MPSI A - MPSI B 2010-2011 DS commun 2 13 septembre 2017
Le devoir comporte deux probl ˜A¨mes ind ˜Apendants.c
Bien traiter quelques questions rapporte des points, les b ˜Acler toutes n’en rapporte aucun. Il sera tenu compte de la rigueur, du soin et de la r ˜Adaction dans la nota-c tion. Seuls les r ˜Asultats convenablement pr ˜c Asent ˜c As seront consid ˜c Ar ˜c Asc comme des r ˜Asultats.c
Probl ˜ A¨me I. Splines cubiques.
Dans tout ce probl ˜A¨me, on identifie un polyn ˜A´me et sa fonction polyno- miale associ ˜A ce. Pourn∈N, on d ˜A csigne parRn[X] le R-espace vectoriel des polyn ˜A´mes ˜A coefficients r ˜A cels de degr ˜A c plus petit que n. On note F(I) l’ensemble des fonctions d ˜A cfinies sur un intervalleIdeRet ˜A valeurs r ˜A celles.
On rappelle que cet ensemble, muni des op ˜A crations usuelles sur les fonctions, est unR-espace vectoriel.
Pour une fonctionf d ˜A cfinie surRet un intervalleIdeR, on notef|I la restric- tion def A cet intervalle.˜
L’objet de ce texte est d’introduire lesfonctions splines. Une fonction spline est
une fonction«polynomiale par morceaux» qui v ˜A crifie des conditions suppl ˜A cmentaires de r ˜A cgularit ˜A c.
Soitn∈N∗ et X= (x0, x1,· · ·, xn) une famille de r ˜A cels telle que : x0< x1<· · ·< xn
Une fonction f d ˜A cfinie dans [x0, xn] est dite polynomiale par morceaux si et seulement si
∀i∈J0, n−1K, ∃Pi∈R3[X] tq∀x∈]xi, xi+1[, f(x) =Pi(x) L’ensemble des fonctions polynomiales par morceaux est not ˜A c MX. On d ˜A cfinit
CX =MX∩ C0([x0, xn]), DX=MX∩ C1([x0, xn]), SX =MX∩ C2([x0, xn]) Les fonctions deSX sont appel ˜A cs dessplines cubiques.
Noter que les polyn ˜A´mes consid ˜A cr ˜A cs sont tous de degr ˜A cau plus trois et que les ensembles de fonctions d ˜A cpendent de la famille X = (x0,· · ·, xn).
Question pr ˜A climinaire
Montrer queMX,CX,DX,SX sont des sous-espaces vectoriels deF([x0, xn]), et pr ˜A cciser les inclusions entre eux.
Partie I. Cas particulier
Dans cette partie, n= 2 avecX = (−1,0,1). On d ˜A cfinit des fonctions dans [−1,1] par :
∀x∈[−1,1], f0(x) = 1, f1(x) =x, f2(x) =x2, f3(x) =x3, f4(x) =
( 0 six <0 x3 six≥0 Dans cette partie, on noteS au lieu deSX etMau lieu deMX.
1. Montrer quef0,f1,f2, f3,f4 appartiennent ˜A S.
2. Donner une condition n ˜A ccessaire et suffisante sur les r ˜A celsα1, β1, γ1, δ1, α2, β2, γ2, δ2 pour que la fonction f d ˜A cfinie au dessous appartienne A˜ S.
f :x7→
α1x3+β1x2+γ1x+δ1 six <0 α2x3+β2x2+γ2x+δ2 six>0
3. Montrer que (f0, f1, f2, f3, f4) forme une base deS. En d ˜A cduire la dimen- sion deS.
Partie II. Calcul de dimension par r ˜A ccurrence.
Dans cette partie, on consid ˜A¨rex0<· · ·< xn< xn+1 avec X = (x0,· · ·, xn), X0 = (x0,· · · , xn, xn+1) On noteS=SX et S0=SX0.
On suppose queS est de dimensiondet on consid ˜A¨re une base (f1, . . . , fd) une base deS.
1. L’ensembleS est-il un sous-espace vectoriel deS0?
2. Pour chaquei∈J1, dK, on notepi∈R3[X] le polyn ˜A´me tel que
∀x∈]xn−1, xn[, pi(x) =fi(x) On d ˜A cfinit alors fei dans [x0, xn+1]
fei:x7→
(fi(x) six∈[x0, xn[ pi(x) six∈[xn, xn+1] On d ˜A cfinit enfinfd+1 dans [x0, xn+1] par
fd+1:x7→
( 0 six∈[x0, xn[ (x−xn)3 six∈[xn, xn+1]
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
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1 S1007E
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Montrer quefe1,· · ·,fed, fd+1∈ S0. 3. Soitf une fonction quelconque dansS0.
a. Montrer qu’il existe (a1, . . . , ad)∈Rd tel que
∀x∈[x0, xn], f(x) =
d
X
i=1
aifi(x) b. On note
F =f−
d
X
i=1
aifei
Montrer que sur [xn, xn+1],Fest un polyn ˜A´merde degr ˜A cinf ˜A crieur ou ˜A cgal ˜A 3 v ˜A crifiant r(xn) =r0(xn) =r00(xn) = 0.
4. Montrer que (fe1,· · · ,fed, fd+1) est une base deS0.
5. En d ˜A cduire la dimension de SY pour une famille Y = (y0,· · ·, ym) avec y0<· · ·< ym.
Partie III. Calcul de dimension par dualit ˜A c.
La familleX = (x0,· · · , xn) est fix ˜A ce, on note
M=MX, C=CX, D=DX, S=SX.
Dans les paragraphes suivants, on d ˜A cfinit des fonctions deMdansR. En fait ces fonctions sont lin ˜A caires, il s’agit donc de formes lin ˜A caires qui appartiennent A˜ L(E,R) =M∗. La v ˜A crification de cette lin ˜A carit ˜A cn’est pas demand ˜A ce.
Pour touti∈J0, nK, on d ˜A cfinit une fonction ϕi deMdansRpar
∀f ∈ M, ϕi(f) =f(xi)
Pour chaquei∈J0, n−1K, et chaquef ∈ M, il existe un uniquePi,f ∈R3[X] tel que
∀x∈]xi, xi+1[, f(x) =Pi,f(x).
On peut donc d ˜A cfinir des fonctions
δ0, δ00, δ000, δ1, δ01, δ001, · · · δn−1, δ0n−1, δn−100 deMdansRpar
∀i∈J0, n−1K,∀f ∈ M: δi(f) =Pi,f(xi), δi0(f) =Pi,f0 (xi), δ00i(f) =Pi,f00 (xi)
On d ˜A cfinit de m ˜Aame des fonctions
γ1, γ01, γ100, γ2, γ20, γn00, · · · γn, γn0, γn00
deMdansRpar
∀i∈J1, nK,∀f ∈ M: γi(f) =Pi−1,f(xi), γ0i(f) =Pi−1,f0 (xi), γi00(f) =Pi−1,f00 (xi) 1. Dans cette question,Eest unR-espace vectoriel de dimensiondet (α1,· · ·, αd)
est une base deE∗=L(E,R).
a. Montrer que
∃(a1,· · · , ad)∈Ed tq∀(i, j)∈J1, dK
2, αi(aj) =δi,j=
(0 sii6=j 1 sii=j b. Montrer que (a1,· · ·, ad) est une base de E. Quelles sont les coor-
donn ˜A ces d’un vecteurx∈E dans cette base ?
c. Soit 0≤p≤d, pr ˜A cciser une base de kerα1∩ · · · ∩kerαp.
d. Soit (β1,· · · , βp) une famille libre de formes lin ˜A caires. Montrer que dim (kerβ1∩ · · · ∩kerβp) = dim(E)−p
2. En pr ˜A ccisant l’image d’un
(P0,· · ·, Pn−1, v0,· · ·, vn)∈R3[X]n×Rn+1,
d ˜A cfinir un isomorphisme deR3[X]n×Rn+1dansM. En d ˜A cduire dim(M).
3. Montrer que la famille
(ϕ0−δ0,· · · , ϕn−1−δn−1, ϕ1−γ1,· · ·, ϕn−γn) est libre dansM∗. En d ˜A cduire dim(C).
4. En raisonnant comme dans la question pr ˜A cc ˜A cdente, calculer dim(D) et dim(S).
Attention ˜A bien pr ˜A cciser les espaces vectoriels contenant les familles consid ˜A cr ˜A ces et ˜A justifier qu’elles sont libres.
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Partie IV. Interpolation d’Hermite.
On fixe deux r ˜A celsaet baveca < bet on d ˜A cfinit des polyn ˜A´mes : A1=X−a, B1=X−b, A2= (X−a)2(X−b), B2= (X−a)(X−b)2
1. Soit (α1, α2, β1, β2)∈R4 et
P =α1A1+α2A2+β1B1+β2B2.
ExprimerP(a),P(b),P0(a),P0(b) en fonction de (α1, α2, β1, β2).
2. Montrer que (A1, A2, B1, B2) est une base deR3[X]. En d ˜A cduire que (
R3[X]→R4
P 7→(P(a), P0(a), P(b), P0(b)) est un isomorphisme.
3. Une majoration.
a. En ˜A ctudiant des fonctions, calculer max[a,b]|A2|et max[a,b]|B2|.
b. Montrer que, pour toutP∈R3[X], max
[a,b] |P| ≤ 35
27(|P(a)|+|P(b)|) + 4
27(|P0(a)|+|P0(b)|) (b−a) 4. Interpolation d’Hermite. Soitf ∈ C4([a, b]) etM4= max[a,b]
f(4) . a. Montrer qu’il existe un uniqueP ∈R3[X] tel que
P(a) =f(a), P0(a) =f0(a), P(b) =f(b), P0(b) =f0(b).
b. Pourxfix ˜A cdans ]a, b[, on d ˜A cfinit une fonctionϕdans [a, b] par :
∀t∈[a, b], ϕ(t) =f(t)−P(t)−K(t−a)2(t−b)2 o ˜A1K∈Rest choisi pour queϕ(x) = 0. Montrer que
∃c∈]a, b[ tq 4!K=f(4)(c) c. Montrer que
max
[a,b] |f−P| ≤ M4
384(b−a)4
Partie V. Contraintes.
Les famillesX = (x0,· · · , xn) avecx0<· · ·< xn etY = (y0,· · ·, yn)∈Rn+1 sont fix ˜A ces. On d ˜A cfinit des ensemblesP0etPY de splines cubiques. Pour tout f ∈ SX,
f ∈ P0⇔(∀i∈J0, nK, f(xi) = 0), f ∈ PY ⇔(∀i∈J0, nK, f(xi) =yi). 1. Montrer queP0 est un sous-espace vectoriel de dimension 2.
2. Montrer quePY est un plan affine deS. Quelle est sa direction ? 3. Soit (v, w)∈R2, montrer qu’il existe une unique splinef ∈ PY tel que
f0(x0) =v, f00(x0) =w
4. Soit (vi, vf)∈R2, montrer qu’il existe une unique splinef ∈ PY tel que f0(x0) =vi, f0(xn) =vf
Probl ˜ A¨me II. Polyn ˜ A´mes de Bernoulli.
L’objet de ce probl ˜A¨me est la d ˜A cfinition et une premi ˜A¨re ˜A ctude des polyn ˜A´mes de Bernoulli.
LorsqueP etQsont deux polyn ˜A´mes ˜A coefficients r ˜A cels, on noteraPb(Q) le polyn ˜A´me obtenu en substituant dans l’expression deP chaque occurrence deX parQ. Si u∈ R, le r ˜A cel obtenu en substituant dans l’expression de P chaque occurrence deX parusera not ˜A cPe(u).
On d ˜A cfinit une applicationlin ˜Aairec Ψ deR[X] dansRpar :
∀k∈N, Ψ(Xk) = 1 k+ 1 On d ˜A cfinit une application Φ par :
Φ :
(R[X]→R[X] P →Pb(1−X) 1. Soitnun entier naturel. Montrer que
n
X
k=0
n k
(−1)k k+ 1 = 1
n+ 1
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2. a. Pr ˜A cciser Ψ(P) pourP =a0+a1X+· · ·+apXp∈R[X].
b. Montrer que Ψ◦Φ = Ψ.
c. Montrer que Ψ(P0) =P(1)e −Pe(0) pour tout polyn ˜A´meP∈R[X].
3. a. Montrer qu’il existe une unique suite de polyn ˜A´mes (ditsde Bernoulli) A coefficients r ˜˜ A cels (Bn)n∈
Nv ˜A crifiant
(i) B0= 1
(ii) ∀n∈N∗, B0n=nBn−1 (iii) ∀n∈N∗,Ψ(Bn) = 0
La notationBnpour d ˜A csigner un de ces polyn ˜A´mes est valable pour tout le reste du probl ˜A¨me. On utilisera aussi bn = Ben(0) pour tout natureln.
b. ExpliciterB1,B2,B3 etb0, b1,b2,b3.
c. D ˜A cterminer, pour tout entier naturel n, le degr ˜A cet le coefficient dominant deBn.
4. a. Montrer queBfn(1) =Bfn(0) pour tout naturelnautre que 1.
b. Montrer que Φ(Bn) = (−1)nBn pour tout entier natureln.
c. Montrer quebn= 0 pour tous lesnimpairs autres que 1.
5. a. Montrer que, pour tout natureln, Bn=
n
X
k=0
n k
bn−kXk
b. Montrer que, pour tout naturelpsup ˜A crieur ou ˜A cgal ˜A 2,
b2p=− 1 (p+ 1)(2p+ 1)
2p−2
X
k=0
2p+ 2 k
bk
c. Calculerb4.
6. Montrer que, pour tous les naturelsn, Bn= 2n−1
Bcn(X
2 ) +Bcn(X+ 1 2 )
7. Soitpun naturel non nul.
a. Montrer que B2p admet exactement deux racines dans [0,1]. Montrer queB2p+1 admet exactement trois racines ( ˜A pr ˜A cciser) dans [0,1].
b. Montrer que sup[0,1]|gB2p|=|b2p|.
c. Montrer que sup[0,1]|B^2p+1| ≤ 2p+12 |b2p|.
8. a. Montrer que :
∀n∈N∗: Bcn(X+ 1)−Bn =nXn−1 b. Soitpun naturel non nul. ExprimerPn
k=0kp A l’aide de polyn ˜˜ A´mes de Bernoulli.
c. En d ˜A cduire une expression dePn
k=0k4 en fonction den.
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