Chap 8 : Interversion d'une suite ou d'une série et d'une intégrale
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Chap 8 : Interversion d'une suite ou d'une série et d'une intégrale
I. Convergence bornée
[ , ] ( ) ([ , ], ) . [ , ] ([ , ], )
( )
segment de , Si la suite CVS sur vers
est uniformément bornée Alors converge vers
n n
n
pm pm
n n
b b
a n a
a b f a b a b f a b
f
f f
C C
2 2 2
( ),( ) cos( ) sin( ) 0 [
( ) cos( ( )) ( / ) (
( )
) / 2
] 0
0
, 0
Lemme de Cantor : tq CVS vers sur
p.abs , , ,
e de
t
n n n n n n
n n n n n
n
n n
n n
a b u a nx b nx a b
a b u x n x CVB u b
x
a
a b
II. Convergence dominée
1
1 1
( ) ( , ) ( ) ( , )
( ) | |
, ( ) ( ) lim [ , ]
intervalle de , tq : CVS sur vers
, , (Domination uniforme)
Alors, pour tout , et (preuve : CVB sur )
n n
n
n
pm pm
I I
n n
I f I f I f I
L I n f
n f L I f L I f f M M
C C
1
1/ 0
( ) 1
0(1 ) (1/ )
~ (
0 )
, On pose ù o x u
n n
I n u
I t dt t I x u e du
n n
III. Convergence monotone
//HP//
1
( ) ( , ) ,( ( )) ( ) ( , )
( )
intervalle de , On suppose que : croît vers , où
Alors est bornée. Dans ce cas, converge vers
p
n n n
n n
m
I I n I
I f I x I f x f x f I
f L I f f f
C C
IV. Interversion d’une série et d’une intégrale
1
( ) ( , )
, ( ) | |
Thm de Beppo-Levi : intervalle de , tq converge sur de somme CPM
Supposons : converge
Alors est intégrable sur , la série converge et
pm
I
n n n
n I n
I n n
I n
I u I u I U
n u L I u
U I u U u
C
0
0 0 1
| |, min( ,| |) 1( )...
n k n
n N
k k
k N
n k
k
g u h g U CVM U L I U u u
| |
Il faut CV. Sinon, il faut regarder les restes (comme avant)
I un
Pratique : transformer un des termes d'une intégrale en série
/2 2
2 2
0 0
0
1 1
sin 6
!
Utile : intégrales de Wallis : n
x
n n
n n
n
I xdx I n I
n n
x e n
