Problème 1 : Série de fonctions

DS n ^◦ 5: mercredi 19 décembre 2018 (durée 4 heures) Toute calculatrice interdite

Sujet PLUS DUR

Rappel : Bien traiter quelques questions rapporte des points, les bâcler toutes n'en rapporte aucun.

Problème 1 : Série de fonctions

Dans tout le problème,αest un réel xé.

1. Déterminer selon les valeurs deαla nature de la série de terme généralun = n^α 1 +n². 2. Pourn∈N^∗, on dénit la fonctionfn:R−→Rx7→fn(x) = n^αx

1 +n²x². (a) Montrer que∀x∈R^∗+, x

1 +x²n^α−2≤f_n(x)≤ 1 xn^α−2. (b) Etudier les variations def_n

Lorsque la série de terme généralf_n(x)converge, on poseΦ_α(x) =

+∞

X

n=1

f_n(x). (c) Préciser, selon la valeur deα, l'ensembleDα de dénition deΦα.

(d) Soitα <1, à l'aide d'un encadrement, déterminer la valeur de lim

x→+∞Φα(x). Désormais, dans toute la suite du problème, et dorénavant, on supposeα <1. 3. On suppose dans cette questionα <0.

(a) Étudier la continuité deΦ_α (b) Montrer que Z 1

0

Φ_α(t)dt=

+∞

X

n=1

1

2n^α−2ln(1 +n²). 4. On suppose dans cette question0≤α <1.

(a) Étudier la continuité deΦαsurR^∗. (b) Montrer que ∀N ∈N^∗, Φ_α(1

N)> N.

N

X

n=1

n^α N²+n². (c) Étudier la continuité deΦαen 0.

(d) La série de fonctions de terme généralf_n(x)converge-t-elle uniformément surR+ ? 5. Montrer queΦ_αest dérivable surR^∗ et décroissante sur[1,+∞[.

SoitBl'espace vectoriel réel des fonctions bornées deRdansR, normé par kfk_∞= sup

x∈R

|f(x)|. 6. (a) Montrer que∀n∈N^∗, fn∈ B.

Calculerkfnk_∞.

(b) Déterminer l'ensemble ∆ des valeurs de α pour lesquelles la série de terme général fn est absolument convergente dans l'espaceB.

(c) Déterminer l'ensemble∆⁰ des valeurs deαpour lesquelles la série de terme généralfn est convergente dans l'espaceB.

7. Pour chaqueα∈∆, on considère la somme de la sérieΦα=

+∞

X

n=1

fn, ce qui dénit une fonction Φde∆dans B par∀α∈∆, Φ(α) = Φα.

Montrer que l'applicationΦest continue sur∆(on prouvera que∀λ >0,Φest lipschitzienne surIλ=]−∞,−λ]).

Problème 2 : Une norme

On note B l'espace vectoriel des suites (x_n)_n∈N bornées de nombres réels. On munit B de la norme sup dénie par

||x||=Sup

n∈N

|xn| (Attention, il ne s'agit pas du même espaceB que dans le problème 1)

1. Soitx∈ B. Montrer que pour tout réel t∈[0,1] la série de terme généralun,x(t) =xntⁿ(1−t) converge. On notegx(t)sa somme :

gx(t) =

+∞

X

n=0

xntⁿ(1−t)

2. (a) Montrer que, pourx∈ B, la fonction g_xest bornée sur[0,1]

(b) Pourx∈ B, montrer que pourp∈N xé,

+∞

X

n=p+1

x_ntⁿ est négligeable devantt^p quandt tend vers 0.

En déduire un développement limité au voisinage de 0, à l'ordrep, de gx(t) 1−t. 3. (a) Pourx∈ B, on noteν(x) = Sup

t∈[0,1]

|gx(t)|. Montrer queν est une norme surB. (b) Calculer ν(x)lorsque :

i. ∀n∈N, xn= cos2nπ

ii. avecp∈N,x_p= 1 et3 ∀n∈N, n6=p, x_n = 0. 4. Les normesν et||.|| sont-elles équivalentes ?

5. Soitx∈ B, on lui associe la suitey=f(x)dénie par : ∀n∈N, yn= 1 2ⁿ

n

X

k=0

n k

xk. (a) Vérifer quey∈ B.

(b) Montrer que f est injective et linéaire.

(c) Etudier la continuité def pour la norme||.||. (d) On admet que pourx∈ B,∀t∈[0,1], gy(t) =gx

t 2−t

. Comparerν(y)et ν(x).

(e) Justier quef est une bijection de Bsurf(B)et que sa réciproque est continue pour la normeν. (f) Sixest la suite dénie au 3.b.ii., calculery=f(x)et montrer que||y||= (2p)!

2^2p(p!)². Étudier le comportement de||y||quandptend vers+∞et en déduire que f⁻¹n'est pas continue def(B)surB pour||.||.

(g) Sixest la suite(rⁿ)n∈N avecr∈R, calculery=f(x). En déduire quef(B)(B