A NNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE T OULOUSE
P. D UHEM
Des principes fondamentaux de l’hydrostatique
Annales de la faculté des sciences de Toulouse 1resérie, tome 4, no1 (1890), p. C1-C35
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C.I
DES ,
PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L’HYDROSTATIQUE (1),
PAR M.
P. DUHEM,
Maître de Conférences à la Faculté des Sciences de Lille.
1. - Introduction.
1. Les
principes
fondamentaux del’Hydrostatique
sonttrop
connus pourqu’il puisse
êtrequestion,
dans un écrit relatif à cesprincipes,
de dé-couvrir de nouvelles
propriétés
des fluides enéquilibre.
Le seul but que l’onpuisse
se proposer est de relier cespropriétés
d’une manièreprécise
etrigoureuse
auprincipe qui
domine laStatique
toutentière,
c’est-à-dire auprincipe
des mouvements virtuels.Je n’ai pas besoin de
rappeler
commentLagrange,
dans laMécanique analytique,
a montré lepremier
que leprincipe
des mouvements virtuels renfermait toutel’Hydrostatique, précisant
ainsi ce que Pascal avaitdéjà indiqué
dans le Traité del’Équilibre
desliqueurs.
De nosjours,
M. J.Moutier (2)
aajouté
àl’analyse
deLagrange
unperfectionnement impor-
tant ; il a montré
qu’en
vertu duprincipe
des mouvementsvirtuels,
la pres- sion devait être normale à l’élément surlequel
elleagit, proposition qu’avant
lui on admettait comme unehypothèse indépendante
duprincipe
des vitesses virtuelles. C’est de la méthode de M. Moutier que nous nous sommes
inspirés
dans ce travail.Avant de chercher à déduire du
principe
des mouvements virtuels l’en- semble des lois del’Hydrostatique,
nous allonsrappeler
brièvement l’énoncéde
ceprincipe.
2. On sait que l’on donne le nom de
déformation
virtuelle d’unsystème.
matériel à toute déformation infiniment
petite compatible
avec les liaisons ( 1 ) Leçons professées à la Faculté des Sciences de Lille en 1888.(2 J. MOUTIER, Cours de Physique, t. 1.
de ce
système. Lorsqu’un système
subit une déformationvirtuelle,
chacunde ses
points
subit undéplacement qui porte
le nom de mouvement virtuel de cepoint.
Considérons un
premier
mouvement parlequel
unpoint
matériel passe d’uneposition
initiale(x, y, z )
à uneposition
finale infiniment voisine(x
+ôx,
y +oy, z
+ ;puis
un second mouvement parlequel
le mêmepoint
matériel passe de la mêmeposition
initiale à laposition
finale(x -
y - ces deux mouvements sont dits inverses l’un del’autre ;
deux déformations infinimentpetites
sont inverses l’une de l’autrelorsque
les mouvementsqui composent
l’une sontrespectivement
inversesdes mouvements
qui composent
l’autre.Lorsque
la déformation inverse d’une déformation virtuelle est elle- même une déformationvirtuelle,
chacune d’elles est dite r~éver~sible. Il existe dessystèmes
dont toute déformation virtuelle est réversible : tel est, parexemple,
lesystème
formé par deuxpoints
matérielsassujettis
à de-meurer à une distance invariable l’un de l’autre. On dit alors que ces sys- tèmes ne renferment que des liaisons à résistance bilatérale. D’autres
systèmes (i)
admettent des déformations virtuelles non réversibles. Parexemple,
dans unsystème
formé par deuxpoints
matériels que réunit un fil flexible etinextensible,
onpeut
faire que la distance mutuellequi sépare
ces deux
points lorsque
le fil est tendu diminue d’unequantité
infinimentpetite;
onimpose
alors ausystème
une déformation non réversible. Lors-qu’un système
admet des déformations virtuelles nonréversibles,
on ditqu’il
renferme des liaisons à résistance unilatérale.Le
principe
des mouvements virtuels s’énonce de la manière suivante : :Pour
qu’un système
matériel soit enéquilibre,
ilfaut
et ilsuffit
que,dans toute
dé f ormation
virtuelle de cesystème,
la somme des travauxeffectués
par lesforces
données( 2 )
soit nulle ounégative.
Il est évidentque cette somme ne
peut
être que nullelorsque
la déformation considéréeest réversible
( 3 ).
(1) Cette distinction est due à Gauss (Gauss Werke, t. V, p. 27. Voir aussi C.
Ueber das Princip der virtuellen oder facultativen Verrückungen, Leipzig, Berichte
Math. Phys., t. XXI, p. 25~; 1880). Les dénominations employées sont dues à M. Clausius
(La fonction potentielle et le potentiel, trad. Folie, p. I06) qui a exposé d’une manière très précise les idées de Gauss sur le principe des mouvements virtuels. ’
(2) ) Le mot force donnée s’oppose ici à force de liaison.
(3) Sur cet énoncé du
principe des
mouvements virtuels, voir GAUSS, Werke, t. V, p. 27 et 35 ; STURM, Mécanique; CLAUSIUS, La fonction potentielle et le potentiel, trad. Folie,p. 35;
C. Ueber das Princip der virtuellen oder facultativen Verrucküngen.Ce
principe
ainsi énoncé ne conduit à desconséquences
exactes que siles liaisons
imposées
ausystème
n’entraînent aucunfrottement.
Dans lecas où l’on admet l’existence du
frottement,
on doitregarder
les conditionsd’équilibre
fournies par leprincipe
des mouvements virtuels comme demeu-rant
toujours suffisantes,
mais comme n’étantplus
nécessaires.3. Dans un
grand
nombre de cas, la force donnéequi agit
sur unpoint
matériel
quelconque (x,
y,z)
dusystème
est déterminée engrandeur
et endirection par les
égalités
X, Y,
Z étant lescomposantes
suivant les axes coordonnés de la force enquestion,
et U une fonction uniformede x,
y, z. La fonction Uprend
alorsle nom
de fonction des forces.
Il arrive
aussi,
dans ungrand
nombre de cas, que l’onpeut écrire,
pourtoute modification virtuelle du
système, l’égalité
suivante~S~
désignant
la variation quesubit,
par l’effet de la déformation virtuelleconsidérée,
une certaine fonction il déterminée d’une manière uniformelorsqu’on
connaît les coordonnées de tous lespoints
dusystème.
On ditalors que le
système
admetun potentiel,
et que il est cepotentiel.
Lagrange
a énoncé sur lessystèmes qui
admettent unpotentiel
une im-portante proposition, qui
a été ensuite rattachée d’une manièrerigoureuse
aux
principes
de laDynamique
parLejeune-Dirichlet ( ~ ). Cette proposi-
tion est la suivante : :
Si lllt
système
admet unpotentiel
etsi,
pour un certain état dusystème,
cepotentiel présente
unminimum,
cet état est un étatd’équi-
libre stable.
Telles
sont lespropositions
deMécanique
dont il nous était nécessaire de (1) LEJEUNE-DIRICHLET, Journal de Crelle, t. XXXII, p. 85; ; I846.rappeler
l’énoncé avant d’aborderl’exposé
desprincipes
del’Hydro- statique.
II. -
Défiltitions.
4. Considérons un corps
remplissant
un certain volume. En unpoint M,
.de coordonnées x, y, z, ce corps a une certaine densité p, en sorte que la
masse d’un élément de volume du renfermant le
point
M à son intérieur apour valeur p
dv.
Cette densité ppeut
être la mêmequel
que soit lepoint M ;
le corps est alors
homogène.
Ellepeut
aussi varier d’unpoint
à un autre ; lecorps est alors
hétérogène.
Dans ce dernier cas, nous supposerons ou bien que la densité p est une fonction continue de x, y, z, ou bienqu’elle
est dis-continue en tous les
points
de certaines surfaces.Envisageons
un élément du corps : toutdéplacement,
toute déformation du corps doit laisser sa masse constante ; mais son volume etpartant
sa den- sitépeuvent dépendre
des circonstances danslesquelles
il se trouveplacé.
Le corps est dit alors
compressible
. Il estincompressible
si chacun de seséléments de masse
garde
un volume invariable.Un corps
auquel
onpeut imposer
tous lesdéplacements virtuels,
toutesles déformations virtuelles
qui
laissent invariable le volume de chacun deses éléments de masse est dit
fluide;
le fluide estincompressible
si ces dé-formations virtuelles sont les seules
qu’on puisse’
luiimposer;
il est, aucontraire, compressible
si l’onpeut
luiimposer
certaines déformations vir- tuellesqui
fassent varier le volume de ses éléments de masse.Un fluide
peut
être en contact par unepartie
de sa surface avec un solideinvariable. Dans ce cas, on ne pourra lui
imposer
que des modifications virtuelles laissant invariable la forme de sa surface de contact avec le solide.Nous ne traiterons pas dans cet écrit de
l’équilibre
d’unsystème
formépar un fluide et un solide variable de
position
en contact avec ce fluide.L’étude de cet
équilibre
constitue leproblème
des corpsflottants.
Nous admettrons
qu’un
fluidepeut
être soumis à deux sortes de forces :~° Des forces
appliquées
à ses divers éléments de masse; si du est le vo-lume d’un semblable
élément,
et p la densité en unpoint
de cetélément,
nous
désignerons
lescomposantes
de la forcequi agit
sur cet élément parpY dv, x, Y,
Zpourront
être des fonctions continues des coordonnées x, y, z d’unpoint
de l’élémentdu,
oubien,
comme la den-sité p,
présenter
des surfaces dediscontinuité ;
2° Des forces
appliquées
aux divers éléments de lapartie
déformable de la surfacequi
limite lefluide,
ouplutôt
aux divers éléments d’une mem-brane infiniment mince et
parfaitement flexible,
de densitéarbitraire, qui
serait
appliquée
sur cette surface. Si dwdésigne
l’aire de l’un des éléments dont ils’agit,
et P dw la forcequi
s’exerce sur cetélément,
nous dirons que P est lagrandeur
de lapression
en unpoint
de l’élément dw. La directionde la force P dw sera la direction de cette
pression.
Nous allons chercher à
quelles
conditions un fluide soumis à ces deux classes de forcespeut
être enéquilibre.
III. - Cofidilions
d’équilibre.
5. Si nous
imaginons
un fluide enéquilibre,
sa densité enchaque point
a une valeur déterminée. Nous pouvons supposer que l’on
impose
à cefluide une déformation virtuelle dans
laquelle
chacun des éléments de masse,tout en étant
déplacé
etdéformé, gardera
sa densité etpartant
son volume.Si le fluide est
incompressible,
les déformations virtuelles de ce genre seront seulespossibles,
et nous obtiendrons toutes les conditionsd’équilibre
enappliquant
leprincipe
des mouvements virtuels à tous lesdéplacements
decette sorte que l’on
peut imaginer.
Si le fluide estcompressible,
la classede déformations virtuelles que nous venons de définir ne
comprend plus
tous les
déplacements
virtuelspossibles,
car on pourra enimaginer
d’au-tres dans
lesquels
le volume des éléments de massedéplacés
subit des va-riations ;
enappliquant
donc leprincipe
des mouvements virtuels à toutesles déformations de la
première classe,
nous obtiendrons encore, dans le casdes fluides
compressibles,
des conditionsd’équilibre,
mais nous pouvons fort bien ne pas les obtenir toutes. Nousn’envisagerons
pour le moment que le cas des fluidesincompressibles ;
nous reviendronsplus
loin sur le casdes fluides
compressibles.
6. Sur la surface déformable d’un
fluide,
prenons deux éléments :l’un, i)
de surface oo;l’autre,
A’B’ de surface M’. De l’élément AB à l’élément A’B’ traçons un canal infinimentdélié,
de formequelconque,
com-pris
en entier à l’intérieur du fluide. Ce canal est tracé de la manière sui-vante.
On joint
unpoint
du contour de AB à unpoint
du contour de A’ B’par une
ligne
continueprésentant
unetangente
enchaque point,
sauf peut- être en un nombre limité depoints séparés
les uns des autres par des lon-gueurs finies. On
prend
une surfacequi
soit laprojection
de AB sur unplan
normal à la courbe au
point
où elle rencontre AB. Onimagine
que cette surface sedéplace,
de manièrequ’un
despoints
a de son contour décrive laFig, I.
courbe et
qu’elle
reste normale à lacourbe,
et, en mêmetemps, qu’elle
sedéforme d’une manière continue en restant infiniment
petite. Lorsque
lepoint
e arrive en unpoint
où l’orientation de latangente
à la courbe subitune
discontinuité,
on suppose que la surface tourne autour dupoint 8 j us- qu’à
être devenue normale au nouvel arc de courbe. Enfin la déformation de la surface est tellequ’elle
devienne à la fin laprojection
de A’B’ sur unplan
normal à la courbe.Dans cet
écrit,
le motgénératrice
du canals’applique
à la courbe enquestion. Prolongeons
lesgénératrices
du canal que nous venons de tracerd’une
longueur infiniment petite
au delà de l’élément A’B’. Par des sections infiniment voisines les unes des autres,ab, cd, ef,
..., mn,partageons
cecanal en tranches
d’égal volume;
au delà de A’B’ menons une dernière sec-tion pq , telle que le volume
compris
entre A’ B’ et pq soitégal
au volume dechacune des tranches
précédentes.
Cela
étant, imposons
au fluide une déformation définie de la manière sui-vante : le fluide
qui occupait
la tranche AB ab vient occuper la trancheabcd ;
le fluide
qui occupait
cette dernière tranche vient occuper la tranchecdef,
et ainsi de
suite jusqu’à
ce que le fluide de la tranche mn A’ B’ soit refoulé dans la tranche A’ B’ pq~. .Dans cette
déformation,
la masse fluidequi
occupechaque
tranchechange
de forme et de
position
sanschanger
devolume,
en sorte que la restriction que nous sommes convenusd’imposer
aux modifications virtuelles est res-pectée ;
en outre, lamodification virtuelle
que nous venons de considérerest une modification
réversible;
car, enreprenant
lesystème
dans son étatinitial,
onpourrait,
au lieud’imposer
à chacune de sesparties
ledéplace-
ment
qu’elle
a subi dans la modificationprécédente,
luiimposer
undépla-
cement inverse, Par
conséquent,
la somme des travaux effectués durantcette déformation par toutes les forces données
appliquées
au fluidedoit,
pour
l’équilibre,
êtreégale
à 0.Calculons cette somme : :
Soit du le volume de l’une
quelconque
des tranches enlesquelles
le filet aété
partagé.
Soit p la densité en unpoint
d’une de cestranches,
de latranche
cdef
parexemple.
La forcequi agit
sur cette tranche élémentairea pour composantes
pX dv, P Y dv, pZ
dv.Désignons
pardx, dy,
dz lcsprojections
sur les axes de coordonnées de lalongueur
infinimentpetite
com-prise
entre lepoint d’application
de la forcequi agit
sur la tranchecde f
etle
point d’application
de la forcequi agit
sur la tranche suivante. Le travail de la force que nous venons de considérer seraPour obtenir le travail des forces
appliquées
aux divers éléments de volume dufluide,
nous aurons à faire la somme d’autant de termesanalogues
à celui-là
qu’il
y a de tranches entre AB et A’ B’. Cette somme aura pour valeurl’intégrale
étant uneintégrale curviligne
étendue à uneligne qui
passe partous les
points d’application
des forcesqui
sollicitent les éléments de volume du canal considéré. Onpeut,
si l’on veut, supposer que cetteintégrale
s’étend à une
génératrice
ASA’ ducanal, génératrice qui
diffère infiniment peu de laligne précédente.
Prenons un
point
0 sur l’élémentAB ;
par cepoint,
menons uneparallèle
OP à la
direction
de lapression
en unpoint
de l’élémentAB,
une normaleON à l’élément
AB,
normaledirigée vers
l’intérieur dufluide,
enfin une pa-rallèle OD à la
tangente
en A à laligne AA’,
cettetangente
étant menéeégalement
vers l’intérieur du fluide.Prenons de même un
point
0’ sur l’élément A’ B’. Par cepoint
menonsune
parallèle
O’P’ à la direction de lapression
en unpoint
de l’élémentA’]3’,
une normale O’N’ à la surface
A’ B’,
cettenormale
étantdirigée
vers l’inté-rieur du
fluide,
enfin uneparallèle
O’D’ à latangente
en A’ à laligne A A’,
cette
tangente
étantdirigée également
vers l’intérieur du fluide.La force
qui agit
sur l’élément AB = w a pour valeur Pw. Si nous dé-signons
par E lalongueur
dont sedéplace
lepoint 0, parallèlement
àOD, lorsque
AB vient enab,
le travail effectué par cette force estLa force
qui agit
sur l’élément A’B’ = w’ a pour valeur P’w’. Si nous dé-signons
par E’ lalongueur
dont lepoint
0’ sedéplace parallèlement
à D’0’, lorsque
A’B’ vient en pq, le travail effectué par cette force estLa somme des travaux de toutes les forces
appliquées
auliquide
estmaintenant aisée à former. En
égalant
cette somme à0,
nous trouvonsl’égalité
Cette
égalité peut
setransformer
de la manière suivante :Si nous
désignons
par N le dièdre formé par lesdemi-plans PON, DON,
et par N’ le dièdre formé par les
demi-plans D’ O’ N’,
nous auronsD’autre
part.,
nous auronsLégalité précédente
deviendradonc,
ensupprimant
le facteurdu,
Telle est
l’équation
fondamentale que nous allons discuter.7. Sur la
ligne
AA’ prenons deuxpoints
1~T et 11-Z’. Soit S unpoint
de cetteligne
située entre M et M’. Laligne
AA’ayant
été choisie à volonté à l’inté- rieur dufluide,
on aurait évidemment pu substituer à l’arc un autrearc
M’, quel
que soit d’ailleurs cet arc, pourvu seulementqu’il
soit tout , entier situé à l’intérieur du fluide. On aurait pu recommencer les calculsprécédents
en substituant un canalayant
pourgénératrice
laligne
A M S’ M’A’ au canal
ayant
pourgénératrice
laligne
AM S M’A’. Au lieu del’équation (1),
on aurait obtenu une nouvelleéquation
dont les deux pre- miers termes eussent étéidentiques
aux deuxpremiers
termes del’équa-
tion
(i).
Seulement le troisième terme, au lieu d’êtrel’intégrale curviligne
prise
lelong
de laligne
A eût été la mêmeintégrale curviligne prise
lelong
de laligne
ces deuxintégrales
doivent être iden-tiques.
’Si,
pourabréger,
nousdésignons l’intégrale curviligne
prise
lelong
d’une certaineligne
par la seuledésignation
de cetteligne
mise entre
parenthèses,
nous pourrons’écrire, d’après
cequi précède,
Maisona
On a donc
égalité qui peut
s’énoncer ainsi : :L’intégrale curviligne
prise
lelong
d’uneligne quelconque
située entièrement à l’intérieur dufL’uide
a une valeurqui peut
biendépendre
de laposition
des extré-mités de cette
lig ne,
mais non desa forme.
,Les
propriétés
connues desintégrales curvilignes
permettent de trans- former cet énoncé en cet autre :IL existe une
fonction
W de x, y, zuniforme, finie
et continue era tousles
points
del’espace occupé
parle fluide,
telle que l’on aitce
qui peut
encores’exprimer
en disant que lesforces qui agissent
sur lesparticules
dufluide
admettent unefonction
desforces
- W .Cette
première condition,
sanslaquelle l’équilibre
du fluide estimpos- sible,
aété,
on lesait,
découverte par Clairaut( ~ ).
8.
Désignons
par W la valeur de la fonction W(x,
y,,~)
aupoint
A etpar W’ la valeur de la même fonction au
point
A’. Nous auronset
l’égalité (1)
deviendraLa forme de la
ligne
AA’ estarbitraire;
les directionsOD,
0’D’ sontdonc arbitraires.
L’égalité (3)
doit rester vraiequelles
que soient ces deux ,directions. Ces deux directions
dépendent
desquatre
variables arbitraires(DON), N, (D’0’iV’),
N’. Lesquantités P, P’, W,
W’ sontindépendantes
de ces variables. Par
conséquent,
on voit que, si P n’est pasnul,
laquantité
doit être
indépendante
desangles N
et(DON),
cequi exige
que l’on aitet que, si P’ n’est pas
nul,
laquantité
( 1 ) CLAIRAUT, Théorie de la figure de la Terre.
doit être
indépendante
desangles
N’ et(D’ 0’ l’VT’),
cequi exige
que l’on aitOn voit donc que toute
pression qui
n’est paségale
à 0 doit être nor-male à l’élément
auquel
elle serapporte.
C’est laproposition
démontréepour la
première
fois par M. J. Moutier.J usqu’ici
P et P’représentaient
deuxquantités
non affectées designe.
Maintenant que nous savons
qu’une pression
est normale à l’élémentauquel
elle se
rapporte, comptons
commepositive
unepression dirigée
vers l’inté-rieur du
fluide,
commenégative
unepression dirigée
vers l’extérieur. Si ,nous observons que, dans le
premier
cas,cos(PON)
a pour valeur Iet que,
dans le second cas,
cos(PON)
a pourvaleur -1,
nous voyons sanspeine
que le
produit
de la valeur absolue de lapression
parcos(PON)
est tou-jours égal
à lapression
engrandeur
et ensigne. Moyennant
cette re-marque, jointe
aux résultatsprécédents, l’égalité (3) peut
s’écrireet s’énoncer ainsi :
La somme de la
pression
et dela fonction W(x,y,z)a
la même va-en
tout point de
lasurface déformable qui lc.fluide.
9. La modification virtuelle dont nous avons déduit les résultats dents était une modification réversible. Nous allons achever de déterminer les conditions
d’équilibre
en considérant une modification non réversible.Voici comment nous définirons cette modification.
Nous
prendrons
un filet infiniment délié2) partant
du contour d’unFig, 2.
élément de surface MN
pris
en unpoint quelconque
à l’intérieur du fluideet ahoutissant à un élément AB de la surface déformable. Nous
prolongerons
même ce canal un peu au delà de l’élément AB.
Par des sections infiniment
rapprochées
les unes des autres,ab, cd,
~ f’,
..., nouspartagerons
ce filet en tranches infinimentpetites
de mêmevolume. Nous mènerons même au delà de AB une dernière section pq, dé- tachant une tranche
ABpq
de même volume que lesprécédentes.
Puis nousamènerons le fluide de la tranche MNab dans la tranche
abcd,
le fluidede cette dernière dans la tranche
cdef,
...jusqu’au
fluide de la tranche mnABqui
viendra occuper la trancheAB pq~.
Dans cette
modification,
toutes les masses élémentairesqui
ont été dé-placées
ont conservé leurvolume,
comme dans la modificationprécédem-
ment
étudiée ;
seulement la continuité du fluide a étédétruite ;
la trancheMN
ab, pleine
avant lamodification,
est videaprès.
La nouvelle modifica-tion n’est pas
réversible;
si nous ramenons lesystème
dans l’état où il était avant cettemodification,
il ne nous sera paspossible
dedonner
ensuite auxdiverses
parties qui
lecomposent
undéplacement
inverse de celui que nous leur avons donné dans cettemodification,
car le fluide de la tranche abMN seraitempêché
de se mouvoir par le fluidequi
environne le filet. Par con-séquent,
selon la remarque deGauss,
la somme des travaux effectués durantcette modification par les forces
qui agissent
sur le fluide n’estqu’exception-
nellement
égale
à0;
engénéral,
elle estnégative.
Cette somme se compose :
I ° Du travail des forces
appliquées
aux diverses tranches du filet. Si l’ondésigne
par dv le volume de l’unequelconque
de cestranches,
ce travail apour valeur ’
ou
bien,
endésignant
par W la valeur de la fonction y,z)
en A etpar W’ la valeur de la même fonction en
M,
2° Du travail de la force Pw
appliquée
à l’élément AB. Soit E la lon-gueur
Ap.
Par unpoint
0 deAB,
menons une normale OP à AB et uneparallèle
OD à latangente
en A à la courbeMA,
ces deuxlignes
étant di-rigées
vers l’intérieur du fluide. Le travail de la force Pco seraP étant affecté d’un
signe
conforme à la convention arrêtéeprécédemment.
Mais (oe
cos(POD) représente
le volume du de la trancheA.B pq.
En écri-vant donc que la somme des travaux virtuels effectués dans la modification considérée est nulle ou
négative,
on trouveest essentiellement
positif.
Cette conditionpeut
donc être rem-placée
par la suivanteLe
point M, auquel
serapporte W’,
est unpoint quelconque pris
à l’inté-rieur du
fluide ;
choisissons-le infiniment voisin dupoint A ;
W - W’ de-viendra infiniment
petit, puisque
la fonction W est continue à l’intérieu r dufluide,
et la condition(5)
deviendrace
qui,
en vertu de nos conventions sur lesigne
de lapression, signifie
que, si lapression
en unpoint
de lasurface déformable d’un fluide
enlibre
n’esl pas nulle,
elle estdirigée
versl’inlérieurdu fluide .
D’autre
part, désignons
parW 0
laplus grande
valeur que prenne W à l’intérieur du fluide(en
admettantqu’il
en existeune),
et supposons que lepoint
soit l’un despoints
où W atteint la valeurWo.
En vertu de lacondition
( 5 ),
nous devrons avoirLa valeur constante que la somme de la
pression
ct de lafonction
Wprend
sur lasurface dé f onnaable
dufluide
est au moinségale
à la va-1eur
la plus bnande
quela fonction
W prenne à l’intérieurdu fluide.
10. Les deux classes de modifications virtuelles que nous venons d’é tudier
nous ont fourni un certain nombre de conditions
d’équilibre.
Ces conditionssont nécessaires. Sont-elles suffisantes? Nous allons faire voir que, si l’on
impose
aux divers éléments de masse du fluide une déformation et undépla-
cement
quelconques qui
ne fassent pas varier le volume de ceséléments,
letravail effectué durant la modification virtuelle ainsi
produite
par les di-verses forces
appliquées
au fluide est nul ounégatif.
Il résultera de là que, si le fluide estincompressible,
les conditions que nous avons trouvées suffi-sent à en assurer
l’équilibre.
Soit un
point
decoordonnées x,
y, zpris
à l’intérieur du fluide. Dans la modification virtuelle que nousconsidérons,
laparticule
fluidequi
se trou-vait initialement au
point
decoordonnées x,
y, z subit undéplacement
dontles
projections
sur les trois axes sont~x, ~y,
éz. Nous poseronsil étant une
quantité
infinimentpetite qui
a une même valeurpositive
pourtous les
points
dusystème.
Nous nous restreindrons à l’étude des déforma- tions danslesquelles
chacune des troisquantités
u, v, w est une fonction de~x~, y, ~,
uniforme, finie, continue,
admettant des dérivéespartielles
du pre- n~ier ordre en tous lespoints
del’espace occupé
par le fluide.Considérons un élément de masse du fluide. Avant une modification
quel-
conque, il occupe un volume
Il est facile de voir
qu’après
la modification il occupe un volumeNn sorte que l’on a
Démontrons cette
proposition.
Soit c7 une surface fermée
qui
se déforme et vient en o’. Son volume 0augmente de
On peut l’évaluer autrement. L’élément ds vient en Si E est la dis-
tance normale des deux éléments
comptée positivement lorsque
der’ est àl’extérieur de la surface cr, il est facile de voir que
Mais on a, en
désignant
par n la normale intérieure à lasurface,
On a donc
Or
On a
donc,
enégalant
les deuxexpressions
de$9,
Si
l’intégration
s’étend au volume dxdy
dzlui-méme,
on trouveSi,
comme nous le supposons,chaque
élément de rnassegarde
dans lamodification un volume
invariable,
nous aurons, en vertu del’équation (7),
Dans la’ déformation
considérée,
les forcesappliquées
au fluidequi
rem-.
plit
l’élément de volumedx dy dz
effectuent un travailSi l’on
remplace X, Y, Z,
au moyen deségalités (2),
par leurexpression
en fonction de
W,
ce travailpeut
s’écrireet la somme des travaux des forces
appliquées
aux éléments de masse du fluide a pour valeur1’intégrale triple
s’étendant au volume entier du fluide.Désignons
par(n, x), ( n, y ), ( n, z )
lesangles
que fait avec les directionspositives
des axes coordonnés la normale à l’un des éléments dm de la sur- ,face
déformable,
cette normale étantdirigée
vers l’intérieur du fluide. Les composantes de la forcequi agit
sur l’élément dw sontle
travail de cette force estet le travail de toutes les forces
qui agissent
sur la surface déformable dufluide
estla sommation s’étendant à tous les éléments dw de la surface déformable du La somme des travaux virtuels effectués dans la déformation considérée par toutes les forces
appliquées
au fluide estTelle est la
quantité qu’il
faut démontrer êtretoujours
nulle ounégative.
Pour faire cette
démonstration,
nousallons,
conformément à une méthodefréquemment employée
enAnalyse,
transformerl’intégrale triple
en inté-grale
double. Maisauparavant
une remarque est nécessaire. Dans ledépla-
cement
considéré,
ilpeut
arriver que le fluide restecontinu; alors, après
ledéplacement,
le fluide occupe un volume à connexionsimple
comme avantle
déplacement.
Aucontraire,
durant cedéplacement,
il sepeut
que descavités se creusent dans la masse fluide. Dans ce cas, avant le
déplacement,
le fluide
occupait
un espace à connexionsimple,
limité par une surface fermée or;après
ledéplacement,
il occupe un espace à connexionsmultiples, limité,
d’unepart,
par la surface 03C3 déformée et devenue s’ et, d’autrepart,
par les surfaces
S? 2’?
... des cavités creusées dans son intérieur.Pour
pouvoir
embrasser à la fois tous les cas dans noscalculs,
nous sup-poserons que
l’intégrale triple
s’étend à un espace à connexionsmultiples,
limité par une surface extérieure 03C3 et par des surfaces intérieures
03A3, 03A3’,
...,toutes ces surfaces subissant dans le
déplacement
virtuel des déformationsquelconques.
Nous déduirons de cettehypothèse générale
leshypothèses
relatives aux cas
particuliers qui
nousintéressent,
ensupposant
ou bien que les surfaces~,
~’, ... renferment chacune un volume nul au commencement comme à la fin de lamodification,
ou bien que chacune de ces surfaces ren- ferme un volume nul au commencement de la modification et un volume infinimentpetit
à la fin.Donc,
dans le calcul que nous allonsfaire,
nous pourrons supposer que la modification virtuelle ne crée aucune cavité à l’intérieur duliquide.
Nouspourrons, par un artifice entièrement
analogue,
supposerqu’il
ne s’en créepas non
plus
entre leliquide
et le solide.Cela
étant,
si nousportons toujours
la normale à une surface vers l’inté- rieur dufluide
en contact avec cettesurface,
il est facile de voir que nousayons
Légalité (9)
deviendra doncMais cette
égalité (10)
va subir de notablessimplifications.
En
premier lieu, l’égalité (8)
fait
disparaître
le dernier terme.La surface a, à
laquelle
s’étend la deuxièmesommation,
se compose de la surface déformable w et de la surface de contact (t/ du fluide avec les so- lides invariablesqui peuvent
l’environner.Mais,
lelong
de la surface on aEn
effet,
laquantité
représente
la distancequi
existeaprès
ledéplacement
entre la nouvelle po- sition de l’élément dw’ de lasurface
duliquide
et la surface dusolide,
cettedistance étant
comptée positivement
si dw’ est à l’extérieur du solide.Or cette distance ne
peut
êtrenégative,
car leliquide
nepeut pénétrer
dans le
solide;
elle ne peut êtrepositive,
car, contrairement àl’hypothèse,
il se serait formé une cavité entre le solide et le
liquide.
Elle est doncnulle,
et l’on a, en tout
point
de w’, ,On
peut
donc supposer que la seconde sommation s’étend seulement à la surface w et réunir les deuxpremières
sommes en une seuleMais nous avons vu
(n° 8)
que(P
+W)
a la même valeur en tous lespoints
de la surface (D. Si nous
désignons
cette valeur par a, la sommeprécédente
pourra s’écrire
Désignons
parS9 l’augmentation
subiependant
la déformation par le volumequ’enferme
la surface oB Il est bien facile de voir que l’on aLa somme des deux
premiers
termes del’expression (10)
deSs
a donc pou rvaleur
L’intégrale
s’étend à une surface S
qui,
dans toutes leshypothèses qui
nousintéressent,
renferme un volume nul ou infiniment
petit.
Si nousdésignons
par A la va-leur de W en un
point
de cevolume,
cetteintégrale
pourra s’écrireD’ailleurs, quelle
que soit lasurface £,
si l’ondésigne
par§0
l’accroisse- ’ment subi
pendant
la modification par le volumequ’enferme
cettesurface,
on aura
Le troisième terme de