TD11 : Séries entières

(1)

Lycée Chrestien de Troyes CPGE PC mathématiques M. RHARIF

TD11 PC

N°1 Calculer les déterminants suivants :

1 1 1

a b c b a c c a b



⁰1 ¹ ¹ 1

1 1 0

¹

2

n

0 0



N°2 Soient n ^* et A, B  _n

 

. Montrer que x det(xBA) est une fonction polynomiale de degré  n

N°3

   

   

2 2

2 '

: 1 2 3

X X

f P X P X P



   Montrer que f est un isomorphisme de 2[X]

N°4 Soient n ^* et A, B  n

 

. Montrer que : A B 0 B A



N°5 Soient p ^* et



 1, 2, ,_p



une famille de nombres complexes distincts deux à deux.

Montrer que

    

¹ⁿ n ^, ²ⁿ n ^, ^,

 

^pⁿ n



   est une famille libre de

N°6 Soient E un espace vectoriel et f 

 

^E laissant stable toute droite vectorielle de E. Montrer que f est une homothétie N°7 Soit E un -ev de dimension n>1 . 



e e1, 2,...,e_n



une base de E. On considère ^f^

 

^E défini par :

Pour tout j 1,n,

 

1 n

j i

i

f e e w





 ^.

1. Déterminer le rang de f .Que peut-on en déduire ?

2. Montrer que w est un vecteur propre de f . Former une base de E constituée de vecteurs propres de f.

N°8 Vérifier que les applications suivantes sont des endomorphismes et déterminer leurs valeurs propres.

   

:C , C ,

f g

 

 

avec g définie par : ^{ }^x ^, ^{g x}

 

^ ^f^'

 

^x ^^{xf x}

 

^:

 

^X

 

^X

P XP

 

N°9 Soit la matrice M =

 

^ij _{1 ,}_{ }_{i j n}. Déterminer les valeurs propres de M N°10

5 2 0

1 5 1

0 2 5

A

 

 

 

   

  

 

A est-elle diagonalisable dans 3

 

? puis dans 3

 

?

N°11 Diagonaliser les matrices  3

 

suivantes : a ;

2 0 1

1 1 1

2 0 1

 

 

  

 

; 1 2

0 0

0 0 1

a a

a

 

 

  

 

 

N°12 Soit n {0,1}, E= n

 

, h : E  E définie par : pour tout A n

 

, h (A) = A + Tr (A) I_n. Vérifier que h 



n

  

. h est-il diagonalisable ?

N°13  un réel ;

cos sin

sin cos

0 0 1

A

  

  

  

 

  

 

 

; (, ) ²

A est-elle diagonalisable dans 3

 

? A est-elle diagonalisable dans 3

 

? N°14 1. Montrer que A = 1 2

2 1

 

 

 est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.

2. Soit M 4() définies par blocs : M = A A A A

 

 

 

2.1 Déterminer le polynôme caractéristique de M à l’aide de la matrice A.

2.2 Déterminer les éléments propres de M. M est-elle diagonalisable ?