11 Géométrie vectorielle

(1)

11 Chapitre

Géométrie vectorielle

2

3 MA MBu ruu u ruu Mu ru uru u rA Mu uruB Mu ru

I I I I 2 car I I étant le milieu du segment [AB], Iuru uruA IB ur

0.

4 a) uur

( ; )1 2 et vur

(-3 1 sont deux vecteurs non ; ) colinéaires car :

- - 3

1 3 1

2. Donc pour tout vecteur wuru

, il existe un unique couple (a ; b) de nombres réels tels que :

wuru auur bvur

.

b) 9 1 3

4 2 1

¥ ¥ - ¥ ¥ Ì

Ó

a b

( ) a

b - Ì Ó

3 2

5 a) 4MA MBu ruu u ruu 4MA MA ABu ruu u ruu u ru 3MA ABu ruu u - - - - urr Ainsi, 3MA ABu ruu u ru ABu ru

- équivaut à AMu ruu ABu ru -2

3 . AMu ruu

et ABu ru

sont donc colinéaires.

b) M appartient à la droite (AB).

6 a) Les points A, B et G ne sont pas alignés, donc il existe un unique plan  contenant les points A, B et G.

b) C  , D   et H  .

c) E   donc la droite (EH) n’est pas contenue dans .

De même, la droite (EC) n’est pas contenue dans .

B   et H   donc la droite (BH) est contenue dans le plan .

d) A et H sont des points du plan  donc la droite (AH) est contenue dans le plan . En particulier, le milieu I du segment [AH] appartient à .

1. Page d’ouverture

• ^Énigme

^✱

H G

A B

J I

C

E F

D

La droite (FI) passe par le point F, est parallèle au plan (ABGH) et coupe la droite (AD) en I.

• ^Énigme

^✱✱

N N

N

K

M M

M

T L

S

2. Vérifier les acquis

1 a)

b) uur u ru u ru uru AB BC C I

D’après la relation de Chasles, uur u ruu uru uru AC C I AI

(2)

b) ACGE est aussi un parallélogramme, donc : AC AEu ruu u ru AGu ruu

.

Donc AGu ruu AB AD AEu ru u ruu u ru

.

2 a) Avec la relation de Chasles : 3KA AB AD AEu ru u ru u ruu u ru ur0

donc AKu ruu AB AD AEu ru u ruu u ru

1

3( ).

b) D’après 1. b), AKu ruu AGu ruu

= 1

3 , donc A, K et G sont alignés.

c) Dans ce repère, les coordonnées de K sont 1 3

1 3

1

; ;3 Ê ËÁ

ˆ

¯˜. d) AGu ruu

( ; ; )1 1 1 et AKu ruu

; ; 1 3

1 3

1 3 Ê

ËÁ

ˆ

¯˜ et on retrouve l’égalité AKu ruu AGu ruu

= 1

3 .

4. Pour s’exercer

2

D¢

A¢

A B

C D

B¢

P

Q

C¢

3 On note I le centre du parallélogramme BCDE, alors AD ABu ruu u ru Auru

2 I et AE ACu ru u ruu Auru 2 I donc :

AD AB AE AC

u ruu u ru u ru u ruu

.

4 AB CFu ru u ru AF FBu ru u ru CB BFu ru u ru AF Cu ru ( ) ( ) u ruBB

. 5 AB AE Fu ru u ru ur AB BF Fu ru u ru ur Auru

I I I donc M = I. 6 AG HE FBu ruu u ru u ru AG GF FBu ruu u ru u ru ABu ru

donc uur u ru

=BA.

7 Au ruJ MFu ruu KBu ru

équivaut à Au ruJ MFu ruu KAu ru Au ruJ 2 , c’est-à-dire MFu ruu Kuru

= J.

10 a) 2 2 1

JI J J J 2

ur uru u ru uru u ru u ru u ru B G B BG AB BK KGuu ru

u ru u ruu u ru

AB BK AK.

b) On en déduit que les droites (AK) et (JI) sont parallèles.

11 a) MGu ruu MA AGu ruu u ruu BAu ru Auru Buru

2

3 2 3

2 I 3 I. Donc la droite (MG) est parallèle à la droite (BI).

b) (BI) est une droite du plan (BCD), donc la droite (MG) est parallèle au plan (BCD).

13 IJ Iur uru u ru u ru u ruJ A AB BC C . Or BCu ru EHu ru

= et Iuru u ruA CJ ur

0 donc IJur u ru u ru AB EH.

Les vecteurs ABu ru , IJur

et EHu ru

sont donc coplanaires.

7 a) D’après le théorème des milieux, les droites (IL) et (AC) sont parallèles. La droite (AC) étant incluse dans le plan (ACD), (IL) est parallèle au plan (ACD).

b) De la même manière, on montre que les droites (JK) et (DC) sont parallèles ainsi que les droites (IJ) et (BC).

Les droites (JK) et (IJ) sont sécantes et contenues dans le plan (IJK).

Les droites (BC) et (DC) sont sécantes et contenues dans le plan (BCD).

Les plans (IJK) et (BCD) sont donc parallèles.

3. Activités d’approche

• ^{Activité 1}

1 a) et b) A

B

D K

J I

L

C

J est le milieu de [BC] et K celui de [AD].

La section du tétraèdre ABCD par le plan (IJK) est le parallélogramme IJLK où L est le milieu de [BD].

c) Pour tout point M du plan (IJK), Iu rMu

se décompose de façon unique en fonction des vecteurs non colinéaires IJur

et IuruK

de ce plan.

Or IJur u ru

= 1

2AB et IuruK CDu ruu

= 1

2 , donc il existe un unique couple (a ; b) de nombres réels tels que Iu rMu ABu ru CDu ruu

a b . 2 a) OB OCu ruu u ruu Ou ru

2 J et OA ODu ruu u ruu OKu ruu

2 donc :

Ou ruJ OKu ruu ur

0 et O est le milieu de [JK].

b) Avec la relation de Chasles :

3GA AB AC ADu ruu u ru u ruu u ruu ur0

3GAu ruu 3AD OB OC ODu ruu u ruu u ruu u ruu ur0

, or

OB OC ODu ruu u ruu u ruu OAu ruu

- donc 3GAu ruu 4AOu ruu ur0 et AGu ruu AOu ruu

= 4

3 .

c) _A

B

D K

J C G O

• ^{Activité 2}

1 a) ABCD est un parallélogramme donc AB ADu ru u ruu ACu ruu

.

(3)

5. Accompagnement personnalisé

20 a) AMu ruu AD DHu ruu u ruu AHu ruu

, donc M = H.

b) ANu ruu AB BF FGu ru u ru u ru AGu ruu

, donc N = G.

c) APu ru CGu ruu AEu ru

= = , donc P = E.

d) Q n’est pas un sommet du cube.

e) R n’est pas un sommet du cube.

f) S n’est pas un sommet du cube.

21 a) M est un point de la droite (AB), donc du plan (ABC).

ANu ruu CAu ruu ANu ruu

2 2 donc ANu ruu ACu ruu

=2 . N est un point de la droite (AC) donc du plan (ABC).

b) AuruI ABu ru ANu ruu AM ACu ruu u ruu Au ruJ

1

2 1

2 2 .

Donc les points A, I et J sont alignés.

22 a) I appartient au plan (ABC), J au plan (ACD) et K au plan (ABD).

b) IJur u ruJ uruI u ruu u ru u ruu

A -A AD AB- BD donc les droites (IJ) et (BD) sont parallèles.

JK AK AJ AB AC CB

u ru u ruu u ru u ru u ruu u ru

- 1 -

2 1 2

1

2 donc les droites (JK) et (CB) sont parallèles.

c) Deux droites sécantes du plan (IJK) sont parallèles à deux droites sécantes du plan (BCD), donc ces deux plans sont parallèles.

23 1. Les points A, B, D et E ne sont pas dans un même plan donc uur

, vur , wuru

ne sont pas coplanaires.

2. a) AOu ruu AGu ruu ur ur uru

1

2 1 2

1 2

1

u v 2w

b) AuruI ur ur uru u 1v w

2 c) Au ruJ ur ur uru

1

2u v w

d) IJur u ruJ uruI ur ur A -A -1

2 1 u 2v e) IuruB AB Au ru uruI ur uru

- -1 - 2v w f) Ju rOu AO Au ruu u ruJ ur uru

- -1 - 2

1 v 2w 24 IuruG Ju rGu

= 2

3 où J est le milieu de [EB].

J 1 2 0 1

; ;2 Ê ËÁ

ˆ

¯˜ et G(1 ; 1 ; 1) donc Ju rGu 1 2 1 1

; ; 2 Ê ËÁ

ˆ

¯˜ et I 2

3 1 3

2

; ; 3 Ê ËÁ

ˆ

¯˜. Alors DuruI 2

3 2 3

2

;- ;3 Ê ËÁ

ˆ

¯˜ et DFu ru

( ;1 -1 0; ) donc DuruI DFu ru

= 2

3 et les points D, I et F sont alignés.

14 a) AC HFu ruu u ru Auru ur u ru uru ur uruC H JF

I IJ J I IJ .

Or Auru uruI HI ur

0 et Ju ru uruC JF ur

0 donc AC HFu ruu u ru ur 2IJ. b) ACu ruu

et HFu ru

ne sont pas colinéaires et IJur u ruu u ru 1

2 1 AC 2HF, donc ACu ruu

, HFu ru et IJur

sont coplanaires.

15 MNu ruu AN AMu ruu u ruu AD ACu ruu u ruu ABu ru

- -

1 2

1

( ) 3

--1 3

1 2

1

AB AC 2AD

u ru u ruu u ruu

16 AG AD DG

AD D

AD u ruu u ruu u ruu

u ruu uru u ruu

2 3 2 3

1 2 I

((DB DC)

AD DB DC

A

u ru u ruu u ruu u ru u ruu

Ê ËÁ

ˆ

¯˜

1 3

1 3 D

D AB AD AC AD

AB

u ruu u ru u ruu u ruu u ruu u

- -

1 3

1 1 3

3

( ) ( )

rr

u u ruu u ruu 1

3 1 AC 3AD

19 a) Une représentation paramétrique du plan ( ; , )A u vur ur

est : x y

- ¢ - ¢ ¢

ÌÔÔ ÓÔ Ô

1 1

1 2 2

t t

t

z t t

, où t  , t¢  

b) Le système

t t

t t t

¢ - ¢ ¢ ÌÔÔ ÓÔ Ô

1

2 2

1 1

n’a pas de solution. B n’appartient pas au plan.

c) Le système

t t

t t t

¢ - ¢ -

¢ ÌÔÔ ÓÔ Ô

1

2 1

2 2

a pour solution (t ; t¢) = (0 ; 2) donc C appartient au plan.

d) M (x ; y ; z)  ( ; , )A u vur ur

∙ ( ; ; )O ur uri j

si, et seulement si : x

y

- ¢ - ¢ ¢

Ì ÔÔ

Ó ÔÔ

1 1

1 2 2 0

t t

t

z t t

z c’est-à-dire :

x y

- - - - - -

¢ - - Ì ÔÔ

Ó ÔÔ

( )

1 1

2 2

1 2

2 0

t t

t

t t

z

⇔ x yz

- ÌÔÔ ÓÔ Ô

2 1

3 2 0

t t

Donc ces deux plans ont pour intersection la droite qui passe par D (–2 ; 3 ; 0) et de vecteur directeur wur 1

2 ; ;1 0 . Ê

ËÁ

ˆ

¯˜

(4)

37 a) MAu ruu MAu ruu ABu ru MA ACu ruu u ruu

2 2 donc :

AM AB AC

u ruu u ru u ruu - 1

2 et M appartient au plan (ABC).

b) AN BN NDu ruu u ru u ruu ur

0 donc AN BDu ruu u ruu ur

0 et ANu ruu BDu ruu - , N appartient au plan (ABD).

38 AMu ruu EC FCu ru u ru EC EBu ru u ru Eur

1 -

2

1

( ) 2( ) I AE Au ru uru. I Donc M appartient au plan ( ;A AE Au ru uru, )

I. 39 BCu ru BA ACu ru u ruu uruA Au ru ur

3I 3 J3IJ. De même CDu ruu u rKu

=3J . Les vecteurs directeurs BCu ru

et CDu ruu

du plan (BCD) sont colinéaires aux vecteurs directeurs IJur

et Ju rKu

du plan (IJK), ces deux plans sont donc parallèles.

40 a) _H

E

A

I B

K J

C D

F G

b) BEu ru BA AEu ru u ru uruC Cu ru ur 2I 2 J2IJ. Donc les droites (BE) et (IJ) sont parallèles.

BCu ru BK Ku ru uru u ruC AE Ku ru uru AEu ru K J J 1 J-

2

1

2 uruJJ . Donc les droites (JK) et (BC) sont parallèles.

c) Deux droites sécantes du plan (IJK) sont parallèles à deux droites sécantes du plan (BCE), ces deux plans sont donc parallèles.

41 a) AB BMu ru u ruu AB AC ADu ru u ruu u ruu

3 - - donc :

BMu ruu AB AC AB ADu ru u ruu u ru u ruu BC BDu ru u ruu - - - - . b) Le point M appartient au plan (BCD).

42 a) ABu ru , CAu ruu

et CBu ru AB ACu ru u ruu

- sont coplanaires.

b) SAu ru , SBu ru

et SCu ru

ne sont pas coplanaires car S, A, B, C n’appartiennent pas à un même plan.

c) SAu ru , SBu ru

et DCu ruu ABu ru

= sont coplanaires.

43 a) ABu ru , AEu ru

et DGu ruu AFu ru

= sont coplanaires.

b) BCu ru EHu ru

= , DHu ruu et EurI

c) GCu ruu FBu ru

= , FEuru et IuruA

sont coplanaires.

d) BCu ru

, DHu ruu BFu ru

= et CuruI

44 a) CBu ru FEuru AE AFu ru u ru

-

b) L’égalité précédente prouve que AEu ru , AFu ru

et CBu ru sont des vecteurs coplanaires.

45 a) OAu ruu GAu ruu GEu ru EAu ru GEu ru DHu ru

1 -

2 1 2

1 2

uu. Donc les vecteurs OAu ruu

, GEu ru et DHu ruu

sont coplanaires.

b) Les vecteurs GEu ru

, DAu ruu GFu ru

= et OAu ruu GAu ruu

= 1

2 ne sont pas coplanaires.

6. Exercices d’application

25 _H

E

A

R B

P Q

D C

F S G

26 a) AGu ruu AB AE BCu ru u ru u ru

b) AC DHu ruu u ruu AGu ruu

c) EH GCu ru u ruu FCu ru

d) BF BD DAu ru u ruu u ruu CHu ruu

27 a) EA EF CH EB CHu ru uru u ruu u ru u ruu ur

0

b) DE FCu ru u ru ur 0

c) AB AD AEu ru u ruu u ru AC AEu ruu u ru AGu ruu

d) AF GCu ru u ruu ABu ru EFuru

28 a) AB CDu ru u ruu AD DB CDu ruu u ru u ruu

b) AB CDu ru u ruu AD CD DBu ruu u ruu u ru AD CBu ruu u ru

29 a) BDu ruu Buru ur u ruD

I IJ J et CAu ruu Curu ur u rAu

I IJ J

b) BD CAu ruu u ruu Buru uru ur u rDu u ruA I CI 2IJ J J 2IJuur 30 a) ACu ruu Auru uru u ruL LC uru uru u ruB L BL uL

I I I I 2Irru On démontre de même que ACu ruu Kuru

= 2 J. b) Alors ILur Kuru

= J et ILJK est un parallélogramme.

31 a) OA OBu ruu u ruu Ou ru uru u rA Ou uruB Ou ru I I I I 2 I car Iuru uruA IB ur

0.

De même OC ODu ruu u ruu Ou ru 2 J.

b) OA OB OC ODu ruu u ruu u ruu u ruu Ou ru Ou ru ur

2( I J) 0 car O est le milieu de [IJ].

32 a) GB GCu ruu u ruu Guru

2 I où I est le milieu de [BC].

Or GDu ruu Guru

-2 I donc GB GC GDu ruu u ruu u ruu ur

0.

b) Donc GB GCu ruu u ruu GDu ruu - et GA GB GCu ruu u ruu u ruu GA GDu ruu u ruu DAu ruu

- .

33 DA BD FBu ruu u ruu u ru BD DA FBu ruu u ruu u ru BA Fu ru

BB

FA DG

u ru u ru u ruu

- . 34 FE FGuru u ru FHu ru

et HF DBu ru u ru HFu ru

2 donc :

HF DBu ru u ru FE FGuru u ru -2( ). 35 BA APu ru u ru BA FGu ru u ru

2 donc :

AP BA FG FE FG FH HF

u ru u ru u ru uru u ru u ru u ru

- .

36 a) AuruI AD Du ruu uruI LDu ru DGu ruu LGu ru

3

2 3 2

3 2 b) Donc les droites (AI) et (LG) sont parallèles.

(5)

52 a) ABu ru

(-3;-2 2 et CD; ) u ruu

( ;9 -1 1; ) b) Milieu de [AB] : IÊ- ; ;

ËÁ

ˆ

¯˜

1

2 4 3 et milieu de [CD] :

J 5; ;

2 5 2

1 - 2 Ê ËÁ

ˆ

¯˜. 53 KCu ru ABu ru

= donc KCu ru

(-3;-2 2 et K ( ; ;; ) 1 0 -2). 54 a) uur

; ;

51

2 -4 4 Ê

ËÁ

ˆ

¯˜ b) vur

; ;

Ê- ËÁ

ˆ 2 38 ¯˜

3 25

3 55 ABu ru

(-3 1 2 et CD; ; ) u ruu

(-3 1 2 , AB; ; ) u ru CDu ruu

= et ABDC est un parallélogramme.

56 On note (x ; y ; z) les coordonnées de D.

a) ABu ru DCu ruu

= équivaut à

- - - - -

- ÌÔ ÓÔ

2 0

2 5

1 1

xy z

. Donc x = – 2, y = 3, z = 0.

b) ABu ru CDu ruu

= équivaut à x y -

- ÌÔ ÓÔ

2 0

2 5

1 1 z

. Donc x= – 2, y= – 7, z = 2.

57 ABu ru

(-6;-2 6 et CD; ) u ruu

(-12;-4 12 donc :; )

CD AB

u ruu u ru

=2 , ABu ru et CDu ruu

sont colinéaires.

58 ABu ru

( ; ;1 3 -9) et ACu ruu

(-13;-39 117 donc :; ) ACu ruu ABu ru

-13 ; A, B et C sont donc alignés.

59 ACu ruu

( ; ; )6 4 0 et BDu ruu

( ; ; )3 2 0 donc ACu ruu BDu ruu

= 2 et les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

60 On note (x ; y ; z) les coordonnées de A¢.

ABu ru BAu ruu

¢ équivaut à x y -

- --

ÌÔ ÓÔ

2 3

1 2

4 5

z Donc x = – 5, y = – 1, z = 9.

61 ABu ru

(-3;-1 5 et AC; ) u ruu

(-2;-3 3 ne sont pas ; ) colinéaires, donc A, B et C ne sont pas alignés.

62 ABu ru

( ;2 -1;-1) et AMu ruu

(x-1; ;y -5 .) A, B et M sont alignés si, et seulement si :

x- y - -

- 1

2 1

5

1, c’est-à-dire x = 11 et y = – 5.

63 uur et vur

sont colinéaires si, et seulement si : 2

1 3 - 5

x y c’est-à-dire x - 3

2 et y = 10.

64 vur uur -2 , uur

et vur

sont colinéaires, donc d et d¢ sont parallèles.

65 a) 2uur ur uruv w

- - a pour coordonnées (0 ; 0 ; 0).

b) wuru uur urv 2 - donc uur

, vur et wuru

sont coplanaires.

46 On remarque que wuru uur urv

- , donc uur , vur

et wuru sont coplanaires.

47 a) MN MF FB BNu ruu u ruu u ru u ru GF FBu ru u ru BHu ru

1

4

1 4

1

4

1 4

1

GF FB FE FB 4GE

u ru u ru uru u ru u ru

b) MN FBu ruu u ru GAu ruu AEu ru FBu ru GAu ruu

1 -

4 1 4

1 4

1 4FFB

FB GA

u ru u ru u ruu

3 4

1

4 .

Donc FBu ru , MNu ruu

et GAu ruu

sont coplanaires.

48 a) _A

B F

D

I J

C E

b) DF DA DEu ru u ruu u ru DA DCu ruu u ruu ur Du ru D IJ2 Juu ruJ uru

uru u ru -

-

D

D D

I I 3 J.

49 1. Les points A, B, E et D n’appartiennent pas à un même plan, donc les vecteurs uur

, vur et wuru

2. a) AOu ruu AGu ruu ur ur uru

1

2 1 2

1 2

1

u v 2w

b) AuruI ur ur uru u v 1w

2 c) Au ruJ ur ur uru

1

2u v w

d) IJur u ruJ uruI ur uru 1 - -

2 1 2

1 2

1

G G u 2w

e) Iu rDu Iuru u rC CDuu ur uru - -u 1w

2 f) Ju rOu Ju rG GOu u ruu ur AGu ruu

ur ur

-

1 2

1 1 2

2 1 2

u

u (u vvur uruw vur wuru ) - 1 -

2 1 2 50 AKu ruu AC CKu ruu u ru AB ADu ru u ruu SCu ru

- 1

2 51

O B

A C

D

(6)

71 a) Le système

2 2 1 3

1 2

1

- - -

ÌÔ ÓÔ

t k

équivaut à t k

Ì Ó

0 1 donc d et d¢ sont sécantes.

Les coordonnées de leur point d’intersection sont (2 ; – 1 ; 1).

72 Le système

5 3 11 2

2 10 2

1 4 4

- - -

ÌÔ ÓÔ

t k

équivaut à t

k - Ì Ó

2 5 .

d et d¢ sont sécantes en A (– 1 ; 0 ; 9).

73 uur

( ; ; )1 6 2 est un vecteur directeur commun à d et d¢.

A (– 1,75 ; 8,5 ; 3,5) est un point qui appartient à d (t = 2,5) et d¢ (t = 0), donc d et d¢ sont confondues.

74 uur

( ;1 -3;-3) et uuru¢ - -

( ;1 3; 1 sont de vecteurs ) directeurs respectifs de d et d¢. uur

et uuru¢

ne sont pas coli- néaires donc d et d¢ ne sont pas parallèles.

Le système 1

2 3 3 3

3 3 1

- - - - -

ÌÔ ÓÔ

t k

n’ a pas de solution.

d et d¢ ne sont pas sécantes et donc finalement, elles ne sont pas coplanaires.

75 a) ABu ru

(-2 1 1 et AC; ; ) u ruu

( ; ;4 1 -2) ne sont pas coli- néaires, donc A, B et C ne sont pas alignés.

b) Une représentation paramétrique du plan (ABC) est : xy - ¢

¢ - ¢

ÌÔ ÓÔ

1 2 4

2 2

t t

t t

z t t

où t ∈ , t¢ ∈ .

76 a)  est le plan qui passe par A (1 ; – 1 ; 3) et qui a pour vecteurs directeurs uur

( ; ; )1 1 0 et vur

( ;2 -1 3; ).

b) Le système

xy ¢ - - ¢ ¢ ÌÔÔ ÓÔ Ô

1 2

1 3 3 0

t t t t

z t

z

équivaut à

xy -

¢ - ÌÔÔ ÓÔ Ô

1 0

1 t t z t

.

 et ( ; , )O ur uri j

se coupent suivant la droite dont une représentation paramétrique est x

y - ÌÔ ÓÔ

1 0

t t z

où t ∈ .

7. Objectif Bac

77 1. c) 2. b) 3. a) 4. a) 5. c) 6. a) 78 1. Faux : ABu ru

(3 ; 1 ; – 4) 2. Vrai car ABu ru

(3 ; 1 ; – 4) et CDu ruu

(3 ; 1 ; 2) donc – ABu ru

+ 2CDu ruu

(3 ; 1 ; 8) 66 a) OCu ruu

( ; ; )1 2 7 et 2OAu ruu 3OBu ruu 1 2 7 + ( ; ; ) donc :

OC OA OB

u ruu u ruu u ruu 2 3 . b) OAu ruu

, OBu ruu et OCu ruu

sont coplanaires, donc les points O, A, B et C sont coplanaires.

67 a) Une représentation paramétrique de la droite (AB) est x

y - - -

ÌÔ ÓÔ

3 2 1

1 3 t t

z t

où t ∈ .

b) Le système

3 2 1

1 3

1 3 7

- - -- -

ÌÔ ÓÔ

t t

t

n’a pas de solution, donc M n’appartient pas à la droite (AB).

Le système

3 2 1

1 2

1 3 1

- -- -

ÌÔ ÓÔ

t t

t

n’a pas de solution, donc N n’appartient pas à la droite (AB).

68 a) Une représentation paramétrique de la droite

d est x y

- - ÌÔÔ ÓÔ Ô

1 1 1 2

4 2 t t

z t

où t ∈ .

b) Le système : x y

- - Ì ÔÔ

Ó ÔÔ

1 1 1 2

4 2 0

t t

z t

z

équivaut à t

z - -

ÌÔÔ ÓÔ Ô

2 2 3 0 xy

d coupe le plan ( ; , )O ur uri j

en A (– 2 ; 3 ; 0).

69 a) D est la droite passant par le point A (1 ; 1 ; 2) et de vecteur directeur uur

(-1;-1 1 .; )

b) _ur

u A

D

70 a) d passe par le point A (1 ; – 2 ; 2) et a pour vecteur directeur uur

( ; ; )1 3 0 . b) uur

est un vecteur du plan ( ; , )O ur uri j

donc d est parallèle à ce plan.

c) Une représentation paramétrique de d¢ est : xy

ÌÔ ÓÔ

t t z

3 0

où t ∈ .

(7)

81 1. _A

D E

K M I

J

B C

L

2. On considère le plan (AKM), I est un point de la droite (KM) et L un point de la droite (AI), donc J, I et L appartiennent au plan (AKM).

3. a) KLu ru Kuru uruL Kuru uruA I I I 1I

5 KuruI 1Iu rMu MAu ruu

5 1 5 KuruI 1Iu rMu Mu ruJ

5 3 5

3

5 2 5

1 5

3 KuruI KuruI Iu rMu 5Mu ruJ

3

5 3 5

3 5

3 KuruI Iu rMu Mu ruJ 5KuruJ b) KLu ru

et KuruJ

sont colinéaires donc K, L et J sont alignés.

82 1. AuruI ADu ruu AEu ru 1

2 1

2 donc I 0 1 2

1

; ; 2 Ê

ËÁ ˆ

¯˜. Au ruJ ABu ru ADu ruu

1 2

1

2 donc J 1 2

1 2 0

; ; Ê

ËÁ ˆ

¯˜. K est le milieu de [IJ] donc K 1

4 1 2

1

; ; 4 Ê

ËÁ ˆ

¯˜. 2. a) AKu ruu 1

4 1 2

1

; ;4 Ê

ËÁ ˆ

¯˜ et AGu ruu

(1 ; 1 ; 1) ne sont pas colinéaires donc A, K et G ne sont pas alignés.

b) Une représentation paramétrique du plan (AKG) est : x

y

¢

Ì ÔÔÔ Ó ÔÔ Ô

1 14 21 4

t t t t

z t t

où t ∈ ℝ, t ∈ ℝ.

3. D(0 ; 1 ; 0) appartient à (AKG) : t = 4, t¢ = – 1 F(1 ; 0 ; 1) appartient à (AKG) : t = – 4, t¢ = 2 Donc les plans (ADF) et (AKG) coïncident.

83 1. ABu ru

(-3 1 5 et AC; ; ) u ruu

(-2;-3 4 ne sont pas ; ) colinéaires donc A, B, C définissent un plan.

2. ADu ruu

(-1 0; ;-1 , il n’existe pas de nombres réels ) x, y tels que ADu ruu ABu ru ACu ruu

x y car le système - - -

- -

ÌÔ ÓÔ

3 2 1

3 0

5 4 1

x y

x y n’a pas de solution.

A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

3. C (0 ; – 2 ; 3) est un point et uur u ruu

CA ( ; ;2 3 -4 est un ) vecteur directeur de cette droite, donc l’affirmation est vraie.

3. Vrai : Ê-

ËÁ ˆ

; ; ¯˜

2 1 2

5 6 2

1 3 2 4. Faux : ACu ruu

(– 1 ; 5 ; – 2) et DBu ru

(1 ; – 5 ; – 4) ne sont pas colinéaires car 1

1 4 - - 2

- 5. Faux : ABu ru

(3 ; 1 ; – 4) et DCu ruu

(– 3 ; – 1 ; – 2) ne sont pas égaux.

6. Faux : Il n’existe pas de nombres réels x et y tels que ADu ruu

= xABu ru + yACu ruu

.

79 1. Faux : A n’est pas un point de la droite.

2. Vrai : Un vecteur directeur uur

(5 ; 1 ; 0)de la droite d est un vecteur du plan ( ; , )O ur uri j

.

3. Faux : d et d¢ ne sont ni parallèles, ni sécantes.

80 1. ABu ru

(2 ; – 3 ; – 1) , donc une représentation para- métrique de la droite d est x

y - - - -

ÌÔ ÓÔ

1 2 2 3 1

t t

z t

, t ∈ ℝ 2. uur

(2 ; – 3 ; – 1) est un vecteur directeur de d.

uur

¢ (– 1 ; 2 ; 1) est un vecteur directeur de d¢.

uur et uur

¢ ne sont pas colinéaires donc d et d¢ ne sont pas parallèles.

Le système

2 1 2

1 2 2 3

1 - - -

- -

ÌÔ ÓÔ

k t

n’a pas de solution, donc d et d¢ ne sont pas sécantes. Alors d et d ne sont pas coplanaires.

3. a) M appartient au plan  si, et seulement si, il existe des nombres réels t et t¢ tels que AM =u ruu ur ur

tu t v ¢ , c’est- à-dire :

xy x

y –

– –

– 1

2 5

1

2 5

¢

ÌÔ ÓÔ

€ ¢

t t t

z t t

t t t

z ¢

ÌÔ

ÓÔ – – –1 t t

b) A est un point de  ainsi que B (t = 2 ; t¢= – 1) donc

 contient la droite d.

c) Le système :

2 1

1 2 2 5

1 –

– – – –

k t

k t t

k t t

¢

ÌÔ ÓÔ équivaut à :

k t

t t t

k t t

¢

¢ ÌÔ ÓÔ

€

¢ ÌÔ ÓÔ 1

3 5 5

2

4 5

2 –

–

– –

 et d¢ se coupent en C (6 ; – 7 ; – 4).

4. Une représentation paramétrique de ∆ est : xy

ÌÔ ÓÔ

6 7 4 k

k

z k

– – –

avec k ∈ ℝ.

Le système

1 2 6

2 3 7

1 4

ÌÔ ÓÔ

t k

– – –

– – – –

équivaut à t k

- Ì Ó

2 1. Les droites d et ∆ sont sécantes en E (5 ; – 8 ; – 3)

(8)

b) IJur , IuruK

et Iu rQu

sont coplanaires, donc Q est un point du plan (IJK).

c) L’ensemble  est contenu dans le plan (IJK).

3. a) IJur et IuruK

sont des vecteurs directeurs du plan P, il existe des nombres réels x et y tels que IuruP IJur IuruK

x y . b) IuruP BAu ru CDu ruu BMu ruu CNu ruu IuM

x y

2 2

1 2

1

2( urr uru IN) Donc P est le milieu du segment [MN].

c) P est donc un point de l’ensemble .

4. L’ensemble  et le plan (IJK) coïncident.

87 1. b) EPQH est un rectangle.

2. a) E (0 ; 0 ; 4) et M (4 +a ; 0 ; 0), une représentation paramétrique de la droite (EM) est :

xy - ÌÔ ÓÔ

(4 ) 0 4 4

a t

z t

b) P est le point de la droite (EM) qui a pour abscisse 4 donc t

a 4

4 et P 4 0; ; 4 4

a a Ê

ËÁ ˆ

¯˜.

c) V ¥ ¥ -

Ê

ËÁ ˆ

¯˜ ¥

1

2 16 4 4

4 8 16

4

128 4 a

a a a

3. a) lim ( )

x_Æf x 0

b) Pour tout x∈ [0 ; +∞[, ¢ - f ( )

( )

x x

128 4 ². c)

d) Graphiquement, a ≈ 2,4.

Par le calcul : 128

4 20

a équivaut à 4 + a = 6,4, a = 2,4.

88 1. a) Une représentation paramétrique de la droite (AC) est x

y - ÌÔ ÓÔ

1 0

t z t

où t ∈ .

Une représentation paramétrique du plan (A¢B¢C¢) est : xy - - ¢

¢ ÌÔ ÓÔ

2 2 2

2 3

t t t

z t

où t ∈ , t¢ ∈ .

b) Le système

2 2 2 1

2 0

3

- - ¢ -

¢ ÌÔ ÓÔ

t t k

t

t k

équivaut à k t t

-

¢ - ÌÔ ÓÔ

3 0

1 . La droite et le plan sont sécants en K (4 ; 0 ; – 3).

2. a) Une représentation paramétrique de la droite (BC) est x

y - ÌÔ ÓÔ

0 1 t z t

où t ∈  et une représentation paramé-

trique de (B¢C¢) est x y

- ÌÔ ÓÔ

0 2 2 3

k

z k

où k ∈ .

4. Le point D n’appartient pas au plan . En effet, le système

- ¢ - ¢ - ¢ -

ÌÔ ÓÔ

3 1

1 2 1

1 4 2

t t t t

t t

équivaut à

¢ - ÌÔ ÓÔ

t t

4

3 4

3 17

, il n’a pas de solution.

Donc la droite (BD) n’est pas incluse dans le plan .

84 1. a) (k² 1)AGu ruuu_k kABu ru -kACu ruu

donc G_k appartient au plan (ABC).

b) (k² 1)AGu ruuu_k -kBCu ru

donc AG_k k BC k u ruuu u ru

- ² 1 . c) lim ( )

x x

Æf 0 et lim ( )

x x

Æ-f 0.

Pour tout nombre réel x, ¢ - f ( )

( )

x x

x

2

2 2

1 1 .

x – ∞ – 1 1 + ∞

f¢ + – +

f 0

1

2 - 1

2

0

d) f k k

( ) - k

2 1 décrit l’intervalle È- ÎÍ

˘

; ˚˙

1 2

1

2 , G_k décrit le segment [G₁G_–1] lorsque k décrit .

A G_–1

G₁ BCuuuur

2. a) ABu ru

(-1;-1;-1 et AC) u ruu

(-2 1; ;-2 ne sont pas ) colinéaires, donc A, B et C ne sont pas alignés.

b) La distance AG_k est minimale pour k = 0.

8. Travaux pratiques

85 1. a) Les vecteurs CAu ruu , CBu ru

et AFu ru CEu ru

= ne sont pas coplanaires.

b) Les points A, F, C et B ne sont donc pas coplanaires.

2. Les points I, J, B et E sont coplanaires, ils appartiennent au plan (ABD).

3. a) 2Cu ru u rJ CFu 2Cu ru u rJ CA CEuu u ru CA CB Cu ruu u ru - - - - AA CE

EB

u ruu u ru

u ru ur -

JI b) 2Cu ru u rJ CFu Curu u ruI CJ

- - donc CFu ru Curu Cu ru

- I3 , ainsi CJ uruI , Cu ruJ et CFu ru

sont coplanaires.

c) Alors, C, I, J et F appartiennent à un même plan.

86 1. b) Q peut prendre la position du milieu de [BC], [AC], [BD] et [AD].

c) Q décrit le segment qui relie les milieux de [AC] et [AD].

Pour un autre point M, il semble que Q décrive un segment parallèle au précédent.

d)  paraît être un plan.

2. a) Iu rQu Iu rMu IuruN IuruB BAu ru IuruC

1

2 1 2

1

2 2

1 2

a b

22CD K

u ruu ur uru

aIJbI car BAu ru ur

=2IJ et CDu ruu uruK

=2I .

0 0

(9)

2. a) MNu ruu AN AMu ruu u ruu ABu ru ACu ruu - - 2

3 3 4 MPu ruu MA AC CPu ruu u ruu u ru AB ACu ru u ruu C

- 2 -

3

1 2 DD

AB AC AD

u ruu u ru u ruu u ruu

- 2 - 3

3 2

1 2

MQu ruu AQ AMu ruu u ruu ABu ru ADu ruu - - 2

3 1 2 b) MQu ruu MN MPu ruu u ruu

2 - c) MNu ruu

, MPu ruu et MQu ruu

sont des vecteurs coplanaires, donc les points M, N, P et Q appartiennent à un même plan.

92 1. E (0 ; 0 ; 1), G (1 ; 1 ; 1), H (0 ; 1 ; 1), I 3 ; ; 4 1 0 Ê

ËÁ ˆ

¯˜ et J 1; 1;

4 0 Ê

ËÁ ˆ

¯˜. 2. a) HuruI

3; ; 4 0 -1 Ê

ËÁ ˆ

¯˜, EGu ru

; ; 1 1 0

^{, E}uruJ

; ; 1 1

4 -1 Ê

ËÁ ˆ

¯˜.

Le système x y

x y

y

- - Ì ÔÔ

Ó ÔÔ

3 1 4

4 0

1

a pour unique solution

( ; )x y -Ê ; ËÁ ˆ

¯˜

1

4 1 , HuruI EG Eu ru uruJ - 1

4 .

b) HuruI

est un vecteur du plan (EGJ), donc la droite (HI) est parallèle au plan (EGJ).

93 1. a) GE AE AG AB AG GA

u ru u ru u ruu u ru u ruu u ruu

- -

-

l

l l

(1 ) GGBu ruu b) De même GFu ru GDu ruu GCu ruu

-(1 l) l 2. a) GE GFu ru u ru ur

0 donc :

(1-l)(GA GDu ruu u ruu)l(GB GCu ruu u ruu)ur0

, or GA GDu ruu u ruu Guru 2 I et GB GCu ruu u ruu Gu ru

2 J, donc (1-l)GuruIlGu ruJ ur0 . b) GuruI

et Gu ruJ

sont colinéaires, donc I, J et G sont alignés.

94 1. a) I 0 0 1

; ;2 Ê

ËÁ ˆ

¯˜ et J 1 2 1 1

; ;2 Ê

ËÁ ˆ

¯˜. b) IJur 1

2; ;1 0 Ê ËÁ ˆ

¯˜, une représentation paramétrique de la

droite (IJ) est x y Ì ÔÔ

Ó ÔÔ

1 2 1 2 t t z

où t ∈ .

2. a) P 0 1 3 1

; ; Ê ËÁ ˆ

¯˜, Q 1 3

1 3 0

; ; Ê

ËÁ ˆ

¯˜ donc K 1 6

1 3

1

; ;2 Ê

ËÁ ˆ

¯˜

b) K est un point de la droite (IJ) Êt ËÁ ˆ

¯˜

1 3 . Donc I, K et J sont alignés.

95 1. a) Q est milieu de [MN] donc Iu rQu Iu rMu IuruN 1

2( ).

b) Le système 1 2 2 3 - - Ì

Ó

t k

t k équivaut à k t

- - Ì Ó

1 3. Les deux droites sont sécantes en H (0 ; 4 ; – 3).

9. Exercices d’entraînement

89 2. a) ABu ru

(-1;-2 0 et AC; ) u ruu

( ; ;3 5 -1). b) ABu ru

et ACu ruu

ne sont donc pas colinéaires.

c) A, B et C ne sont pas alignés, ils définissent un plan.

3. a) ADu ruu

(-5;-5 5; ) b) Le système

- - - - -

ÌÔ ÓÔ

x y

y

3 5

2 5 5

5

a pour unique solution (– 10 ; – 5).

ADu ruu ABu ru ACu ruu -10 -5 c) ABu ru

, ACu ruu , ADu ruu

sont coplanaires, donc A, B, C et D sont coplanaires.

90 1. a) uur

(-1 1 2 et ; ; ) vur

( ; ; )2 0 3 ne sont donc pas colinéaires.

b) Les droites d et d¢ ne sont pas parallèles.

2. a) ABu ru

(-5 3 3 , le système ; ; )

- -

ÌÔ ÓÔ

a b

a

a b

2 5

3

2 3 3

a pour unique solution (a ; b) = (3 ; – 1).

Ainsi, ABu ru ur ur 3u-v. b) Les vecteurs uur

, vur et ABu ru

sont coplanaires, donc les droites d et d¢ sont coplanaires. Ces deux droites n’étant pas parallèles, elles sont donc sécantes.

3. a) I ∈ d donc il existe un nombre réel k tel que AuruI ur

=ku, I ∈ d¢ donc il existe un nombre réel k¢ tel que BuruI ur

¢k v. b)

xy⁰0

0

3 1 1 2 - - - ÌÔ ÓÔ

k k

z k

et xy⁰0

0

2 2

4 0

2 3

¢ - - ¢

ÌÔ ÓÔ

k

z k

c) Le système

3 2 2

1 4

1 2 2 3

- - ¢

- ¢

ÌÔ ÓÔ

k k

k

k k

équivaut à k k

¢ Ì Ó

3 1. Donc x0 = 0, y0 = 4 et z₀ = 5.

91 1. _A

B D

M Q

N

C

P

(10)

b)

1 1

1

- - -

ÌÔ ÓÔ

t t

t x y

x y équivaut à t

Ì ÔÔÔ Ó ÔÔ Ô

1 31

31 3 x y

.

Le point I a pour coordonnées 2 3

1 3

2

; ;3 Ê

ËÁ ˆ

¯˜. 99 1. C est un point de la droite d : t = 0.

2. a) D est un point de la droite d : t = 1.

b) ABu ru

(0 ; – 1 ; – 1), ACu ruu

(1 ; – 1 ; 2) et ADu ruu

(0 ; 1 ; 1).

Le système b

a b

a b

- -

ÌÔ ÓÔ

0 1

2 1

– a pour seule solution (a ; b) = (– 1 ; 0), donc ADu ruu ABu ru

- .

3. D est un point du plan , donc la droite d = (CD) est contenue dans le plan .

100 1. a) ABu ru

(– 3 ; 0 ; – 1) et ACu ruu

(– 1 ; – 2 ; – 1) ne sont pas colinéaires, donc A, B et C déterminent un plan.

b) ODu ruu

(6 ; 0 ; – 1) et OEu ruu

(0 ; 3 ; 1; ) ne sont pas colinéaires, donc O, D et E déterminent un plan.

2. a) Le système

- - - - - -

ÌÔ ÓÔ

3 6

2 0

1 a b b a b

n’a pas de solution.

Il n’existe pas de nombres réels a et b tels que ODu ruu ABu ru ACu ruu

a b , les vecteurs ABu ru , ACu ruu

et ODu ruu

en sont pas coplanaires.

b) ₁ et ₂ ne sont donc pas parallèles, ils sont sécants suivant une droite d.

3. a) Une représentation paramétrique du plan ₁ est : xy - - ¢

- ¢ - - ¢

ÌÔ ÓÔ

3 2 1

t t t

z t t

où t ∈ , t¢ ∈ 

et du plan ₂ est x y

¢ - ¢

ÌÔ ÓÔ

6 3 k k

z k k

où k ∈ , k¢ ∈ .

b) Le système

- - ¢ - ¢ ¢

- - ¢ - ¢

ÌÔ ÓÔ

3 6

2 3

1

t t k

t k

t t k k

équivaut à :

¢ - - -

¢

ÌÔÔ ÓÔ Ô

t t k

k

k t k

3 6

1 1 23 7

, c’est-à-dire

¢ - -

¢ -

Ì ÔÔ

Ó ÔÔ

t t

k

k t

3 2

1 3

2 4

3 .

Une représentation paramétrique de la droite d est : xy -

- - ÌÔ ÓÔ

2

6 4

2 1

t

z t

où t ∈ .

101 1. a) On note I le milieu de [EG], DGu ruuu₁ 2Gu ruu₁ G E G Gu ruu₁ u ruuu₁

I donc G D G E G Gu ruuu₁ u ruu₁ u ruuu₁ ur0

.

b) Il existe des nombres réels x et y tels que : EMu ruu EHu ru

= x et ANu ruu ABu ru

= y . Iu rQu Iuru u rE EMuu Iuru u rA ANuu EHu ru A

1

2( ) 2x 2yu ruBB

c) EHu ru et ABu ru

sont deux vecteurs directeurs du plan , donc Q appartient à ce plan.

2. a) EHu ru et ABu ru

étant deux vecteurs directeurs de , il existe des nombres réels x et y tels que Iu rmu u ru u ru

xEHyAB.

b) Soit M le point de la droite (EH) tel que EMu ruu EHu ru

=2x et N le point de la droite (AB) tel que ANu ruu ABu ru

=2y . Alors Iu rmu u ruu u ruu ur u rI Iu uruI

1

2 1 2

1 2

1

EM AN (E M) 2(A

I

I I

N

M N

uru u ru uru

)

( )

1 2

Donc m est le milieu de [MN].

3. L’ensemble des milieux du segment [MN] est le plan .

96 1. L’affichage indique que la droite (DE) est paral- lèle au plan (ABC).

2. a) ABu ru

(2 ; – 1 ; 3) et ACu ruu

(0 ; 1 ; – 1) ne sont pas colinéaires, donc A, B, C ne sont pas alignés et définissent un plan.

b) DEu ru

(1 ; 1 , 0) et le système

2 1

1

3 0

xx y x y -

-

ÌÔ ÓÔ

a pour unique

solution 1 2

3

;2 Ê ËÁ ˆ

¯˜. Ainsi DEu ru ABu ru ACu ruu

1 2

3

2 .

c) DEu ru

est un vecteur du plan (ABC), donc la droite (DE) est parallèle au plan (ABC).

97 1. M (0 ; k ; 1) et N (1 ; 0 ; 1 – k)

2. a) On note (x ; y ; z) les coordonnées de N¢, NN¢u ruu

(x – 1 ; y ; z –1 + k) et MHu ruu

(0 ; 1 – k ; 0).

Donc x y-

- -

ÌÔ ÓÔ

1 0 1

1 0

k

z k

, x y

- - ÌÔ ÓÔ

1 1 1

k

z k

. b) BN¢u ruu

(0 ; 1 – k ; 1 – k) et BGu ru

(0 ; 1 ; 1) sont colinéaires donc B, N¢ et G sont alignés.

3. MH NNu ruu u ruu

¢ donc MNu ruu HNu ruu

¢. N¢ est un point de la droite (BG) donc du plan (BGH), alors MNu ruu

est un vecteur du plan (BGH), la droite (MN) est donc parallèle à ce plan.

98 1. a) (AF AHu ru u r; uu)

est un couple de vecteurs directeurs du plan (AFH), AuruI

étant un vecteur de ce plan, il existe des nombres réels x et y tels que AuruI AFu ru AHu ruu

x y . b) AFu ru

(0 ; 1 ; 1) et AHu ruu

(– 1 ; 0 ; 1) donc AuruI

(– y ; x ; x + y) et I (1 – y ; x ; x + y).

2. a) E (1 ; 0 ; 1), C (0 ; 1 ; 0) donc ECu ru

(– 1 ; 1 ; – 1) et une représentation paramétrique de la droite (EC) est :

xy - - ÌÔ ÓÔ

1 1

t t

z t

où t ∈ .

(11)

5. Avec les coordonnées :

OI OK OM OA OB OC

u ru u ruu u ruu u ruu u ruu u ruu

1 - - -

4( 3 OODu ruu OBu ruu ) . D’autre part OA OBu ruu u ruu Ou ru

2 I donc OAu ruu Ou ru OK OMu ruu u ruu I- - , OB OCu ruu u ruu OKu ruu

2 donc OCu ruu Ou ru OK OMu ruu u ruu - I - , OB ODu ruu u ruu OMu ruu

2 donc ODu ruu Ou ru OK OMu ruu u ruu - I- .

Donc A (1 ; – 1 ; – 1), B (1 ; 1 ; 1), C (– 1 ; 1 ; – 1) et D (– 1 ; – 1 ; 1).

104 a) • k 0 : AMu ruu AB ACu ru u ruu

• k=1 = 3 : AMu ruu 2ABu ru

• k - 1: 2 AMu ruu 3ACu ruu

b) On cherche a et b tels que pour tout k ≠ – 1, 1 + 2k = a(1 + k) + b(1 – k), c’est-à-dire : 1 + 2k = a + b + (a – b)k, a b

a b

a - b Ì Ó

- ÌÔÔ ÓÔ Ô 1 2

3 21

2

, .

DMu ruu AM ADu ruu u ruu ABu ru ACu ruu -

-

1 2 1

1 1 k k

k k

33 2ABu ru

- Ê

ËÁ ˆ

¯˜ - 1 2

1

3 2

1 1 k

k

AB kAC

u ru u ruu

- -

-

1 2

1 1

1 2 k

k

k k

k

ABu ru ACu ruu k ABu ru A ACu ruu Ê

ËÁ ˆ

¯˜

c) Pour k ≠ – 1, ¢ - f k

( ) k

( )

2 1 ².

k – ∞ – 1 + ∞

f¢(k) – –

f(k) – 1

– ∞ + ∞

– 1 L’ensemble des valeurs prises par f(k) lorsque k décrit

 – {– 1} est  – {– 1}.

d) DMu ruu ur

=f k u( ) où uur u ru u ruu - 1

2AB AC.

L’ensemble des points M lorsque k décrit  – {– 1} est la droite passant par D, de vecteur directeur uur

privée du point M₀ tel que DMu ruuu₀ ur

-u.

105 a) L’affirmation est fausse car d₁ et d₂ peuvent être non coplanaires.

b) Non, on doit résoudre le système

- ¢ - ¢ - ¢

ÌÔ ÓÔ

1 2 3

2 3 2

2 3

t t

c) Non car deux droites peuvent être non coplanaires.

106 a) A, B, C et D sont coplanaires car C est un point de la droite (AB).

b) A, B, C et E sont coplanaires car A, B et C sont alignés.

c) A, C, D et E ne sont pas coplanaires car E n’est pas un point du plan (ACD) = (ABD).

d) La droite (AE) n’est pas contenue dans le plan (BCD) = (ABD).

b) G H HD G H HE G H HGu ruu₁ u ruu u ruu₁ u ru u ruu₁ u ruu ur0

, c’est-à-dire :

HG₁ 1 HD HE HG 3

u ruuu u ruu u ru u ruu ( ).

c) HD HE HGu ruu u ru u ruu HBu ru

donc HG₁ 1HB

3 u ruuu u ru

= . 2. On prouve de la même façon que BG₂ 1BH

3 u ruuu u ru

= . 3. On obtient alors HG₁ G B₂ 1HB

3 u ruuu u ruuu u ru

= = . Et HGu ruuu₁ G Gu ruuuu_{1 2} G Bu ruuu₂ HBu ru

, 1

3

1

1 2 3

HB G Gu ru u ruuuu HBu ru HBu ru

donc G G_{1 2} 1HB 3 u ruuuu u ru

= .

102 a) BPu ru BAu ru

= 2

3 donc P 2 3; ;0 0 Ê

ËÁ ˆ

¯˜. 4GB BA BC BDu ruu u ru u ru u ruu ur0

, c’est-à-dire :

BGu ru BA BC BDu ru u ru u ruu

1

4( ) donc G 1

4 1 4

1

; ; 4 Ê ËÁ

ˆ

¯˜. b) Une représentation paramétrique de la droite (PG)

est x y

- ÌÔÔ ÓÔ Ô

2

3 5

3 3

t t

z t

, t ∈  car 12PGu ru

(– 5 ; 3 ; 3) est un vecteur directeur de cette droite.

(BCD) est formé des points M (x ; y ; z) tel que x = 0.

Le point d’intersection de (PG) et (BCD) a donc pour coordonnées 0 2

5 2

; ; 5 Ê

ËÁ ˆ

¯˜.

103 1. Soit O le milieu de [IJ], Ou ruI Ou ruJ ur 0 donc : OA OB OC OD

u ruu u ruu u ruu u ruu ur

0 ,

d’où OK OLu ruu u ruu ur

0 et OM ONu ruu u ruu ur 0.

O est donc aussi le milieu de [KL] et [MN].

2. Dans la question précédente : OA OB OC OD u ruu u ruu u ruu u ruu ur

0 .

3. 4OA AB AC ADu ruu u ru u ruu u ruu ur0

donc :

AO (AB AC AD

u ruu u ru u ruu u ruu

1

4 ) et O 1

4 1 4

1

; ;4 Ê

ËÁ ˆ

¯˜. 4. a) I 1

2; ;0 0 Ê

ËÁ ˆ

¯˜ donc Ou ruI 1 4

1 4

1

;- ;- 4 Ê

ËÁ ˆ

¯˜ et Ou ruI ABu ru ACu ruu ADu ruu

1 - - 4

1 4

1 4 . K 1

2 1 2 0

; ; Ê

ËÁ ˆ

¯˜ donc OKu ruu 1 4

1 4

1

; ;- 4 Ê

ËÁ ˆ

¯˜ et OKu ruu ABu ru ACu ruu ADu ruu

1 -

4 1 4

1 4 . M 1

2 0 1

; ;2 Ê

ËÁ ˆ

¯˜ donc OMu ruu 1 4

1 4

1

;- ; 4 Ê

ËÁ ˆ

¯˜ et OMu ruu ABu ru ACu ruu ADu ruu

1 -

4 1 4

1 4 . b) O OK et OMu ru u rI uu u ruu

, ne sont pas coplanaires donc ( ;O O OK OMu ru u rI, uu u r, uu)

est un repère de l’espace.

(12)

111 1. a) uur

1 (1 ; 3 ; 0) est un vecteur directeur de d₁, uur

2 (2 ; 1 ; - 1) est un vecteur directeur de d₂. b) uur

1 et uur

2 ne sont pas colinéaires donc d₁ et d₂ ne sont pas parallèles.

Le système

3 0 5 2

9 3 4

2 4

- ÌÔ ÓÔ

a b

b ,

équivaut à

3 4 5

9 3 6

2

ÌÔ ÓÔ

a a b

, , il n’y a pas de solution.

d₁ et d₂ ne sont pas sécantes donc elles ne sont pas coplanaires.

2. a) A₁ (3 ; 9 ; 2) est un point de d₁, uur

1 (1 ; 3 ; 0) et A Su ruu₁

(0 ; – 5 ; – 1,9) sont deux vecteurs directeurs de ₁. Le système x

x y

y - - -

ÌÔ ÓÔ

2

3 5 1

1 9, 1

n’a pas de solution, uur

1, A Su ruu₁ et uur

2 ne sont pas coplanaires, d₂ est donc sécante à ₁. b) A₂ (0,5 ; 4 ; 4) est un point de d₂, uur

2 (2 ; 1 ; – 1) et A Su ruu₂

(2,5 ; 0 ; – 3,9) sont deux vecteurs directeurs de ₂. Le système

2 2 5 1

3

3 9 0

x y

x x y

- -

ÌÔ ÓÔ

, ,

n’a pas de solution, uur

2, A Su ruu₂ et uur

1 ne sont pas coplanaires, d₁ est donc sécante à ₂. c) On note M₁ le point d’intersection de d₂ et ₁, M₂ le point d’intersection de d₁ et ₂.

Les points S, M₁ et M₂ sont communs à ₁ et ₂.

₁ et ₂ ne sont pas confondus car d₁ et d₂ ne sont pas coplanaires, donc ₁ et ₂ sont sécants suivant une droite r qui passe par S, M₁ et M₂.

L’affirmation du technicien est donc vraie.

112 1. a) On vérifie que A, B et C appartiennent à l’en- semble .

b) ABu ru

(– 3 ; – 6 ; 0) et ACu ruu

(– 3 ; 0 ; 2) ne sont pas colinéaires, donc A, B, C définissent un plan.

2. a) Le système

- - ¢ - -

¢ ÌÔ ÓÔ

3 3 3

6 2

t t t

t z

y x équivaut à t

t z

-

¢ ÌÔÔ ÓÔ Ô

y 6 car 2x – y + 3z – 6 = 0. 2

b) L’ensemble  est contenu dans le plan .

3. M (x ; y ; z) est un point du plan , il existe deux nombres réels t et t¢ tels que AMu ruu ABu ru ACu ruu

t ¢t . Alors x

y - - ¢ -

¢ ÌÔ ÓÔ

3 3 3

6 2

t t t

z t

donc 2x – y + 3z – 6 = 2(3 – 3t – 3t¢) + 6t + 6t¢ – 6 = 0.

Donc  est contenu dans l’ensemble .

4. Finalement,  = .

113 1. a) Mu ruI Mu ruJ ME MAu ruu u ruu MB MGu ruu u ruu

1

2

1

( ) 2( )

1 2

1

(ME MG) 2(MA MB) MK ML

u ruu u ruu u ruu u ruu u ruu uu ruu

. e) La droite (BE) est contenue dans le plan (ACE) car B

est un point de la droite (AC).

107 Le système :

1 5 2

2 5 1

¢

¢ - - - - ¢

ÌÔ ÓÔ

l l l l

l l

a pour unique solution ( ;l l¢ -) Ê ; ËÁ ˆ

¯˜

1 5 0 . d₁ et d₂ sont sécantes en K (0 ; 1 ; – 1).

108 a) L’affirmation est vraie : wuru

est un vecteur de  et ,  et  sont parallèles et passent par A, ils sont donc confondus.

b) L’affirmation est vraie car wuru

est un vecteur de .

c) L’affirmation est vraie :  et  ne sont pas parallèles car u v wur ur uru

, , ne sont pas coplanaires, ces deux plans sont donc sécants.

d) L’affirmation est vraie : wuru

est un vecteur de  donc la droite d et le plan  sont parallèles.

109 a) Faux, car les quatre points peuvent être copla- naires.

b) Vrai, car les droites (AB) = (AM) et (AC) = (AN) sont co- planaires, donc les points A, B, C, M et N sont coplanaires.

c) Vrai, car on peut écrire ADu ruu AB ACu ru u ruu - - .

10. Exercices

d’approfondissement

110 1. a) O O N O P O H HN

1 1 1

1

1 21 2

u ruuI u ruuu u ruu u ruuu u ruu

( )

( O A AP₁ HF AC

2

u ruuu u ru u ru u ruu

) k( )

b) O₁ 1 O N O P₂ ₂ O F FN₂ 2

1 I 2

u ruu u ruuu u ruuu u ruuu u ru

( ) (

-

O C CP HF AC

2

1 2

u ruuu u ru u ru u ruu

)

( )

k

c) (k-1)Ou ruu₁IkOu ruu₂I

donc O Ou ruu u r₁I uu₂I

, sont colinéaires, I, O₁ et O₂ sont alignés.

2. a) O₁ 0 1 2

1

; ;2 Ê

ËÁ ˆ

¯˜ et O₂ 1 1 2

1

; ;2 Ê

ËÁ ˆ

¯˜. b) On note (x ; y ; z) les coordonnées de N.

HNu ruu

( ;x y-1;z-1) et HFu ru

(1 ; – 1 ; 0) donc x = k, y = 1 – k, z = 1.

On note (x¢ ; y¢ ; z¢) les coordonnées de P, APu ru

(x¢ ; y¢ ; z¢) et ACu ruu

(1 ; 1 ; 0) donc x¢ = k, y¢ = k, z¢ = 0.

Enfin, I k;1; 2

1 2 Ê

ËÁ ˆ

¯˜. c) Ou ruu₁I 0 0

( ; ; )k et Ou ruu₂I 1 0 0 (k- ; ; ). d) (k-1)Ou ruu₁IkOu ruu₂I

, O et Ou ruu₁I u ruu₂I

dont colinéaires donc I, O₁, O₂ sont alignés.

(13)

116 b) 1

3ABu ru 2 1 0 (- ; ; ), 1

3ACu ruu 2 0 1 (- ; ; ). Une représentation paramétrique de (ABC) est :

xy - - ¢ ¢

ÌÔ ÓÔ

6 2t 2t t

z t

où t ∈ , t¢∈ .

DEu ru

(-4 5 0 , ; ; ) 1

2DFu ru 2 0 3 (- ; ; ).

Une représentation paramétrique de (DEF) est : xy - - ¢

¢ ÌÔ ÓÔ

4 4 2

5 3

k k

k

z k

où k ∈ , k¢ ∈ .

Le système

6 2 2 4 4 2

5 3

- - ¢ - - ¢

¢ ¢ ÌÔ ÓÔ

t t k k

t k

équivaut à

3 5 3 2 2

5 3

- - ¢ - - ¢

¢ ¢ ÌÔ ÓÔ

k k k k

t k

, c’est-à-dire

¢ -

Ì ÔÔ

Ó ÔÔ

k k

t k

3 2

1 5 2

9 2

3 2 .

Une représentation paramétrique de la droite d est : xy -

- ÌÔÔ ÓÔ Ô

3 5 3 2

9 2 k k

z k

où k ∈ .

117 Dans le repère ( ;A AB AC ADu ru u r, uu u r, uu) : E 1

4 ; ;0 0 Ê

ËÁ ˆ

¯˜, F 0 1 4 0

; ; Ê

ËÁ ˆ

¯˜ et G 0 0 1

; ; 4 Ê

ËÁ ˆ

¯˜. Donc I 0 1

8 1

; ; 8 Ê

ËÁ ˆ

¯˜, J 1 8 0 1

; ;8 Ê

ËÁ ˆ

¯˜ et K 1 8

1 8 0

; ; Ê

ËÁ ˆ

¯˜. Une représentation paramétrique de : ( )BI

x y

- Ì ÔÔ

Ó ÔÔ

1 1 81 8

t t

z t

, t ∈ 

( )CJ x y

- Ì ÔÔ

Ó ÔÔ

1 18

1 8 t

t

z t

, t ∈ 

(DK) x y

- Ì ÔÔ

Ó ÔÔ

1 81 18

t t

z t

, t ∈  Or Mu ruI Mu ruJ ur

0 donc MK MLu ruu u ruu ur

0, M est aussi milieu de [KL].

b) Les droites (IJ) et (KL) sont sécantes donc coplanaires.

Donc, I, J, K et L sont coplanaires.

2. a ) I 0 0 1

; ;2 Ê ËÁ

ˆ

¯˜, J 1 1 2

1

; ;2 Ê ËÁ

ˆ

¯˜, K 1 2

1 2 1

; ; Ê ËÁ

ˆ

¯˜ et L 1 2 ; ;0 0 Ê ËÁ

ˆ

¯˜. b) IJur

1 1 2 0

; ; Ê ËÁ

ˆ

¯˜, IuruK 1 2

1 2

1

; ;2 Ê ËÁ

ˆ

¯˜ et IuruL 1

2 0 1

; ;- 2 Ê ËÁ

ˆ

¯˜.

c) Le système

a b

b

- Ì ÔÔÔ

Ó ÔÔ Ô

1 2

1 1 2

2 1

2 0

1 2

a pour unique solution

(a ; b) = (1 ; – 1).

Donc IuruL IJ Iur uruK

- ; IJ Iur uru Iuru

, K et L sont coplanaires, donc I, J, K et L sont coplanaires.

114 1. a) MN MA AB BNu ruu u ruu u ru u ru HA ABu ruu u ru BDu ruu

l l

-

l l l l

l

HE EA AB BA AD

AB

u ru u ru u ru u ru u ruu u ru

(1 ) -- lAEu ru car HE ADu ru u ruu ur

0 . b) MNu ruu

est un vecteur du plan (ABE), donc la droite (MN) est parallèle au plan (ABE).

2. a) AM BN AO OM BO ON

OM

u ruu u ru u ruu u ruu u ruu u ruu u ruu

ONu ruu Ou ru 2 I HM DNu ruu u ruu HOu ruuu O M DOu ruuu u ruuu O Nu ru

¢ ¢ ¢ ¢uuu u ruuu u ruuu u ruu ¢ ¢ O M O N 2O¢I b) AMu ruu AHu ruu

l donc (l-1 AM)u ruu lHMu ruu . BNu ru BDu ruu

l donc (l-1 BN)u ru lDNu ruu . (l-1)AMu ruu (l-1)BNu ru lHMu ruu lDNu ruu

donc (l-1 O)u ruI lOu ruu¢I

. Les vecteurs O et Ou ruI u ruuI

¢ sont colinéaires.

c) O, O¢ et I sont alignés, le point I appartient à la droite (OO¢).

115 1. APu ru AB ACu ru u ruu

, P (1 ; 1 ; 0) AQu ruu AB ADu ru u ruu

, Q (1 ; 0 ; 1) ARu ru AC ADu ruu u ruu

, R (0 ; 1 ; 1)

2. a) Une représentation paramétrique est : (BR) x

y - ÌÔ ÓÔ

1 t t z t

, t ∈ 

(CQ) x y

- ÌÔ ÓÔ

m m

z m

1 , m ∈ 

(DP) x y

- ÌÔ ÓÔ

n n z 1 n

, n ∈ .

b) Ces trois droites sont concourantes en K 1 2

1 2

1

; ;2 Ê

ËÁ ˆ

¯˜.

(14)

b) L’affirmation est vraie. Une représentation paramé- trique de la droite est x

y ÌÔ ÓÔ

3 2 z t

où t ∈ .

c) L’affirmation est vraie.

wuru

(1 ; 1 ; 1) est un vecteur directeur de d et wuru vur uru - donc d est parallèle au plan ( ; , )A u vur ur

.

B (– sin² θ ; 0 ; cos² θ) est un point de la droite d (t = 0), ABu ru

(cos² θ ; 0 ; cos² θ) donc ABu ru ur

cos .²qu, B est un point du plan ( ; , )A u vur ur

.

Finalement, d est contenue dans ce plan.

d) L’affirmation est vraie.

M (x ; y ; z) appartient à P et Q si, et seulement si :

y x

x - ÌÔ ÓÔ

1 z 2

.

Ce système représente la droite de représentation para- métrique

x y

- ÌÔÔ ÓÔ Ô

t t

z t

1

2 où t ∈ .

Les droites (BI), (CJ) et (DK) sont concourantes au point de coordonnées 1

9 1 9

1

; ;9 Ê

ËÁ ˆ

¯˜. 118 a) det ( , , )ur ur uri j k

=1.

b) det ( ,O O OKu ru u rI Ju u r, uu)

- -

1 2 4

5 1 13

2 3 13

1 22 4

5 1 -13 -

= (13 – 60 – 52) – (– 8 + 39 – 130) = 0 O O OKu ru u rI Ju u ruu

, , sont coplanaires, donc O, I, J, K sont coplanaires.

c) det (OA OB OCu ruu u r, uu u r, uu)

-

- -

1 0 1

2 5 3

3 1 1

1 0 1

22 5 3

= (5 – 2 + 0) – (15 + 3 + 0) = – 15 Donc V = 15.

d) det ( , , )v u wur ur uru det ( , ,u v wur ur uru)

- .

119 a) L’affirmation est fausse. En effet, le point B n’appartient pas à l’ensemble des points M.

11 Géométrie vectorielle

11 Chapitre

Géométrie vectorielle

1. Page d’ouverture

• Énigme

• Énigme

2. Vérifier les acquis

4. Pour s’exercer

3. Activités d’approche

• Activité 1

• Activité 2

5. Accompagnement personnalisé

6. Exercices d’application

7. Objectif Bac

8. Travaux pratiques

9. Exercices d’entraînement

10. Exercices

d’approfondissement

• ^Énigme

• ^Énigme

• ^{Activité 1}

• ^{Activité 2}