

Deux joueursA etB disposent d’une fortune initiale deaet beuros respectivement. Ils jouent `a un jeu o`u A a une probabilit´ep de gagner. Si A gagne,B lui donne un euro. Si c’est B qui gagne,A lui donne un euro. Le jeu s’arrˆete quand l’un des joueurs est ruin´e. Calculer la probabilit´ep(a, b) pour queA remporte la partie.

Exercice 1. 11 – 1 – Montrer quep(a, b) =pp(a+ 1, b−1) +qp(a−1, b+ 1) (o`uq= 1−p).

2 – Pour 06n6N =a+b, on poseun=p(n, N−n). Calculeru0et uN. 3 – Pour 06n6N−1, on posevn=un+1−un.

a – V´erifier que sip6= 1/2, la suite (vn) est g´eom´etrique, et qu’elle est constante sip= 1/2.

b – Calculerv₀+· · ·+v_r−1 de deux mani`eres diff´erentes et en d´eduire l’expression exacte dev_n, puis celle deu_n (calculeru₀+· · ·+u_n−1) et enfin la valeur dep(a, b). Calculer notammentp(a, a) pourp= 1/2.

1. 3. 2 – Le probl`eme du scrutin et le principe de r´eflexion

Exercice 1. 12 – Un point de coordonn´ees (x, y) se d´eplace dans le plan de la mani`ere suivante : on part de (0,0) `a l’instant 0, et `a chaque instanti,xaugmente de 1, ety augmente de±1. On appelle trajectoire de longueur n l’ensemble des positions du point entre les instants 0 et n. Lorsqu’il existe une trajectoire reliant (0,0) `a (n, m), on dit quemest accessible en n´etapes.

1 – Combien y-a-t-il de trajectoires de longueurn?

2 – Soit (n, m) un point du plan. A quelle condition existe-t-il une trajectoire de (0,0) `a (n, m) ? Quelle est alors la probabilit´e de cette trajectoire si on suppose toutes les trajectoires ´equiprobables ?

3 – On suppose m > 0 et accessible en n ´etapes. Le but de cette question est de calculer le nombre de trajectoires reliant (0,0) `a (n, m) en ne passant que par des points (x, y) o`uy >0. On appelle trajectoire positiveune telle trajectoire.

a – Montrer qu’une trajectoire positive passe forc´ement par (1,1).

b – Montrer qu’il existe autant de trajectoires non positives reliant (1,1) `a (n, m) que de trajectoires reliant (1,−1) `a (n, m) (principe de r´eflexion de Lord Kelvin).

c – En d´eduire le nombre de trajectoires positives reliant (1,1) `a (n, m) et prouver que la probabilit´e cherch´ee est ´egale `a m

n.

4 –Application - Le th´eor`eme du scrutin

Au cours d’une ´election, 1000 ´electeurs ont vot´e pour deux candidatsAet B. Le candidat Aa obtenu 600 voix, et le candidatB en a eu 400. On suppose que les ordres d’arriv´ee des 1000 ´electeurs au bureau de vote sont ´equiprobables. Quelle est la probabilit´e pour queA ait ´et´e majoritaire tout au long du scrutin ? 5 –Application - Un probl`eme de file d’attente

Cent personnes font la queue `a un guichet de cin´ema. La place vaut 5 euros. Soixante personnes ont en poche un billet de 5 euros, les quarante autres n’ont qu’un billet de 10 euros. Combien faut-il placer de billets de 5 euros en caisse pour qu’avec une probabilit´e sup´erieure `a 0,95, chacun soit servi d`es qu’il se pr´esente (on suppose que les ordres d’arriv´ee possibles des 100 personnes sont ´equiprobables).

1. 3. 3 – Probl`eme des retours en0

Nous utilisons dans ce paragraphe le r´esultat ´etabli `a l’exercice pr´ec´edent (principe de sym´etrie de Lord Kelvin) pour ´etudier les “retours en z´ero” d’une marche al´eatoire, c’est-`a-dire les propri´et´es des instants n o`u l’ordonn´ee d’un point (x, y) se d´epla¸cant suivant la r`egle indiqu´ee au paragraphe pr´ec´edent s’annule. Pour simplifier les notations, on d´esigne parYn l’ordonn´ee `a l’instantndu point al´eatoire.

Exercice 1. 13 – 1 – V´erifier que l’´ev´enementYN = 0 n’est possible que siN est pair. ExprimerP(Y2n= 0).

2 – Soitv2nle nombre de trajectoires telles queYi>0, pour 16i62n. Montrer quev2n= C_2nⁿ

2 (consid´erer les valeurs possibles deY2n et utiliser le principe de sym´etrie).

3 – En d´eduire queP(Y2n = 0) =P(Y16= 0,· · ·, Y2n6= 0).

4 – Montrer qu’il existe autant de trajectoires de longueur 2n telles que, pour 1 6i62n, S_i >0 que de trajectoires de longueur 2n+ 1 telles que, pour 16i62n+ 1,Si>0 (faire une figure).

En d´eduire queP(Y_2n= 0) =P(Y₁>0,· · ·, Y_2n>0).

5 –Premier retour en z´ero

SoitE2n l’´ev´enement : “on retourne en z´ero `a l’instant 2n pour la premi`ere fois”. Montrer que P(E2n) = P(Y_2n−2= 0)−P(Y2n= 0) (utiliser la question 3).

6 –Dernier retour en z´ero

SoitF_2k,2n l’´ev´enement : “entre les instants 0 et2n, le dernier retour en z´ero s’est produit `a l’instant 2k”.

a – Montrer que

P(F2k,2n) =P(Y2k = 0)×P(S16= 0,· · ·, S_2n−2k6= 0) b – En d´eduire queP(F2k,2n) =P(F_2n−2k,2n).

c – Montrer que, lorsquentend vers l’infini, et lorsquek n’est ni trop proche de 0 ni trop proche den, P(F_2k,2n)∼ 1

n

1 π

sk n

1−k

n

d – Soit t un nombre fix´e dans l’intervalle [0,2n], ni trop proche de 0, ni trop proche de 2n. Montrer que la probabilit´e pour que le dernier retour en z´ero entre les instants 0 et 2ncompris ait lieu avant l’instantt admet pour valeur approch´ee 2

πarc sin r t

2n. (Consid´erer une somme de Riemann).

1. 4 – Exercices

Exercice 1. 14 – Le probl`eme des allumettes de Banach

Un fumeur a dans chaque poche une boˆıte d’allumettes contenant initialementNallumettes (le mˆeme nombre dans chaque poche). A chaque cigarette, il choisit une poche au hasard (avec ´equiprobabilit´e) et prend une allumette dans la boˆıte correspondante. Il ne se rend pas compte qu’une boˆıte est vide tant qu’il ne la trouve pas vide en l’ouvrant. Soitr ∈ {1,· · ·, N}. Quelle est la probabilit´e pour que le fumeur essaie de prendre une allumette dans une boˆıte vide pour allumer la (N+r)^`emecigarette ?

Indication -L’´ev´enement ´etudi´e peut se produire de deux mani`eres incompatibles et de mˆeme probabilit´e : la boˆıte trouv´ee vide peut se trouver dans la poche droite ou gauche. Pour calculer la probabilit´e pour qu’il trouve la boˆıte vide dans sa poche gauche, consid´erer le sch´ema de Bernoulli associ´e `a l’exp´erience suivante : il y a succ´es si le fumeur choisit de prendre une allumette dans sa poche gauche, ´echec sinon. Le fumeur trouve la boˆıte gauche vide `a la (N+r)<sup>`eme</sup> cigarette si et seulement si le (N + 1)<sup>`eme</sup>succ´es se produit `a l’´etape N+r. Utiliser les r´esultats duparagraphe 1.1.1.

Exercice 1. 15 – Match de tennis

Deux joueurs s’affrontent au tennis en cinq sets. Le joueurA a une probabilit´epde gagner chaque set. Les sets sont suppos´es ind´ependants (hypoth`ese discutable sut un vrai court...). Quelle est la probabilit´e pour queAgagne la partie ?

Indication - Utiliser les r´esultats ´enonc´es au paragraphe consacr´e aux paris de Pascal pour ´ecrire une formule explicite. Utiliser un programme pour calculer la probabilit´e recherch´ee en fonction dep.

On pourra g´en´eraliser cet exemple `a un match de tennis de table et exprimer en fonction dep(probabilit´e pour Ade gagner chaque point, qu’on suppose ind´ependante du joueur qui met en jeu) la probabilit´eP(p) pour queA gagne un set en 21 points (donc alors queB a obtenu au maximum 19 points). Pour cela, on

´

ecrira un programme de calcul des probabilit´esP(p) et on tracera la courbe d’´equationy=P(x) (x∈[0,1]).

Exercice 1. 16 – Une application du lemme de Borel-Cantelli. Retours en 0 d’une marche al´eatoire asym´etrique

Soit (Y_n) une suite de variables de Bernoulli ind´ependantes de mˆeme loi d´efinie par P(Y_n = 1) = p et P(Y_n=−1) = 1−po`u 0< p <1 etp6= 1/2.

On poseZ₀= 0 et, pour toutn>1,Z_n=Y₁+· · ·+Y_n. On d´esigne parA_n l’´ev´enementZ_n= 0. On appelle un tel ´ev´enement unretour en z´ero.

1 – Que repr´esente l’´ev´enement lim supA_n?

2 – Montrer que presque sˆurement il n’y a qu’un nombre fini de retours en z´ero. En d´eduire que presque sˆurement, il existe un entier n₀ tel que, pour toutn>n₀, Z_n garde un signe constant (utiliser le fait que, pour toutn,Z_n+1−Z_n=±1).

Exercice 1. 17 – Somme d’un nombre al´eatoire de variables al´eatoires

SoitX1,· · ·, Xn,· · ·une famille infinie de variables de Bernoulli de mˆeme param`etrepet soitN une variable de Poisson de param`etre λ. On suppose que les variablesXn et N sont mutuellement ind´ependantes. On pose

S=

N

X

n=1

Xn

(Attention : le nombre de termes de la somme est lui aussi al´eatoire).

1 – Calculer la loi deS. Pour cela, ´ecrire P(S=m) =

+∞

X

k=0

P(S=metN =k)

=

+∞

X

k=0

P(X1+· · ·+Xk =metN =k) puis conclure en utilisant l’ind´ependance.

2 – On ne fait plus d’hypoth`ese sur les lois des X<sub>i</sub> et de N dans cette question. On suppose encore les variables X<sub>i</sub> et N mutuellement ind´ependantes, on suppose que toutes ces variables sont `a valeurs dansN et sont int´egrables d’esp´eranceE(X_i) =λetE(N) =µ.

a – Justifier pourquoi tous lesE(X_i) sont ´egaux.

b – Montrer queE(S) =λµ.

(Indication : commencer le calcul de la mani`ere suivante E(S) =

+∞

X

k=0

mP(S=m)

=

+∞

X

m=0

m

+∞

X

k=0

P(X₁+· · ·+X_k=met N=k)

!

et utiliser le r´esultat suivant : si lesun,msont des r´eels positifs,

+∞

X

n=1

+∞

X

m=1

un,m

=

+∞

X

m=1

+∞

X

n=1

un,m

(th´eor`eme de Fubini dans le cadre des s´eries doubles `a termes positifs).

1. 5 – Exercices sur machines

Exercice 1. 18 – Les notations sont celles du paragraphe 1.1.2: l’exp´erience al´eatoire consiste `a lancer un nombre ind´etermin´e de fois une pi`ece pour laquelle P(pile) = p ∈ [0,1]. Les lancers sont suppos´es ind´ependants.

On d´esigne par p(k, n) la probabilit´e d’obtenir au moins une suite de k piles cons´ecutifs au cours des n premiers lancers d’une pi`ece. On a vu auth´eor`eme 1.1.1que la suite (p(k, n))nv´erifie la relation de r´ecurrence suivante :

∀n>k+ 1, p(k, n) =p(k, n−1) +p^k(1−p)(1−p(k, n−k−1))

Ecrire un programme Java estimantp(k, n) pourk,netpfix´es par l’utilisateur. Le programme doit v´erifier la validit´e des donn´ees entr´ees par l’utilisateur (pest un r´eel compris entre 0 et 1, k et n sont des entiers strictement positifs). Si les conditions de validit´e ne sont pas respect´ees, le programme doit remplacer le param`etre mal d´efini par sa valeur par d´efaut : 0,5 pourp, 5 pourket 100 pourn.

Ecrire une simulation estimant la probabilit´e d’obtenir kpiles cons´ecutifs quand on lance une pi`ecen fois.

Mˆemes remarques quant `a l’entr´ee des donn´ees par l’utilisateur. Il faudra dans ce cas un dernier param`etre,

´

egal au nombre de r´ep´etitions de l’exp´erience simul´ee.

Exercice 1. 19 – Ecrire un programme Java qui calcule de deux mani`eres diff´erentes la probabilit´e d’obte- nirapiles avant bfaces lors d’une suite de lancers de pi`ece (cf. le paragraphe 1.1.3). Les param`etres entr´es par l’utilisateur sont : la probabilit´epd’apparition de pile et les nombresaetb. Le programme doit v´erifier la validit´e des donn´ees entr´ees par l’utilisateur (pest un r´eel compris entre 0 et 1, a et b sont des entiers positifs, et au moins un des deux est strictement positifs). Si les conditions de validit´e ne sont pas respect´ees, le programme doit remplacer le param`etre mal d´efini par sa valeur par d´efaut : 0,5 pourp, 1 pouraetb.

Ecrire un autre programme qui simule la r´ep´etition de nparties du jeu ci-dessus et indique la fr´equence de r´ealisation de l’´ev´enement (apiles avantbfaces). Le param`etrendoit ˆetre entr´e par l’utilisateur, v´erifi´e par le programme (entier stictement positif) et remplac´e par la valeur par d´efautn= 1000 si l’utilisateur l’a mal d´efini.

Afficher les r´esultats des deux programmes afin de comparer les probabilit´es th´eoriques aux fr´equences observ´ees.

Exercice 1. 20 – Ecrire un programme Java qui simule la r´ep´etition de n parties de pile ou face, avec P(Pile) =pet d´etermine, pour chaque simulation, la plus longue suite de piles cons´ecutifs. Les nombres n et psont des param`etres fournis par l’utilisateur. Le programme doit v´erifier la validit´e de ces donn´ees (p est un r´eel compris entre 0 et 1, nest un entier strictement positif). Si l’un des param`etres est rejet´e par ce test, il doit ˆetre remplac´e par sa valeur par d´efaut (0,5 pourp, 1000 pourn).

Comparer le r´esultat obtenu par simulation `a la borne presque sˆure th´eorique, ´egale `a lnn ln(1/p). Exercice 1. 21 – Approximation de la loi binomiale par une loi normale

On d´esigne dans cet exercice parSn une variable binomiale de loiB(n,1/2).

1 – Ecrire un programme Java permettant le calcul exact de P(S2n = n), pour des valeurs de n choisies par l’utilisateur, et le calcul approch´e utilisant l’´equivalent fourni par la formule de Stirling. En ´ecrivant le quotient des deux r´esultats, on notera la bonne qualit´e de l’approximation y compris pour des petites valeurs den.

2 – Modifier le programme pr´ec´edent pour qu’il calcule lesp_n(k) =P(S_2n =n+k) et less_n(k) =P(n−k6 S_2n6n+k), pour des valeurs denetkchoisies par l’utilisateur. On privil´egiera les programmes minimisant la dur´ee des calculs.

3 – Ecrire un programme qui calcule une valeur approch´ee de l’int´egrale

√1 2π

Z x

0

e^−u2/2du

par la m´ethode du point m´edian, en d´ecoupant l’intervalle [0, x] en 100 sous-intervalles ´egaux. Comparer grˆace `a ce programme les probabilit´es sn(k) calcul´ees plus haut `a leur approximation gaussienne (cf. le th´eor`eme central-limite).

Chapitre II

Chaˆ ınes de Markov

2. 1 – Exercices d’introduction

2. 1. 1 – La m´et´eo...

On suppose que dans une certaine contr´ee, le temps chaque jour est fonction (avec un ´el´ement de hasard) de celui de la veille et pas de celui des jours pr´ec´edents. On fait les hypoth`eses suivantes :

•Il n’y a que deux types de temps, beau et mauvais.

•S’il fait beau un jour, la probabilit´e pour qu’il fasse beau le lendemain est 3/4.

•S’il fait mauvais un jour, la probabilit´e pour qu’il fasse beau le lendemain est 1/3.

On d´esigne parpn etqn les probabilit´es respectives pour qu’il fasse beau et mauvais le jour num´eron.

1 – Calculerpn+1en fonction depn. En d´eduirepn en fonction dep0.

2 – Montrer que, quelle que soit la valeur dep0, (pn, qn) tend vers (a, b) quandntend vers l’infini, o`u (a, b) est l’unique vecteur propre de la matrice

Π =





 3 4

1 3 1 4

2 3







associ´e `a la valeur propre 1 et v´erifianta+b= 1.

3 –Simulation

On d´esigne par b_n le nombre de jours de beau temps entre le jour num´ero 0 et le jour num´ero n. V´erifier par simulation que

p.s. , lim

n→∞

bn

n+ 1 =a 2. 1. 2 – Promenade al´eatoire sur un triangle

On consid`ere un triangleABC. Un point al´eatoireMnse trouve `a chaque instantnen l’un des trois sommets du triangle. Ind´ependamment de la fa¸con dont il a atteint le sommet i o`u il se trouve `a l’instant n, il a une probabilit´e 1/2 de se trouver en chacun des deux sommetsj adjacents `a l’instant n+ 1. On note cette probabilit´epi,j. On a donc

pi,j=





 1

2 sii6=j 0 sii=j

– 18 - Chaˆınes de Markov

On d´esigne para, b,c les probabilit´es pour queM0=A,B,C, respectivement. Pour tout entiern>0, on pose

p_n(A) =p(M_n =A), p_n(B) =p(M_n=B), p_n(C) =p(M_n =C) On a donc (a, b, c) = (p₀(A), p₀(B), p₀(C)).

1 – Calculer (p₁(A), p₁(B), p₁(C)) en fonction de (a, b, c) (on privil´egiera une ´ecriture matricielle).

2 – En d´eduire une expression matricielle de (pn(A), pn(B), pn(C)) en fonction de (a, b, c).

La matrice

Π =















0 1

2 1 2 1

2 0 1

2 1

2 1

2 0















s’appelle la matrice de transition de la chaˆıne de Markov (M_n)_n.

3 – Diagonaliser Π. En d´eduire la limite de (pn(A), pn(B), pn(C)) et v´erifier que cette limite ne d´epend pas de (a, b, c).

4 – V´erifier que, quel que soit le choix de (a, b, c),pn(A),pn(B) etpn(C) sont strictement positifs pour tout n>2.

5 –Simulation

Simuler la marhe al´eatoire sur le triangle d´ecrite ci-dessus. V´erifier sur la simulation la propri´et´e suivante : quand ntend vers l’infini, si on d´esigne park_A (resp. k_B, resp. k_C) le nombre d’entiers i∈ {0,· · ·, n} tels queM_i=A(resp. B, resp. C),

p.s., lim

n→∞

k_A

n+ 1 = lim

n→∞

k_B

n+ 1 = lim

n→∞

k_C n+ 1 =1

3 On suppose maintenant que les probabilit´es de transition sont les suivantes :

p_A,B=p_B,A= 2

3, p_A,C =p_B,C= 1

3, p_C,A =p_C,B= 1

2, p_A,A=p_B,B =p_C,C= 0

Ecrire la nouvelle matrice de transition Π, et d´eterminer l’unique vecteur propre (a, b, c) de Π associ´e `a la valeur propre 1 et tel quea+b+c= 1. En reprenant les notations ci-dessus, v´erifier par simulation que

p.s., lim

n→∞

kA

n+ 1 =a, lim

n→∞

kB

n+ 1 =b, lim

n→∞

kC

n+ 1 =c 2. 1. 3 – Promenade al´eatoire sur un carr´e

Reprendre les questions 1 `a 4 du paragraphe pr´ec´edent en supposant maintenant que le point al´eatoireMn

se d´eplace sur les quatre sommets d’un carr´e, et qu’`a chaque ´etapen, la probabilit´e de passer d’un sommet i`a un sommet j vaut 1/2 sii etj sont adjacents, et 0 siiet j sont confondus ou diam´etralement oppos´es.

On v´erifiera que les r´esultats des questions 3 e t 4 sont modifi´es.

2. 2 – Chaˆ ınes de Markov

2. 2. 1 – G´en´eralit´es

SoitS un ensemble d´enombrable etP une matriceS×S `a coefficients positifs, v´erifiant, quel que soiti∈S X

j∈S

pi,j= 1

G´en´eralit´es – 19 -

Une telle matrice est appel´eematrice stochastique.

Remarque – Il arrive parfois que l’on ait ´egalement, pour toutj∈S, X

i∈S

pi,j= 1 On dit alors queP est unematrice bistochastique.

D´efinition 2. 2. 1

SoitX = (Xn)n>0 une suite de variables al´eatoires `a valeurs dansS. On dit queX est une chaˆıne de Markov stationnaire (ou homog`ene) de matrice de transitionP si, pour toutn∈N, pour tout (i0,· · ·, in, j)∈Sⁿ⁺²,

P(Xn+1=j |X0=i0,· · ·, Xn =in) =P(Xn+1=j |Xn=in) =pi_n,j

En d’autres termes, l’´evolution de la chaˆıne entre les instantsnetn+ 1 ne d´epend que de la position `a l’´etat n, et pas de la mani`ere dont cette position a ´et´e atteinte.

Le motstationnairecorrespond au fait que la probabilit´e de passage de i_n `a j entre les ´etapesnet n+ 1 ne d´epend pas den.

Le fait queP soit une matrice stochastique implique que l’on a bien, quel que soiti, X

j∈S

P(Xn+1=j |Xn =i) =X

j∈S

pi,j= 1 ce qui est normal carA7→P(A |Xn=i) est une probabilit´e.

D´esignons parπ0la distribution initiale de la chaˆıne :

∀i∈S, P(X0=i) =π0(i) Th´eor`eme 2. 2. 2

(a) Quel que soit l’entiern, quels que soienti0,· · ·, in appartenant `aS, P(X0=i0,· · ·, Xn=in) =π0(i0)pi₀,i₁· · ·pin−1,i_n

(b) Quels que soient les entiersn etm, quels que soientiet j appartenant `aS P(Xn+m=j | Xn=i) = X

(j1,···,jm−1)∈S^m−1

pi,j₁pj₁,j₂· · ·pj_m−1,j =P_i,j^m o`u P<sub>i,j</sub><sup>m</sup> d´esigne l’´el´ement (i, j)de la puissancem<sup>`eme</sup>deP.

D´emonstration – (a) Il suffit de faire des conditionnements successifs.

(b) On raisonne par r´ecurrence sur m. La propri´et´e est claire pour m = 1, par d´efinition d’une chaˆıne de Markov. Supposons la v´erifi´ee au rangm. On a alors :

P(Xn+m+1=j |Xn =i) = P([

k∈S

(Xn+m+1=j, Xn+m=k)|Xn=i)

=X

k∈S

P(Xn+m+1=j, Xn+m=k|Xn=i)

=X

k∈S

P(Xn+m+1=j |Xn+m=k, Xn =i)×P(Xn+m=k |Xn=i)

=X

k∈S

P(Xn+m+1=j |Xn+m=k)×P(Xn+m=k|Xn=i) (par d´efinition d’une chaˆıne de Markov)

=X

k∈S

P_k,j×P_i,k^m (hypoth`ese de r´ecurrence)

=P_i,j^m+1 (d´efinition du produit matriciel)

– 20 - Chaˆınes de Markov

Ceci montre l’h´er´edit´e et termine la preuve.

On peut r´e´enoncer la partie (b) du th´eor`eme en disant queP_i,j^m est la probabilit´e d’atteindrej enm´etapes sachant qu’on part dei.

2. 2. 2 – Etats transitoires et r´ecurrents

Nous allons ´etudier les propri´et´es asymptotiques des chaˆınes de Markov en nous int´eressant `a la question suivante : si l’on suppose que la chaˆıne de MarkovX a pour valeur initiale un ´el´ement ideS, passera-t-elle une infinit´e de fois par cet ´el´ement ? Nous apporterons dans cette partie une r´eponse `a cette question grˆace

`

a un th´eor`eme de classification. Nous commen¸cons par quelques d´efinitions et notations.

Sij ∈S (on dit quej est un´etat), on d´efinit la variable al´eatoireTj de la mani`ere suivante : Tj = min{k >0|Xk=j}

C’est le premier instant strictement positif pour lequel la chaˆıne passe par l’´etatj. On pose alors, pour tout couple (i, j) d’´etats

f_i,j^(m)=P(Tj =m| X0=i)

probabilit´e que l’on note plus simplementP_i(T_j =m). On peut remarquer qu’`a cause de la stationnarit´e de la chaˆıne, on a pour toutn∈N

f_i,j^(m)=P(Xn+m=j, Xn+k6=j,∀k= 1,· · ·, m−1 |Xn =i) Enfin, on pose

f_i,j=

+∞

X

m=1

f_i,j^(m)

D´efinition 2. 2. 3 On dit que l’´etatiest : (a)r´ecurrentsif_i,i= 1, (b)transitoire sinon.

Th´eor`eme 2. 2. 4 – Caract´erisation des ´etats transitoires et r´ecurrents (a) Les conditions suivantes sont ´equivalentes :

•L’´etat i est r´ecurrent.

•P_i(lim sup(X_n=i)) = 1.

•X

n

P_i,iⁿ = +∞.

(a) Les conditions suivantes sont ´equivalentes :

•L’´etat i est transitoire.

•Pi(lim sup(Xn=i)) = 0.

•X

n

P_i,iⁿ <+∞.

D´emonstration – SoitA_k l’´ev´enement : la chaˆıne passe au moinskfois par l’´etatj. On a P_i(A_k) = X

m,n1,···,nk

f_i,j^(m)f_j,j⁽ⁿ¹⁾· · ·f_j,j^(nk)=f_i,j(f_j,j)^k

(il n’y a pas de probl`eme de sommabilit´e car les termes sont positifs). Supposons j r´ecurrent : alors, quel que soitk

P_i(A_k) =f_i,j