Produit scalaire dans l’espace

Produit scalaire dans l’espace

1. Définition

Soit ~u et~v deux vecteurs de l’espace etA, B etC trois points de l’espace tels que ~u=−→

AB et

~v =−→

AC. Il existe au moins un planP contenant les pointsA, B et C. Leproduit scalaire de~u et

~v est le produit scalaire des vecteurs −→

AB et−→

AC calculé dans le plan P. 2. Remarque

Ce produit scalaire est indépendant du choix des représentants des vecteurs~u et~v et du choix du plan Pcar il peut s’exprimer sous la forme :

~u·~v = 1

2(k~u+~v k² − k~uk² − k~v k²) 3. Carrée Scalaire

Lecarré scalaire de~u, noté ~u², est défini par :~u² =~u·~u 4. Propriétés

Avec les notations de la définition 1 :

(a) ~u·~v =AB×AC×cosBAC[ =k~uk × k~v k ×cos(~u, ~v) (b) Si, dans le planP, le point H est le projeté orthogonal

deC sur la droite (AB) alors

~u·~v =−→

AB ·−→

AC =−→

AB ·−−→

AH (c) ~u·~v =~v·~u

(d) Pour tout nombre réel k,

~

u·(k~v) = (k~u)·~v =k(~u·~v) (e) Pour trois vecteurs ~u, ~v etw~ de l’espace :

~

u·(~v+w) =~ ~u·~v+~u·w~ (f) ~u² =~u·~u=k~uk² et −→

AB² =k−→

AB k²=AB²

5. Expression analytique du produit scalaire Dans un repère orthonormé,

si le vecteur ~u a pour coordonnées (x;y;z) et le vecteur~v (x⁰;y⁰;z⁰) alors on a :

~

u·~v=xx⁰+yy⁰+zz⁰ Démonstration Exercice

Orthogonalité dans l’espace

6. Définition

Deux vecteurs non nuls de l’espace ~u et~v sont orthogonaux lorsque, si ~u =−→

AB et ~v =−−→

CD alors les droites (AB)et (CD)sont orthogonales.

Remarque Le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur.

7. Propriété

~

u et~v sont orthogonaux si et seulement si ~u·~v = 0.

8. Vecteur normal à un plan

Un vecteur non nul~n=−→

AB estnormal au planPlorsque la droite(AB)est perpendiculaire au plan P

1

9. Rappel

Si une droite D est orthogonale à deux droites sécantes D1 etD2 d’un plan P alors la droite D est orthogonale au plan P.

Démonstration ROC F

Soit ~u, ~v₁ et ~v₂ des vecteurs direc- teurs respectivement des droites D,D1 et D2.

Puisque D est orthogonale à D1 etD2,

~

u·~v₁ = 0 et~u·~v₂ = 0

Soit ∆ une droite du plan Pet w~ un vecteur directeur de ∆.

Les vecteurs ~v₁ et~v₂ ne sont pas colinéaires, d’après la propriété 5 du cours sur la géométrie vectorielle,il existe deux réels x ety tels que : w~ =x~v₁+y~v₂.

On a ~u·w~ =x~u·~v₁+y~u·~v₂ = 0

On en déduit que la droite D est orthogonale à ∆qui est une droite quelconque du plan P. 10. Propriété

Soit Aun point de l’espace et ~nun vecteur non nul.

L’ensemble des points M tels que −−→

AM ·~n= 0 est le plan passant par A et de vecteur normal~n 11. Équation cartésienne d’un plan

Dans un repère orthonormé,

1) Si le plan P a pour vecteur normal~n(a;b;c) alorsP a une équation de la forme : ax+by+cz+d= 0

2) Réciproquement, l’ensemble des points M(x;y;z) tels que ax+by+cz+d= 0 avec (a;b;c)6= (0; 0; 0) est un plan de vecteur normal~n(a;b;c).

Démonstration 1)

Soit A(x_A;y_A;z_A)un point du plan.

M(x;y;z) appartient au planP équivaut à −−→

AM ·~n= 0

soit à : a(x−x_A) +b(y−y_A) +c(z−z_A) = 0 puis : ax+by+cz−(ax_A+by_A+cz_A) = 0

qui donne : ax+by+cz+d= 0 avec d=−(ax_A+by_A+cz_A) 2) Exercice

12. Propriété

Deux droites ∆ et ∆⁰ sont orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs respectifs sont orthogo- naux.

13. Définition

Deux plans P et P⁰ de vecteurs normaux respectifs ~n et ~n⁰ sont perpendiculaires lorsque les vecteurs ~n et~n⁰ sont orthogonaux.

14. Exercice

Dans un repère orthonormé, P etP⁰ sont les plans d’équations respectives : 2x+y−7 = 0 et −1

2x+y+3

2z−6 = 0 Démontrer que P etP⁰ sont perpendiculaires.

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