Probl ˜ A¨me II. Polyn ˜ A´mes de Bernoulli.

MPSI A - MPSI B 2010-2011 DS commun 2 13 septembre 2017

Le devoir comporte deux probl ˜A¨mes ind ˜Apendants.c

Bien traiter quelques questions rapporte des points, les b ˜Acler toutes n’en rapporte aucun. Il sera tenu compte de la rigueur, du soin et de la r ˜Adaction dans la nota-c tion. Seuls les r ˜Asultats convenablement pr ˜c Asent ˜c As seront consid ˜c Ar ˜c Asc comme des r ˜Asultats.c

Probl ˜ A¨me I. Splines cubiques.

Dans tout ce probl ˜A¨me, on identifie un polyn ˜A´me et sa fonction polyno- miale associ ˜A ce. Pourn∈N, on d ˜A csigne parRn[X] le R-espace vectoriel des polyn ˜A´mes ˜A coefficients r ˜A cels de degr ˜A c plus petit que n. On note F(I) l’ensemble des fonctions d ˜A cfinies sur un intervalleIdeRet ˜A valeurs r ˜A celles.

On rappelle que cet ensemble, muni des op ˜A crations usuelles sur les fonctions, est unR-espace vectoriel.

Pour une fonctionf d ˜A cfinie surRet un intervalleIdeR, on notef_|I la restric- tion def A cet intervalle.˜

L’objet de ce texte est d’introduire lesfonctions splines. Une fonction spline est

une fonction«polynomiale par morceaux» qui v ˜A crifie des conditions suppl ˜A cmentaires de r ˜A cgularit ˜A c.

Soitn∈N^∗ et X= (x₀, x₁,· · ·, x_n) une famille de r ˜A cels telle que : x₀< x₁<· · ·< x_n

Une fonction f d ˜A cfinie dans [x0, xn] est dite polynomiale par morceaux si et seulement si

∀i∈J0, n−1K, ∃Pi∈R3[X] tq∀x∈]xi, xi+1[, f(x) =Pi(x) L’ensemble des fonctions polynomiales par morceaux est not ˜A c MX. On d ˜A cfinit

CX =MX∩ C⁰([x0, xn]), DX=MX∩ C¹([x0, xn]), SX =MX∩ C²([x0, xn]) Les fonctions deSX sont appel ˜A cs dessplines cubiques.

Noter que les polyn ˜A´mes consid ˜A cr ˜A cs sont tous de degr ˜A cau plus trois et que les ensembles de fonctions d ˜A cpendent de la famille X = (x0,· · ·, xn).

Question pr ˜A climinaire

Montrer queMX,CX,DX,SX sont des sous-espaces vectoriels deF([x0, xn]), et pr ˜A cciser les inclusions entre eux.

Partie I. Cas particulier

Dans cette partie, n= 2 avecX = (−1,0,1). On d ˜A cfinit des fonctions dans [−1,1] par :

∀x∈[−1,1], f0(x) = 1, f1(x) =x, f2(x) =x², f3(x) =x³, f4(x) =

( 0 six <0 x³ six≥0 Dans cette partie, on noteS au lieu deSX etMau lieu deMX.

1. Montrer quef0,f1,f2, f3,f4 appartiennent ˜A S.

2. Donner une condition n ˜A ccessaire et suffisante sur les r ˜A celsα₁, β₁, γ₁, δ1, α2, β2, γ2, δ2 pour que la fonction f d ˜A cfinie au dessous appartienne A˜ S.

f :x7→

α1x³+β1x²+γ1x+δ1 six <0 α2x³+β2x²+γ2x+δ2 six>0

3. Montrer que (f0, f1, f2, f3, f4) forme une base deS. En d ˜A cduire la dimen- sion deS.

Partie II. Calcul de dimension par r ˜A ccurrence.

Dans cette partie, on consid ˜A¨rex₀<· · ·< x_n< x_n+1 avec X = (x0,· · ·, xn), X⁰ = (x0,· · · , xn, xn+1) On noteS=SX et S⁰=SX⁰.

On suppose queS est de dimensiondet on consid ˜A¨re une base (f1, . . . , fd) une base deS.

1. L’ensembleS est-il un sous-espace vectoriel deS⁰?

2. Pour chaquei∈J1, dK, on notepi∈R3[X] le polyn ˜A´me tel que

∀x∈]xn−1, x_n[, p_i(x) =f_i(x) On d ˜A cfinit alors fei dans [x0, xn+1]

fei:x7→

(fi(x) six∈[x0, xn[ p_i(x) six∈[x_n, x_n+1] On d ˜A cfinit enfinfd+1 dans [x0, xn+1] par

fd+1:x7→

( 0 six∈[x0, xn[ (x−xn)³ six∈[xn, xn+1]

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1 S1007E

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Montrer quefe1,· · ·,fed, fd+1∈ S⁰. 3. Soitf une fonction quelconque dansS⁰.

a. Montrer qu’il existe (a₁, . . . , a_d)∈R^d tel que

∀x∈[x0, xn], f(x) =

d

X

i=1

aifi(x) b. On note

F =f−

d

X

i=1

aifei

Montrer que sur [xn, xn+1],Fest un polyn ˜A´merde degr ˜A cinf ˜A crieur ou ˜A cgal ˜A 3 v ˜A crifiant r(xn) =r⁰(xn) =r⁰⁰(xn) = 0.

4. Montrer que (fe1,· · · ,fed, fd+1) est une base deS⁰.

5. En d ˜A cduire la dimension de SY pour une famille Y = (y₀,· · ·, y_m) avec y₀<· · ·< y_m.

Partie III. Calcul de dimension par dualit ˜A c.

La familleX = (x₀,· · · , x_n) est fix ˜A ce, on note

M=M_X, C=C_X, D=D_X, S=S_X.

Dans les paragraphes suivants, on d ˜A cfinit des fonctions deMdansR. En fait ces fonctions sont lin ˜A caires, il s’agit donc de formes lin ˜A caires qui appartiennent A˜ L(E,R) =M^∗. La v ˜A crification de cette lin ˜A carit ˜A cn’est pas demand ˜A ce.

Pour touti∈J0, nK, on d ˜A cfinit une fonction ϕi deMdansRpar

∀f ∈ M, ϕi(f) =f(xi)

Pour chaquei∈J0, n−1K, et chaquef ∈ M, il existe un uniqueP_i,f ∈R3[X] tel que

∀x∈]xi, x_i+1[, f(x) =P_i,f(x).

On peut donc d ˜A cfinir des fonctions

δ₀, δ⁰₀, δ⁰⁰₀, δ₁, δ⁰₁, δ⁰⁰₁, · · · δ_n−1, δ⁰_n−1, δ_n−1⁰⁰ deMdansRpar

∀i∈J0, n−1K,∀f ∈ M: δi(f) =Pi,f(xi), δ_i⁰(f) =P_i,f⁰ (xi), δ⁰⁰_i(f) =P_i,f⁰⁰ (xi)

On d ˜A cfinit de m ˜A^ame des fonctions

γ1, γ⁰₁, γ₁⁰⁰, γ2, γ₂⁰, γ_n⁰⁰, · · · γn, γ_n⁰, γ_n⁰⁰

deMdansRpar

∀i∈J1, nK,∀f ∈ M: γi(f) =P_i−1,f(xi), γ⁰_i(f) =P_i−1,f⁰ (xi), γ_i⁰⁰(f) =P_i−1,f⁰⁰ (xi) 1. Dans cette question,Eest unR-espace vectoriel de dimensiondet (α1,· · ·, αd)

est une base deE^∗=L(E,R).

a. Montrer que

∃(a1,· · · , ad)∈E^d tq∀(i, j)∈J1, dK

2, αi(aj) =δi,j=

(0 sii6=j 1 sii=j b. Montrer que (a1,· · ·, ad) est une base de E. Quelles sont les coor-

donn ˜A ces d’un vecteurx∈E dans cette base ?

c. Soit 0≤p≤d, pr ˜A cciser une base de kerα1∩ · · · ∩kerαp.

d. Soit (β1,· · · , βp) une famille libre de formes lin ˜A caires. Montrer que dim (kerβ1∩ · · · ∩kerβp) = dim(E)−p

2. En pr ˜A ccisant l’image d’un

(P0,· · ·, Pn−1, v0,· · ·, vn)∈R3[X]ⁿ×Rⁿ⁺¹,

d ˜A cfinir un isomorphisme deR3[X]ⁿ×Rⁿ⁺¹dansM. En d ˜A cduire dim(M).

3. Montrer que la famille

(ϕ₀−δ₀,· · · , ϕ_n−1−δ_n−1, ϕ₁−γ₁,· · ·, ϕ_n−γ_n) est libre dansM^∗. En d ˜A cduire dim(C).

4. En raisonnant comme dans la question pr ˜A cc ˜A cdente, calculer dim(D) et dim(S).

Attention ˜A bien pr ˜A cciser les espaces vectoriels contenant les familles consid ˜A cr ˜A ces et ˜A justifier qu’elles sont libres.

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Partie IV. Interpolation d’Hermite.

On fixe deux r ˜A celsaet baveca < bet on d ˜A cfinit des polyn ˜A´mes : A₁=X−a, B₁=X−b, A₂= (X−a)²(X−b), B₂= (X−a)(X−b)²

1. Soit (α1, α2, β1, β2)∈R⁴ et

P =α1A1+α2A2+β1B1+β2B2.

ExprimerP(a),P(b),P⁰(a),P⁰(b) en fonction de (α₁, α₂, β₁, β₂).

2. Montrer que (A₁, A₂, B₁, B₂) est une base deR3[X]. En d ˜A cduire que (

R3[X]→R⁴

P 7→(P(a), P⁰(a), P(b), P⁰(b)) est un isomorphisme.

3. Une majoration.

a. En ˜A ctudiant des fonctions, calculer max[a,b]|A2|et max[a,b]|B2|.

b. Montrer que, pour toutP∈R3[X], max

[a,b] |P| ≤ 35

27(|P(a)|+|P(b)|) + 4

27(|P⁰(a)|+|P⁰(b)|) (b−a) 4. Interpolation d’Hermite. Soitf ∈ C⁴([a, b]) etM4= max_[a,b]

f⁽⁴⁾ . a. Montrer qu’il existe un uniqueP ∈R3[X] tel que

P(a) =f(a), P⁰(a) =f⁰(a), P(b) =f(b), P⁰(b) =f⁰(b).

b. Pourxfix ˜A cdans ]a, b[, on d ˜A cfinit une fonctionϕdans [a, b] par :

∀t∈[a, b], ϕ(t) =f(t)−P(t)−K(t−a)²(t−b)² o ˜A¹K∈Rest choisi pour queϕ(x) = 0. Montrer que

∃c∈]a, b[ tq 4!K=f⁽⁴⁾(c) c. Montrer que

max

[a,b] |f−P| ≤ M₄

384(b−a)⁴

Partie V. Contraintes.

Les famillesX = (x0,· · · , xn) avecx0<· · ·< xn etY = (y0,· · ·, yn)∈Rⁿ⁺¹ sont fix ˜A ces. On d ˜A cfinit des ensemblesP0etPY de splines cubiques. Pour tout f ∈ SX,

f ∈ P₀⇔(∀i∈J0, nK, f(x_i) = 0), f ∈ P_Y ⇔(∀i∈J0, nK, f(x_i) =y_i). 1. Montrer queP0 est un sous-espace vectoriel de dimension 2.

2. Montrer quePY est un plan affine deS. Quelle est sa direction ? 3. Soit (v, w)∈R², montrer qu’il existe une unique splinef ∈ P_Y tel que

f⁰(x0) =v, f⁰⁰(x0) =w

4. Soit (vi, vf)∈R², montrer qu’il existe une unique splinef ∈ PY tel que f⁰(x0) =vi, f⁰(xn) =vf

Probl ˜ A¨me II. Polyn ˜ A´mes de Bernoulli.

L’objet de ce probl ˜A¨me est la d ˜A cfinition et une premi ˜A¨re ˜A ctude des polyn ˜A´mes de Bernoulli.

LorsqueP etQsont deux polyn ˜A´mes ˜A coefficients r ˜A cels, on noteraPb(Q) le polyn ˜A´me obtenu en substituant dans l’expression deP chaque occurrence deX parQ. Si u∈ R, le r ˜A cel obtenu en substituant dans l’expression de P chaque occurrence deX parusera not ˜A cPe(u).

On d ˜A cfinit une applicationlin ˜Aairec Ψ deR[X] dansRpar :

∀k∈N, Ψ(X^k) = 1 k+ 1 On d ˜A cfinit une application Φ par :

Φ :

(R[X]→R[X] P →Pb(1−X) 1. Soitnun entier naturel. Montrer que

n

X

k=0

n k

(−1)^k k+ 1 = 1

n+ 1

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2. a. Pr ˜A cciser Ψ(P) pourP =a0+a1X+· · ·+apX^p∈R[X].

b. Montrer que Ψ◦Φ = Ψ.

c. Montrer que Ψ(P⁰) =P(1)e −Pe(0) pour tout polyn ˜A´meP∈R[X].

3. a. Montrer qu’il existe une unique suite de polyn ˜A´mes (ditsde Bernoulli) A coefficients r ˜˜ A cels (B_n)_n∈

Nv ˜A crifiant

(i) B0= 1

(ii) ∀n∈N^∗, B⁰_n=nB_n−1 (iii) ∀n∈N^∗,Ψ(Bn) = 0

La notationB_npour d ˜A csigner un de ces polyn ˜A´mes est valable pour tout le reste du probl ˜A¨me. On utilisera aussi bn = Ben(0) pour tout natureln.

b. ExpliciterB1,B2,B3 etb0, b1,b2,b3.

c. D ˜A cterminer, pour tout entier naturel n, le degr ˜A cet le coefficient dominant deBn.

4. a. Montrer queBfn(1) =Bfn(0) pour tout naturelnautre que 1.

b. Montrer que Φ(Bn) = (−1)ⁿBn pour tout entier natureln.

c. Montrer quebn= 0 pour tous lesnimpairs autres que 1.

5. a. Montrer que, pour tout natureln, Bn=

n

X

k=0

n k

b_n−kX^k

b. Montrer que, pour tout naturelpsup ˜A crieur ou ˜A cgal ˜A 2,

b2p=− 1 (p+ 1)(2p+ 1)

2p−2

X

k=0

2p+ 2 k

bk

c. Calculerb4.

6. Montrer que, pour tous les naturelsn, Bn= 2ⁿ⁻¹

Bcn(X

2 ) +Bcn(X+ 1 2 )

7. Soitpun naturel non nul.

a. Montrer que B2p admet exactement deux racines dans [0,1]. Montrer queB2p+1 admet exactement trois racines ( ˜A pr ˜A cciser) dans [0,1].

b. Montrer que sup_[0,1]|gB2p|=|b2p|.

c. Montrer que sup_[0,1]|B^_2p+1| ≤ ^2p+1₂ |b_2p|.

8. a. Montrer que :

∀n∈N^∗: Bc_n(X+ 1)−B_n =nXⁿ⁻¹ b. Soitpun naturel non nul. ExprimerPn

k=0k^p A l’aide de polyn ˜˜ A´mes de Bernoulli.

c. En d ˜A cduire une expression dePn

k=0k⁴ en fonction den.

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