Géométrie Vectorielle
1. Définition
Les définitions et les calculs sur les vecteurs du plan se généralisent à l’espace.
Les règles de calcul, y compris la relation de Chasles, sont les mêmes qu’avec les vecteurs du plan.
2. Propriétés
(a) Deux vecteurs non nuls~u et~v sontcolinéaires si et seulement si~v =k~u où k est un réel.
Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
(b) Les pointsA, B etC sontalignés si et seulement si les vecteurs −→
AB et−→
AC sont colinéaires.
(c) Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs −→
AB et −−→
CD sont colinéaires.
3. Caractérisation vectorielle d’un plan
A, B etC sont 3 points non alignés. Le plan (ABC)est l’ensemble des points M définis par :
−−→AM =x−→
AB+y−→
AC, x et y étant des réels quelconques
Démonstration Puisque−→
AB et−→
AC ne sont pas colinéaires,(A;−→
AB,−→
AC)est un repère du plan et donc siM est dans ce plan, il existe x ety tels que : −−→
AM =x−→
AB +y−→
AC.
Réciproquement, soitx ety deux réels etM le point défini par : −−→
AM =x−→
AB+y−→
AC. Comme (A;−→
AB,−→
AC)est un repère du plan(ABC), il existe dans ce plan un point N tel que :
−−→AN =x−→
AB +y−→
AC d’où −−→
AM =−−→
AN etM =N,M est bien dans le plan (ABC).
On dit que les vecteurs −→
AB et−→
AC sont des vecteurs directeurs du plan (ABC) 4. Définition de vecteurs coplanaires
On dit que trois vecteurs~u, ~v et w~ de l’espace sont coplanaires s’il existe 4 pointsA, B, C et D appartenant à un même plan et tels que : ~u=−→
AB, ~v=−→
AC etw~ =−−→
AD. 5. Propriété
Soit ~u, ~v etw~ trois vecteurs de l’espace tels que ~u et~v ne sont pas colinéaires.
Les vecteurs~u, ~v etw~ sont coplanaires si et seulement si, il existe deux réels xety tels que :
~
w=x~u+y~v Démonstration
Soit A, B, C et D des points tels que : ~u = −→
AB, ~v = −→
AC et w~ = −−→
AD. ~u et ~v étant non colinéaires, les points A, B etC définissent un plan dont(A;~u, ~v) est un repère.
~
u, ~v etw~ sont coplanaires équivaut à D appartient au plan (ABC). D’après la caractérisation vectorielle d’un plan, il existe deux réels x ety tels que : −−→
AD=x~u+y~v=w~
1
6. Repère dans l’espace
Choisir un repère de l’espace, c’est donner un point O et un triplet (~i,~j, ~k) de vecteurs non coplanaires. On note (O;~i,~j, ~k)le repère.
7. Coordonnées
(O;~i,~j, ~k) est un repère de l’espace. Pour tout point M il existe un unique triplet (x;y;z) tel que :
−−→OM =x~i+y~j+z~k
Démonstration
~i,~j, ~k étant non coplanaires, le plan (O;~i,~j) et la droite ∆ passant par M et de vecteur directeur ~k sont sécants. Soit M0 leur point d’intersection.
Comme M0 est un point du plan (O;~i,~j) il existe deux nombres x ety tels que : −−→
OM0 = x~i+y~j. Les vecteurs −−−→
M0M et~ksont colinéaires, il existe donc un nombre z tel que −−−→
M0M =z~k.
D’après la relation de Chasles : −−→
OM =
−−→OM0+−−−→
M0M donc : −−→
OM =x~i+y~j+z~k On admet l’unicité de cette écriture.
(x;y;z) sont les coordonnées deM dans le repère(O;~i,~j, ~k).
x est l’abscisse, y est l’ordonnée etz la cote de M 8. Définition
(O;~i,~j, ~k) est un repère. Au vecteur ~u on associe le point M tel que −−→
OM =~u. Par définition , les coordonnées de ~u sont les coordonnées (x;y;z)de M.
Donc : ~u s’écrit de manière unique : ~u=x~i+y~j+z~k 9. Définition
Soit(O;~i,~j, ~k)un repère de l’espace et I, J etK les points tels que :−→
OI =~i,−→
OJ =~j,−−→
OK =~k.
Ce repère estorthonormélorsque les droites(OI),(OJ)et(OK)sont deux à deux perpendiculaires et OI =OJ =OK = 1
10. Propriétés
Dans un repère quelconque (O;~i,~j, ~k)
Si ~u et ~v ont pour coordonnées (x;y;z) et(x0;y0;z0) alors : (a) le vecteur ~u+~v a pour coordonnées (x+x0;y+y0;z+z0) (b) pour tout réel k,k~u a pour coordonnées (kx;ky;kz)
Si A et B ont pour coordonnées (xA;yA;zA)et (xB;yB;zB) alors : (a) Le vecteur −→
AB a pour coordonnées : (xB−xA;yB−yA;zB−zA).
(b) le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées
xA+xB
2 ;yA+yB
2 ;zA+zB 2
Si le repère est orthonormé : k~uk=p
x2+y2+z2 et AB =k−→
AB k=p
(xB−xA)2 + (yB−yA)2+ (zB−zA)2
2
11. Représentation paramétrique d’une droite
Dans un repère (O;~i,~j, ~k), la droite D passant par A(xA;yA;zA) et dirigée par le vecteur
~u(a;b;c) est l’ensemble des points M(x;y;z) tels que :
(S)
x=xA+at y=yA+bt, t∈R z =zA+ct
(S) est unereprésentation paramétrique de la droite D 12. Représentation paramétrique d’un plan
Dans un repère (O;~i,~j, ~k), le plan P passant par A(xA;yA;zA) et dirigé par les vecteurs non coli- néaires ~u(a;b;c)et~v(a0;b0;c0)est l’ensemble des points M(x;y;z)tels que : −−→
AM =t~u+s~v, s, t∈R. On obtient donc le système :
(S)
x=xA+at+a0s
y =yA+bt+b0s, s, t∈R z =zA+ct+c0s
(S) est unereprésentation paramétrique du plan P
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