STE4 2014/2015 - MMI2 - Rattrapage
Modalités. Durée: 1h00. Documents autorisés: aide-mémoire + calculette
1 Cinétique chimique
Une réaction chimique obéit à la cinétique suivante dC
dt =−kCa, C(t= 0) =C0 (1) où l'ordreade la réaction est supposé connu. Cet ordre n'est pas nécessairement égal à 1.
1. Dans le cas particuliera= 1,
(a) donner la solution analytique (exacte) de l'équation (1),
(b) discrétiser cette équation en utilisant la méthode d'Euler explicite et en tirer l'expression deCn+1 en fonction deCn.
2. Dans le casa >1,
(a) donner la solution analytique de l'équation (1),
(b) discrétiser l'équation en utilisant la méthode d'Euler explicite et en tirer l'expression de Cn+1 en fonction deCn,
(c) montrer que la solution devient instable si∆tdépasse une certaine valeur limite dont vous donnerez l'expression (remarque: on a instabilité lorsque|Cn+1|>|Cn|).
(d) discrétiser l'équation en utilisant la méthode d'Euler implicite,
(e) linéariser l'équation en posantCa≈Cna−1Cn+1 et en tirer l'expression deCn+1en fonction deCn,
(f) montrer que cette méthode donne une solution stable quelle que soit la valeur de∆t.
2 Transformations du plan
1. On considère la projection orthogonale sur la droite d'équationy=x. (a) Donner l'expression de la matrice Ade cette projection.
(b) Sans faire aucun calcul, donner l'expression de ses valeurs propres et de ses vecteurs propres, en justiant votre réponse.
(c) Toujours sans faire aucun calcul, donner l'expression de son déterminant, en justiant votre réponse.
(d) La matriceAest-elle inversible (réponse à justier sans calcul) ? Si oui, donner son inverse.
2. On considère la symétrie orthogonale par rapport à la droitey=x. (a) Donner l'expression de la matrice Bde cette symétrie.
(b) Sans faire aucun calcul, donner l'expression de ses valeurs propres et de ses vecteurs propres, en justiant votre réponse.
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(c) Toujours sans faire aucun calcul, donner l'expression de son déterminant, en justiant votre réponse.
(d) La matriceBest-elle inversible (réponse à justier sans calcul) ? Si oui, donner son inverse.
3. Sans faire aucun calcul, donner l'expression de la matriceC=AB, en utilisant uniquement des arguments géométriques.
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