Applications bilinéaires symétriques plates

Applications bilinéaires symétriques plates

Dans tout le problème,nest un entier supérieur ou égal à 2 etp est un entier supérieur ou égal à 1. Les espaces vectorielsRⁿ et R^p sont munis de leur produit scalaire canonique, noté h· | ·i; en particulier pourp= 1, c’est le produit usuel dans R.

On rappelle qu’une applicationϕde Rⁿ×Rⁿ dansR^p estbilinéaire lorsque, pour tousx,y dans Rⁿ, les deux applications partielles z 7→ ϕ(z, y) et z 7→ ϕ(x, z) de Rⁿ dans R^p sont linéaires.

L’application bilinéaire ϕ est dite symétrique si ϕ(x, y) = ϕ(y, x) pour tous x, y dans Rⁿ. En particulier, lorsquep= 1, on dit queϕest une forme bilinéaire symétrique.

Soitϕune application bilinéaire symétrique. On appellenoyau de ϕet on note Ker(ϕ) l’ensemble des vecteurs x ∈ Rⁿ tels que pour tout y ∈Rⁿ, ϕ(x, y) = 0. On dit que ϕ est diagonalisable s’il existe une base (ei)_1≤i≤n de Rⁿ telle que, pour tous i6= j,ϕ(ei, ej) = 0. Enfin, on dit que ϕ est plate(relativement au produit scalaire deR^p) si, pour tous les vecteursx,y,z,w de Rⁿ, on a :

hϕ(x, y)|ϕ(z, w)i=hϕ(x, w)|ϕ(z, y)i.

Le but du problème est d’établir, sous certaines conditions, qu’une application bilinéaire symétrique plate est diagonalisable.

Les partie A, B et C sont indépendantes les unes des autres.

A - Formes bilinéaires symétriques plates

Dans toute cette partie, on posep= 1. Soitϕ:Rⁿ×Rⁿ→R une forme bilinéaire symétrique.

1) Justifier qu’il existe un unique endomorphisme ude Rⁿ tel que, pour tousx,y dansRⁿ, ϕ(x, y) =hu(x)|yi.

Vérifier que u est symétrique et en déduire queϕ est diagonalisable.

On noteR^n∗l’espace dual deRⁿconstitué des formes linéaires surRⁿ. Siaetbsont dansR^n∗, on définit l’applicationa⊗b deRⁿ×Rⁿà valeurs dansR en posant (a⊗b)(x, y) =a(x)b(y) pour tous x,y dansRⁿ.

2) Montrer que, pour tousa,b∈R^n∗,a⊗best une forme bilinéaire surRⁿ. Donner une condition suffisante pour qu’elle soit symétrique.

On rappelle que le rang d’une forme bilinéaire ϕ : Rⁿ×Rⁿ → R est égal au rang de la matrice (ϕ(e_i, e_j))_1≤i,j≤n où (e_i)_1≤i≤n est une base quelconque deRⁿ.

3) On suppose dans cette question queϕest de rang 1. Montrer qu’il existe une forme linéairef de R^n∗ telle que ϕ=±f ⊗f. On pourra considérer la base duale d’une base qui diagonalise ϕ.

4) En déduire qu’une forme bilinéaire symétrique de rang 1 est plate.

5) Réciproquement, soitϕune forme bilinéaire symétrique plate non nulle. Quel est le rang de ϕ?

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B - Diagonalisation simultanée

Soit (ui)_i∈I une famille quelconque d’endomorphismes autoadjoints d’un espace euclidien E de dimension n, qui commutent deux à deux : u_i◦u_j =u_j ◦u_i pour tous i,j dans I.

On se propose de montrer par récurrence sur n qu’il existe une base orthonormée de E qui diagonalise tous ces endomorphismes. Le résultat est évident pour n = 1, on suppose que n >1 et que le résultat est vrai pour toute dimension strictement inférieure àn.

6) Soiti0 ∈I. Montrer que, siui0 n’est pas une homothétie, les sous-espaces propres deui0 sont de dimension strictement inférieure àn. Montrer par ailleurs que ces sous-espaces sont stables par tous les endomorphismes ui.

7) Conclure.

C - Vecteurs réguliers

Soit ϕ une application bilinéaire symétrique non nulle de Rⁿ×Rⁿ dans R^p. Si x ∈ Rⁿ, on note ˜ϕ(x) l’application linéaire qui à tout y ∈ Rⁿ associe ϕ(x, y) ∈ R^p. On a donc ϕ(x)(y) =˜ ϕ(x, y) pour tous x, y ∈ Rⁿ. Le noyau et l’image de ˜ϕ(x) sont respectivement notés Ker ˜ϕ(x) et Im ˜ϕ(x).

On note q la dimension maximale de Im ˜ϕ(x) lorsque x parcourtRⁿ et on choisit un vecteur v deRⁿtel que la dimension de Im ˜ϕ(v) soit égale àq. Un tel vecteurvest qualifié derégulier pour ϕ.

8) Dans cette question préliminaire, on se donne deux matrices carrées A et B d’ordre n à coefficients réels. Montrer que, si A ou B est inversible, alors A+tB l’est aussi pour tout t∈R sauf éventuellement pour un nombre fini de valeurs det.

9) Soitr un entier naturel non nul et (a₁, a₂, . . . , a_r), (b₁, b₂, . . . , b_r) deux familles de vecteurs de R^p. Montrer que, si (a1, a2, . . . , ar) est libre, alors (a1+tb1, a2+tb2, . . . , ar+tbr) est également libre pour tout réel tsauf pour éventuellement un nombre fini de valeurs det.

En particulier, (a₁+tb₁, a₂+tb₂, . . . , a_r+tb_r) sera libre pour toutt dans un voisinage de 0.

10) Montrer que, pour tout x ∈ Rⁿ et tout y ∈ Ker ˜ϕ(v)), on a ϕ(x, y) ∈ Im ˜ϕ(v). On pourra raisonner par l’absurde en montrant l’existence de vecteurse₁, . . . , eqdeRⁿtels que la famille (ϕ(v, e₁), . . . , ϕ(v, e_q), ϕ(x, y)) soit libre.

11) Dans cette question, on suppose que ϕ est plate. Montrer Ker(ϕ) = Ker ˜ϕ(v). Si, de plus, Kerϕ={0}, en déduirep≥n.

On revient au cas général où ϕest une application bilinéaire symétrique non nulle.

12) Montrer que l’ensembleV des vecteurs réguliers pour ϕest un ouvert de Rⁿ. 13) Montrer queV est dense dans Rⁿ.

D - Le cas p=n de noyau nul

Dans cette partie,ϕdésigne une application bilinéaire symétrique plate deRⁿ×Rⁿ dansRⁿ dont le noyau est réduit à Ker(ϕ) ={0}. On fixe un vecteur régulier v pourϕ.

14) Montrer que ˜ϕ(v) est un automorphisme.

Pour tout x∈Rⁿ, on définit l’endomorphismeψ(x) = ˜ϕ(x)◦ϕ(v)˜ ⁻¹. 2

15) En utilisant la définition d’une application bilinéaire plate, montrer queψ(x) est autoadjoint.

16) Montrer que, pour tousx,y∈Rⁿ,ψ(x)◦ψ(y) =ψ(y)◦ψ(x). En déduire qu’il existe une base orthonormée (e1, e2, . . . , en) de Rⁿ diagonalisant simultanément tous les endomorphismes ψ(x).

17) Construire à l’aide de (e₁, e₂, . . . , e_n) une base qui diagonaliseϕ. On pourra utiliser la symétrie de ϕ.

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