Corrigé du D.S.3 I- Voir cours II-

Corrigé du D.S.3

I- Voir cours

II- f x=3x²−x



^{x ; f 'x=6x−1}



^{x3x2−x× 1}

2



^{x d'où}

f 'x= 6x−12x3x²−x 2



^{x =15x}

2−3x 2



^x

gx=3x4

2x²5 ; g 'x=32x²5−3x44x

2x²5² d'où g 'x=−6x²−16x15

2x²5² hx=4x−3⁵ ; h 'x=5×4×4x−3⁴ d'où

h 'x=204x−3⁴. III – Soit g définie par gx=x³−3x−4.

1. a. g 'x=3x²−3=3x²−1=3x−1x1. d'où le tableau de variation.

x −∞ -1 1 ∞

g 'x

+

0



0

+

gx

-2 ∞

−∞

b. lim

x−∞ gx=−∞ et lim

x∞gx=∞ Théorème : limites d'un polynôme en l'infini.

c. Voir ci-dessus.

2. a. g admet un maximum local égal à -2 sur l'intervalle]−∞;1], d'où pour tout x∈]−∞;1], gx0 et donc l'équation gx=0 n'admet pas de solution sur l'intervalle ]−∞;1] g est continue (car polynôme) et strictement croissante de l'intervalle[1;∞[ sur

[−6;∞[ or 0∈[−6;∞[ d'où, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel ∈[1;∞[ tel que g=0.

De plus g2,19≈−0,06650 et g2,2≈0,0480 d'où 2,192,2. b. On déduit de l'étude précédente le signe de gx.

x −∞  ∞

gx



0

+

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-6

3. a. Représentation graphique : voir annexe.

b. Si k−6 alors l'équation gx=k admet une unique solution.

Si −6k−2 alors l'équation gx=k admet trois solutions.

Si k=−6 ou k=−2 alors l'équation gx=k admet deux solutions.

Si k−2 alors l'équation gx=k admet une unique solution.

4. Soit f définie sur ]1;∞[ par f x=x³2x² x²−1 . a. On a f 'x= 3x²4xx²−1−2xx³2x²

x²−1² d'où

f 'x=3x⁴4x³−3x²−4x−2x⁴−4x³

x²−1² =x⁴−3x²−4x

x²−1² et donc f 'x=xx³−3x−4

x²−1² = x gx

x²−1²

Or x est positif et x²−1² aussi, donc f 'x est du signe de gx. b. lim

x∞ f x=lim

x∞

x³ x²=lim

x∞x=∞

Théorème : limites d'une fraction rationnelle en l'infini.

limx1 x³2x²=3, lim

x1⁺

x²−1=0⁺, d'où lim

x1 f x=∞

c.

x 1  ∞

x² ∞ ∞

f ≈5,29 IV -

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1. AH=∣x_H−x_A∣=∣x−1∣=1−x car x∈[−1;1]

D'autre part le triangle OMH est rectangle en H. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore. On obtient alors 1=x²HM², soit d'où HM=



^1−x2

En conclusion l'aire du triangle AMM' égale  Base× Hauteur 

2 =1−x×2



^1−x2

2 =1−x



^{1−x2=fx}

2. On note f x=1−x



^1−x2

On a f 'x=−



^{1−x21−x× −}₂



^12−xx2=−



^1−x2



^{x12−−xx2 d'où}

f 'x=−1−x²x²−x



^{1−x2 =2x}

2−x−1



^1−x2 du signe de 2x²−x−1 car



^1−x20.

or 2x²−x−1=x−12x1

x -1 ₋¹

2 0 1 f 'x

+

0



f x

3



³

4

1 0

3. D'après le tableau de variations, l'aire est maximale lorsque x=−1 2 . Dans ce cas AM=AM'=



^{1−x21−x2 avec x=−1}₂

AM=AM'=



^{3 et}

MM'=2



^1−x2=



^3.

D'où le triangle AMM' est équilatéral.

f est continue et strictement croissante de l'intervalle

[

^−1;−12

]

^sur

[

^0;3

^

⁴³

]

or d'où, 1∈

[

^0;3

^

⁴³

]

d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel ∈

[

^−1;−12

]

^{tel que f =1.}

De même sur

[

^−12;1

]

il existe un unique réel ∈

[

^−1;−12

]

^{tel que f =1}

De plus f −0,84≈0,991 et f −0,83≈1,021 d'où −0,84−0,83 et f 1=0 d'où =0.

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0

V -

1. 2iz2−iz=4⇔2ixi y2−ix−i y=4⇔22x−y=4 D'où : y=2x−2.

2. z2iz−2i=4⇔xiy2x−iy2=4⇔x²y2²=4 D'où  est le cercle de centre −2i et de rayon 2.

Tracé : voir annexe.

VI - z1=



^3i

4 ; z2=z1−i ; z3= z1−i 1. a. z₂=



³⁻³ⁱ

4 ; z₃=



³⁻⁵ⁱ

4 b. Placer M₁,M₂et M₃. c. ∣z₃−z₁∣=∣−3

2i∣=3

2 et ∣z₃−z₂∣∣z₂−z₁∣=∣−1

2i∣∣−i∣=1

21=3 2

On en déduit que M₁M₃=M₂M₃M₁M₂ et donc les points M₁,M₂et M₃ sont alignés 2. a. ∣z₁∣=1

2 ; argz₁=

6 [2] et ∣z₂∣=



³

2 ; argz₂=− 3[2]. b. z₂−z₁=−i d'où ∣z₂−z₁∣=1 et argz₂−z₁=−

2[2]

On en déduit que u ;M₁M₂=−

2 et donc que M₁M₂⊥O ,u.

c. O M₁;O M₂=arg



^zz21



^=arg

^

^3

^

^13−ii

^

^3=arg−i

^{ }

^{33ii}

^

^3=arg−i

^

^{3=−2[2]}

ou plus simplement O M₁;O M₂=arg



^zz21



^{=argz2−argz1=−3−6=−2 [2]}

et donc le triangle O M₁M₂ est rectangle en O.

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