Géométrie vectorielle
DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE
Blaise Pascal
septembre 2016
Sommaire
1. Vecteurs de l’espace 1.1 Notion de vecteurs 1.2 Vecteurs colinéaires
2. Caractérisation d’un plan - Vecteurs coplanaires
2.1 Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires 2.2 Vecteurs coplanaires
3. Repérage dans l’espace
3.1 Décomposition d’un vecteur dans une base 3.2 Repérage et coordonnées
3.3 Représentations paramétriques d’une droite
Sommaire
1. Vecteurs de l’espace 1.1 Notion de vecteurs 1.2 Vecteurs colinéaires
2. Caractérisation d’un plan - Vecteurs coplanaires
2.1 Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires 2.2 Vecteurs coplanaires
3. Repérage dans l’espace
3.1 Décomposition d’un vecteur dans une base 3.2 Repérage et coordonnées
3.3 Représentations paramétriques d’une droite 3.4 Représentations paramétriques d’un plan
Définition 1 (Vecteur)
SoientA etB deux points distincts de l’espace.
Le vecteur−−→
ABde l’espace est défini par :
une direction, celle de la droite (AB),
un sens, celui deAvers B, une norme, la longueurAB. On note
−−→ AB
=AB.
Le vecteur−→
AAest appelé le vecteur nul
−→ −→
A
B
Propriété 1
Deux vecteurs non nuls sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
On note alors−−→ AB=−−→
CD=−→u et on dit que−−→
ABet−−→
CD sont deux représentants du vecteur−→u.
−
→ u
A
B
C
D
Propriété 2
Les propriétés vues pour les vecteurs dans le plan (addition, multiplication par un réel, relation de Chasles...) restent valables pour les vecteurs de l’espace.
Sommaire
1. Vecteurs de l’espace 1.1 Notion de vecteurs 1.2 Vecteurs colinéaires
2. Caractérisation d’un plan - Vecteurs coplanaires
2.1 Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires 2.2 Vecteurs coplanaires
3. Repérage dans l’espace
3.1 Décomposition d’un vecteur dans une base 3.2 Repérage et coordonnées
3.3 Représentations paramétriques d’une droite
Définition 2 (Vecteurs colinéaires)
Deux vecteurs non nuls,−→u et−→v sont colinéaires lorsqu’il existe un réel ttel que−→u =t−→v.
Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
−
→ u
−
→ v
Remarque
Deux vecteurs colinéaires ont la même direction.
Si−→u =t−→v avect >0alors les vecteurs−→u et−→v sont colinéairesde même sens.
Si−→u =t−→v avect <0alors les vecteurs−→u et−→v sont colinéairesde sens
Exercice 1
On considère un cubeABCDEF GH. Les points marqués sur les arêtes du cube sont les milieux de celles-ci.O est le centre de la faceABCD.
Compléter les égalités suivantes avec les points de la figure.
1.
−−−→D . . .= 1 2−−→DC+−→
AE−−−→ AD
2.
−−→A . . .= 1 2−−→ AD+−−→
AB+−→
AE
3.
−−−→K . . .=−−→ GF −12
−−→DC+−−→
BN
4.
−B . . .−−→=−−→ AD−12
−−→ AB+−−→
CG
5.
−−−→. . . H =1 2−−→CD+−→
AE+1 2
−−→ BC
Exercice 2
On considère un tétraèdreABCD. On appelleI,J,K etLles points définis respectivement par :
−→ AI= 2
3
−−→
AB ; −→
BJ =1 3
−−→
BC ; −−→
CK= 2 3
−−→CD ; −→
DL=1 3
−−→ DA
1.
PlacerI,J, KetLsur la figure ci-contre.2.
1 Exprimer−→ IJ et−−→KLen fonction de−→
AC.
2 En déduire que les points I,J,KetLsont coplanaires.
3.
Démontrer que la droiteExercice 3
Soient le cubeABCDEF GH etJ le centre de la faceDCGH.
SoientP etQdéfinis par−−→ EP = 1
3
−−→EH et−→
AQ=1 3
−→AC.
SoientI etK les milieux respectifs de[AE]et de [P Q].
1.
Compléter la figure ci-contre.2.
Exprimer −→IJ puis−→
IK en fonction des vecteurs −−→
−−→ AB, ADet−→
AE.
3.
En déduire que les pointsI, J etK sont alignés.Sommaire
1. Vecteurs de l’espace 1.1 Notion de vecteurs 1.2 Vecteurs colinéaires
2. Caractérisation d’un plan - Vecteurs coplanaires
2.1 Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires 2.2 Vecteurs coplanaires
3. Repérage dans l’espace
3.1 Décomposition d’un vecteur dans une base 3.2 Repérage et coordonnées
3.3 Représentations paramétriques d’une droite 3.4 Représentations paramétriques d’un plan
Sommaire
1. Vecteurs de l’espace 1.1 Notion de vecteurs 1.2 Vecteurs colinéaires
2. Caractérisation d’un plan - Vecteurs coplanaires
2.1 Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires 2.2 Vecteurs coplanaires
3. Repérage dans l’espace
3.1 Décomposition d’un vecteur dans une base 3.2 Repérage et coordonnées
3.3 Représentations paramétriques d’une droite
Théorème 1
SoientAun point,−→u et−→v deux vecteurs non colinéaires.
L’ensemble des pointsM de l’espace tels que
−−→AM =x−→u +y−→v avecx∈Ret y∈Rest le plan passant parA et de vecteurs directeurs−→u et
−
→v.
Remarque
On dit que−−→
AM est unecombinaison linéairede−→u et−→v. Le triplet(A;−→u ,−→v)est un repère de ce plan.
Un plan est totalement déterminé par un point et deux vecteurs non
Démonstration
SoitP le plan passant parAet de vecteur directeur−→u et−→v. (A;−→u ,−→v)est donc un repère deP.
SiM est un point du planP alors il a des coordonnées dans le repère (A;−→u ,−→v). NotonsM(x;y).
Par définition des coordonnées deM, on a alors −−→
AM=x−→u +y−→v. Réciproquement, soitM est un point de l’espace tel que−−→
AM =x−→u +y−→v. Soit le pointN du planP de coordonnées(x;y)dans le repère(A;−→u ,−→v).
Par définition des coordonnées, on a−−→
AN =x−→u +y−→v. D’où−−→
AM =−−→
AN. Il s’en suit queM =N et donc queM appartient au planP.
Propriété 3
SoientAetA0 deux points de l’espace et soient−→u et−→v deux vecteurs non colinéaires.
Le planP passant parAet de vecteurs directeurs−→u et−→v et le planP0 passant parA0 et de vecteurs directeurs−→u et−→v sont parallèles.
Démonstration
Indication : Soientd1 la droite passant parAet de vecteur directeur−→u,d2la droite passant parAet de vecteur directeur−→v,d01 la droite passant parA0 et de vecteur directeur−→u etd02 la droite passant parA0 et de vecteur directeur−→v. Utiliser un théorème du cours « Droites et plans de l’espace ».
Exercice 4
On considère un tétraèdreABCD et les pointsE etF définis par :
−−→ BE=−−→
BA+−−→ BC+1
2
−−→CD et −−→
DF =−−→
DB+−−→ DA+1
2
−−→ BC
1.
Démontrer que les pointsA,E etF ne sont pas alignés.2.
1 1 Exprimer−→AEcomme combinaison linéaire des vecteurs−−→ BC et−−→
CD.
2 En déduire que−→
AEest un vecteur directeur du plan(BCD).
2 Prouver de la même manière que−→
AF est aussi un vecteur directeur du plan (BCD).
3 Démontrer que les plans(BCD)et(AEF)sont parallèles.
Attention !
Si deux plans ne sont pas définis à partir du même couple de vecteurs directeurs, on ne peut pas en déduire qu’ils ne sont pas parallèles.
Exercice 5 (Démonstration du théorème du toit)
Soient deux droitesdetd0parallèles. SoientPun plan contenantdetP0un plan contenantd0. SiPetP0 sont sécants en∆alors la droite∆est parallèle àdet àd0.
1.
Justifier que sidetd0 sont confondues alors d=d0= ∆.2.
On suppose quedetd0 ne sont pas confondues.SoitAun point de det−→u un vecteur directeur ded.
Soit−→v un vecteur directeur de ∆.
1 En supposant que les vecteurs−→u et−→v ne sont pas colinéaires, justifier queP est le plan passant parAet de vecteurs directeurs−→u et−→v.
2 En déduire queP etP0sont parallèles.
−
→ −→
Sommaire
1. Vecteurs de l’espace 1.1 Notion de vecteurs 1.2 Vecteurs colinéaires
2. Caractérisation d’un plan - Vecteurs coplanaires
2.1 Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires 2.2 Vecteurs coplanaires
3. Repérage dans l’espace
3.1 Décomposition d’un vecteur dans une base 3.2 Repérage et coordonnées
3.3 Représentations paramétriques d’une droite
Définition 3 (Vecteurs coplanaires)
Dire que trois vecteurs−→u,−→v et
−
→w sontcoplanairessignifie que pour un pointO quelconque de l’espace, les pointsO,A,B et C tels que−→
OA=−→u,−−→ OB=−→v et−−→
OC =−→w sont dans un même plan.
Remarque
Trois vecteurs−→u, −→v et−→w sont coplanaires s’ils possèdent des représentants appartenant à un même plan.
Exercice 6
On considère un cubeABCDEF GH.
Questions Réponses
1.Les vecteurs−−→ AB,−−→
ADet
−→AE sont-ils coplanaires ?
V
F
2.Les vecteurs−−→ AB,−−→
ADet
−→AC sont-ils coplanaires ?
V
F
3.Les vecteurs−−→ AB,−−→
ADet
−−→F H sont-ils coplanaires ?
V
F
4.Les vecteurs−−→
F D,−→
AGet V
Théorème 2
Soient−→u,−→v et−→w trois vecteurs tels que−→u et−→v ne sont pas colinéaires.
−
→u,−→v et−→w sont coplanaires si et seulement si, il existe deux réelsaetbtels que :
−
→w =a−→u +b−→v
Démonstration
SoitOun point quelconque de l’espace.
SoientA,B etC les points définis par−→
OA=−→u,−−→
OB=−→v et−−→ OC =−→w.
D’après la définition 3,−→u,−→v et−→w sont coplanaires si et seulement siO,A,B et C sont coplanaires ce qui revient àC appartient au plan(OAB).
D’après le théorème 1,Cappartient à (OAB)si et seulement si il existe deux réelsaet btels que :−−→
OC =a−→
OA+b−−→
OBc’est-à-dire−→w =a−→u +b−→v.
Remarque
Exercice 7
SoitABCDEF GHun cube.I etJ sont les milieux respectifs de[EB]et[F G].
1.
Démontrer que 2−→IJ =−−→ EF+−−→
BG.
2.
Que peut-on en déduire ?Exercice 8
ABCD un tétraèdre. Les pointsP,Q,R etS sont définis par :
−→AP = 2 5
−−→
AB ; −−→
BQ=−3−−→
BC ; −→
CR= 5 3
−−→CD ; −→
DS= 4 9
−−→ DA
1.
Exprimer−−→ P Q,−→P Ret−→
P S en fonction de−−→
AB,−→
AC et
−−→ AD.
2.
Prouver que−−→ P Q,−→P Ret
−→P S sont coplanaires.
Sommaire
1. Vecteurs de l’espace 1.1 Notion de vecteurs 1.2 Vecteurs colinéaires
2. Caractérisation d’un plan - Vecteurs coplanaires
2.1 Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires 2.2 Vecteurs coplanaires
3. Repérage dans l’espace
3.1 Décomposition d’un vecteur dans une base 3.2 Repérage et coordonnées
3.3 Représentations paramétriques d’une droite
Sommaire
1. Vecteurs de l’espace 1.1 Notion de vecteurs 1.2 Vecteurs colinéaires
2. Caractérisation d’un plan - Vecteurs coplanaires
2.1 Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires 2.2 Vecteurs coplanaires
3. Repérage dans l’espace
3.1 Décomposition d’un vecteur dans une base 3.2 Repérage et coordonnées
3.3 Représentations paramétriques d’une droite 3.4 Représentations paramétriques d’un plan
Théorème 3 (Caractérisation)
Soient−→ i,−→
j et−→
k trois vecteurs non coplanaires. Pour tout vecteur−→u, il existe un unique triplet(x;y;z)de réels tel que :
−
→u =x−→ i +y−→
j +z−→ k
Démonstration
Pour l’existence : Soit−−→
ABun représentant de
−
→u. SoitP le plan de repère
A;−→ i ,−→
j .
SiB appartient àP alors, d’après le théorème 1,−−→ AB se décompose suivant les vecteurs−→
i et−→ j. En revanche, siB n’appartient pasP, on définit la droitedpassant parB et de vecteur directeur−→
k. Terminer la démonstration.
Définition 4 (Coordonnées d’un vecteur)
On dit que−→ i ,−→
j ,−→ k
formeune basede l’espace et on dit que, dans cette base, le vecteur−→u a pour coordonnées le triplet(x; y;z).
On notera−→u
x y z
.
Remarque
Lorsque trois vecteurs forment une base (c’est-à-dire s’ils ne sont pas coplanaires), on peut écrire tout vecteur de l’espace comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs. Voilà pourquoi on dit que, dans l’espace, on travaille en trois dimensions.
Sommaire
1. Vecteurs de l’espace 1.1 Notion de vecteurs 1.2 Vecteurs colinéaires
2. Caractérisation d’un plan - Vecteurs coplanaires
2.1 Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires 2.2 Vecteurs coplanaires
3. Repérage dans l’espace
3.1 Décomposition d’un vecteur dans une base 3.2 Repérage et coordonnées
3.3 Représentations paramétriques d’une droite 3.4 Représentations paramétriques d’un plan
Définition 5 (Repère de l’espace)
Choisir un repère de l’espace, c’est se donner un pointO (origine du repère) et un triplet−→
i ,−→ j ,−→
k
de vecteurs non coplanaires (base du repère). On note
O;−→ i ,−→
j ,−→ k
le repère.
Remarque
Lorsque les vecteurs−→ i,−→
j et−→
k sont orthogonaux deux à deux, on dit que le repère estorthogonal.
Lorsque les vecteurs−→ i, −→
j et−→
k sont orthogonaux deux à deuxetont pour norme 1, on dit que le repère estorthonormé.
Théorème 4
Soit O;−→
i ,−→ j ,−→
k
un repère de l’espace.
Pour tout pointM de l’espace, il existe un unique triplet (x;y; z)de réels tel que :
−−→OM =x−→ i +y−→
j +z−→ k
Démonstration
Indication : Utiliser le théorème 3.
Définition 6 (Coordonnées d’un point)
(x;y;z)sont les coordonnées deM dans le repère O;−→
i ,−→ j ,−→
k . xest l’abscisse deM,y l’ordonnée deM etzla cote deM.
Propriété 4
Dans un repère O;−→
i ,−→ j ,−→
k :
1.
Si−→u et−→v ont pour coordonnées respectives
x y z
et
x0 y0 z0
, alors :
I pour tout réelk,k−→u a pour coordonnées kx ky kz
! .
I le vecteur−→u +−→v a pour coordonnées
x+x0 y+y0 z+z0
! .
I les vecteurs−→u et−→v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles c’est-à-dire
x0=kx y0=ky z0=kz
ou
x=kx0 y=ky0 z=kz0
aveck∈R.
Propriété 4 (suite)
Dans un repère O;−→
i ,−→ j ,−→
k :
2.
SiAetB ont pour coordonnées(xA;yA;zA)et(xB;yB;zB), alors :I le vecteur−→
ABa pour coordonnées
xB−xA
yB−yA
zB−zA
! .
I Le milieuIdu segment [AB]a pour coordonnées xA+xB
2 ; yA+yB
2 ; zA+zB
2
.
Propriété 5
Dans un repère O;−→
i ,−→ j ,−→
k
orthonormé :
Exercice 9
SoitA(1 ; 2 ; 5),B(4 ; 6 ; 4) etC(6 ; 2 ; 6)trois points de l’espace.
Quelle est la nature du triangleABC? Justifier.
Exercice 10
On donne les pointsA 1 ; 1 ; √ 2
etB √ 2 ;−√
2 ; 0 .
1.
Déterminer les coordonnées deC symétrique deApar rapport à O.2.
Quelle est la nature du triangleABC? Justifier.Exercice 11
On considère un tétraèdreABCD avecA(1 ; 2 ; 3),B(4 ;−5 ; 6),C(0 ; 0 ; 3)et D(7 ; 8 ;−9). On noteI le milieu de[AB]etJ le milieu de[CD].
1.
Déterminer les coordonnées deE etF tels que IACEetIBDF soient desExercice 12
On considèreA(−4 ; 5 ;−1),B(−1 ; 5 ;−4),C(−2 ; 12 ; 4)etD(4 ; 12 ; −2).
Démontrer que les pointsA,B,C etD sont coplanaires.
Sommaire
1. Vecteurs de l’espace 1.1 Notion de vecteurs 1.2 Vecteurs colinéaires
2. Caractérisation d’un plan - Vecteurs coplanaires
2.1 Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires 2.2 Vecteurs coplanaires
3. Repérage dans l’espace
3.1 Décomposition d’un vecteur dans une base 3.2 Repérage et coordonnées
3.3 Représentations paramétriques d’une droite 3.4 Représentations paramétriques d’un plan
Dans toute la suite, O;−→
i ,−→ j ,−→
k
désigne un repère de l’espace.
Théorème 5
La droitedpassant parA(xA;yA;zA)et de vecteur directeur−→u
α β γ
est
l’ensemble des pointsM(x;y;z)tels que :
x=xA+αt y=yA+βt t∈R z=zA+γt
.
Démonstration
À faire.
Définition 7
Le système
x=xA+αt
y=yA+βt (t∈R) z=zA+γt
est appelé représentation paramétrique de la droited.t est appelé le paramètre ded.
Remarque
Une droite possède une infinité de représentations paramétriques.
Exercice 13
Soitdla droite de représentation paramétrique
x= 2 + 3t y= 4−t t∈R. z= 2t−1
1.
Donner les coordonnées d’un point et d’un vecteur directeur ded.2.
Les pointsB(−2 ; 6 ;−5)etC(−1 ; 5 ;−3)appartiennent-ils àd? Justifier.3.
Déterminer les coordonnées du pointE dedde paramètre 2.Exercice 14
Soitdla droite de représentation paramétrique
x= 2 + 3t y= 4−t t∈R. z= 2t−1
1.
Donner les coordonnées d’un point et d’un vecteur directeur ded.2.
Les pointsB(−2 ; 6 ;−5)etC(−1 ; 5 ;−3)appartiennent-ils àd? Justifier.3.
Déterminer les coordonnées du pointE dedde paramètre 2.Exercice 15
L’algorithme ci-dessous teste l’appartenance d’un point à une droite définie par un point et un vecteur directeur (dont aucune des coordonnées n’est nulle).
Compléter cet algorithme dont certaines parties ont été effacées.
1 VARIABLES
2 A EST_DU_TYPE LISTE 3 u EST_DU_TYPE LISTE 4 M EST_DU_TYPE LISTE 5 t EST_DU_TYPE NOMBRE 6 DEBUT_ALGORITHME
7 AFFICHER "Coordonnées du point A :"
8 LIRE A[1]
9 LIRE A[2]
10 LIRE A[3]
11 AFFICHER "Coordonnées du vecteur u :"
Exercice 15
16 LIRE M[1]
17 LIRE M[2]
18 LIRE M[3]
19 SI . . . ALORS
20 DEBUT_SI
21 AFFICHER "M appartient à la droite passant par A et de vecteur directeur u."
22 AFFICHER "C’est le point de paramètre "
23 t PREND_LA_VALEUR . . . . 24 AFFICHER t
25 FIN_SI
26 SINON
27 DEBUT_SINON
28 AFFICHER "M n’appartient pas à la droite passant par A et de vecteur directeur u."
29 FIN_SINON
Exercice 16
SoientM etN les points de coordonnées respectives(−1 ; 2 ; 0)et(2 ;−1 ; 3).
1.
Déterminer un système d’équation paramétrique de la droite(M N).2.
SoitP le point de coordonnées(−2 ; 3 ;−1).Les pointsM, N etP sont-ils alignés ? Justifier.
3.
Le système
x= 8 +k
y=−7−k k∈R z= 9 +k
est-il une représentation paramétrique de la droite(M N)? Justifier.
Exercice 17
[Prise d’initiative] Soitdla droite de représentation paramétrique
x= 2t−1
y= 6−2t (t∈R) z=−2−t
etA(2 ; 5 ;−3).
Déterminer la distance deAàd.
Méthode
Pour étudier la position relative de deux droitesdetd0 définies par leurs représen- tations paramétriques
x=xA+αt y=yA+βt t∈R z=zA+γt
et
x=xA0+α0k y=yA0+β0k k∈R z=zA0 +γ0k
Étape 1 :On donne les vecteurs directeurs −→u et−→
u0 respectivement des droites d etd0.
S’ils sont colinéaires alorsdetd0 sontparallèles. Sinon...
Méthode
Étape 2 :On résout le système formé par les deux systèmes paramétriques dedet d0 ci-dessous (En fait on cherche l’éventuelle intersection dedet ded.) :
xA+αt=xA0+α0k yA+βt=yA0+β0k zA+γt=zA0+γ0k
Ce système est un système de trois équations à deux inconnues. Deux équations permettent de déterminertetk.
Puis on remplacetetkdans la dernière équation, si elle n’est pas vérifiée, les droites detd’ n’ont pas de point d’intersection, elles sont donc non coplanaires. Sinon d etd0 sontsécantesen le point de paramètrettrouvé dedou le point de paramètre kde d0.
Attention !
Le paramètre n’a pas nécessairement la même valeur pour les deux droites ; il faut donc veiller à le nommer différemment (par exempletetk, ou tett0, ...).
Exercice 18
Étudier la position relative des droitesdetd0 dans chacun des cas suivants :
1.
detd0 ont respectivement pour représentations paramétriques les systèmes suivants :
x= 1 + 4t y= 2 + 4t t∈R z= 1−6t
et
x= 15 +k y= 8−k k∈R z=−6 + 2k
2.
detd0 ont respectivement pour représentations paramétriques les systèmes suivants :
x= 2t
y= 3 +t t∈R z=−2 + 3t
et
x= 1 + 4k
y=−1 +k k∈R z= 2−k
Sommaire
1. Vecteurs de l’espace 1.1 Notion de vecteurs 1.2 Vecteurs colinéaires
2. Caractérisation d’un plan - Vecteurs coplanaires
2.1 Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires 2.2 Vecteurs coplanaires
3. Repérage dans l’espace
3.1 Décomposition d’un vecteur dans une base 3.2 Repérage et coordonnées
3.3 Représentations paramétriques d’une droite
Théorème 6
Le planP passant par A(xA;yA;zA)et de vecteurs directeurs −→u
α β γ
et
−
→v
α0 β0 γ0
est l’ensemble des pointsM(x;y;z)tels
que :
x=xA+αt+α0k
y=yA+βt+β0k t∈Retk∈R z=zA+γt+γ0k
.
Démonstration
Utiliser le théorème 1.
Définition 8
Le système
x=xA+αt+α0k
y=yA+βt+β0k (t∈Retk∈R) z=zA+γt+γ0k
est appelé représentation paramétrique du planP.tetksont les deux paramètres.
Remarque
Un plan possède une infinité de représentations paramétriques.
Exercice 19
SoitP le plan passant parA(1 ; 1 ;−2)et de vecteurs directeurs −→u
0 1 1
et
−
→v
2 0 6
.
