MATH2007 Math´ematique
1er bloc sciences chimiques, g´eologiques & informatique
2020-2021
Maths g´en´erales : br`eve table des mati`eres
Table des mati`eres (premier quadrimestre) CHAPITRE 1
CHAPITRE 2. Etude des fonctions : d´efinitions de base, limites, continuit´e, d´erivation, primitivation
CHAPITRE 3 CHAPITRE 4 CHAPITRE 5
Chapitre 2. (2.1) D´efinitions de base
Premi`eres d´efinitions
Fonction (d’une variable r´eelle)
Domaine de d´efinition et image d’une fonction
Graphe et graphique (ou repr´esentation graphique) d’une fonction
Quelques exemples . . .
Chapitre 2. (2.1) D´efinitions de base
Op´erations entre fonctions Somme, produit, quotient Fonction de fonction Quelques types de fonctions
Fonction monotone Fonction convexe, concave
Chapitre 1. (2.1) D´efinition de base
Fonction convexe (et concave)
La fonctionf est concave surI lorsque x0,x12I et r 2[0,1]
)f(x0+r(x1 x0)) f(x0) +r(f(x1) f(x0)).
et cela s’exprime par . . .
Chapitre 2. (2.1) D´efinitions de base
Quelques types de fonctions Fonction monotone Fonction convexe, concave Fonction p´eriodique
Fonction paire, fonction impaire
Chapitre 2. (2.1) D´efinitions de base
Fonction inverse d’une fonction injective Introduction
Fonction injective, surjective, bijective Fonction inverse
Graphe et graphique d’une fonction inverse
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires
Une liste ...
Valeur absolue Polynˆomes
Fractions rationnelles Fonctions irrationnelles
Fonctions trigonom´etriques et fonctions trigonom´etriques inverses
Fonction exponentielle et logarithme (y compris
⌧ax, xa, loga(x) )
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires
Polynˆomes D´efinition
Z´eros d’un polynˆome, multiplicit´e Propri´et´e d’annulation
Propri´et´e de factorisation
⌧Division des polynˆomes
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires
Fractions rationnelles D´efinitions
D´ecomposition d’une fraction rationnelle propre en fractions rationnelles simples
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires
Fonctions trigonom´etriques et trigonom´etriques inverses sin, cos, tg, cotg
Fonction arcos(inverse de la fonction cosinus dont le domaine a ´et´e r´eduit)
cos : [0,⇡] ! [ 1,1] bijection (cos) 1 =arcos : [ 1,1] ! [0,⇡]
cos (arcosx) =x, 8x2[ 1,1]
et arcos(cosx) =x, 8x2[0,⇡].
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires
Repr´esentation de cosx, x 2[0,⇡] (en pointill´es) et de arcosx, x2[ 1,1].
-1 1 2 3 X
-1 1 2 3 Y
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires
Fonctions trigonom´etriques et trigonom´etriques inverses sin, cos, tg, cotg
Fonction arcsin (inverse de la fonction sinus dont le domaine a
´et´e r´eduit)
sin : [ ⇡/2,⇡/2] ! [ 1,1] bijection (sin) 1 = arcsin : [ 1,1] ! [ ⇡/2,⇡/2]
sin (arcsinx) =x, 8x 2[ 1,1]
et arcsin (sinx) =x, 8x 2[ ⇡/2,⇡/2].
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires
Repr´esentation de sinx, x 2[ ⇡/2,⇡/2] (en pointill´es) et de arcsinx, x 2[ 1,1].
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 X
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 Y
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires
Fonctions trigonom´etriques et trigonom´etriques inverses sin, cos, tg, cotg
Fonction arctg (inverse de la fonction tangente dont le domaine a ´et´e r´eduit)
tg : ] ⇡/2,⇡/2[! R bijection (tg) 1=arctg : R !] ⇡/2,⇡/2[
tg(arctg x) =x, 8x 2R
et arctg (tgx) =x, 8x 2] ⇡/2,⇡/2[.
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires
Repr´esentation detgx, x 2] ⇡/2,⇡/2[ (en pointill´es) et de arctg x, x 2[ 2⇡,2⇡].
-6 -4 -2 2 4 6 X
-6 -4 -2 2 4 6 Y
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires
Fonctions trigonom´etriques et trigonom´etriques inverses sin, cos, tg, cotg
Fonction arcotg(inverse de la fonction cotangente dont le domaine a ´et´e r´eduit)
cotg : ]0,⇡[! R bijection (cotg) 1=arcotg : R !]0,⇡[
cotg(arcotgx) =x, 8x2R et arcotg( cotgx) =x, 8x 2]0,⇡[.
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires
Repr´esentation decotg x, x2]0,⇡[ (en pointill´es) et de arcotgx, x2[ 10,10].
-10 -5 5 10 X
-6 -4 -2 2 4 6 Y
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires
Fonction exponentielle
D´efinition de la fonction exponentielle (par les s´eries) Notations et remarques ! ! !
Premi`eres propri´et´es fondamentales
Domaine de d´efinition, image, valeur en 0, monotonie, propri´et´e liant somme et produit, repr´esentation graphique.
D´efinition du nombree
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires Repr´esentation de la fonction exponentielle
-3 -2 -1 1 2 X
1 2 3 4 5 6 7 Y
-3 -2 -1 1 2 3 4 X
10 20 30 40 50 Y
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires
Fonction logarithme n´ep´erien
D´efinition de la fonction logarithme (comme fonction inverse de la fonction exponentielle)
Premi`eres propri´et´es fondamentales
Domaine de d´efinition, image, valeur en 1, monotonie, propri´et´e liant somme et produit, repr´esentation graphique.
Les preuves des propri´et´es s’obtiennent `a partir de la d´efinition et des propri´et´es de la fonction exponentielle (voir au Q2).
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires
Fonction logarithme n´ep´erien
D´efinition de la fonction logarithme (comme fonction inverse de la fonction exponentielle)
Premi`eres propri´et´es fondamentales
Domaine de d´efinition, image, valeur en 1, monotonie, propri´et´e liant somme et produit, repr´esentation graphique.
Les preuves des propri´et´es s’obtiennent `a partir de la d´efinition et des propri´et´es de la fonction exponentielle (voir au Q2).
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires
Fonction logarithme n´ep´erien
D´efinition de la fonction logarithme (comme fonction inverse de la fonction exponentielle)
Premi`eres propri´et´es fondamentales
Domaine de d´efinition, image, valeur en 1, monotonie, propri´et´e liant somme et produit, repr´esentation graphique.
Les preuves des propri´et´es s’obtiennent `a partir de la d´efinition et des propri´et´es de la fonction exponentielle (voir au Q2).
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires
Repr´esentation de la fonction logarithme
2 4 6 8 10X
-4 -2 2 4 Y
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires
Repr´esentation des fonctions logarithme et exponentielle
-4 -2 2 4 6 8 10 X
-4 -2 2 4 6 Y
Chapitre 2. (2.2) Fonctions ´el´ementaires
Fonctionsx 7!ax, x 7!xa, x 7!loga(x)
