1.
o A
N
Q
M
La cissoïde apparaît en rouge.
2. a. (D)a pour équationy=tx,(∆)a pour équationx= 1.
Q= (D)∩(∆)a pour coordonnéesQ(1;t)
2.b. N = (C)∩(D)où(C)est le cercle de centreΩ (1/2; 0) et de rayon1/2.Son équation est donc
x−1 2
2
+y2=1 4. Le pointN(x;y)est défini par le système :
y=tx
x−1 2
2
+y2= 1 4
⇔
y=tx
x−1 2
2
+t2x2=1 4
⇔
y=tx 1 +t2
x2−x= 0 en développant
⇔
y=tx 1 +t2
x−1 = 0 en simplifiant parx= 0.
⇔
y=tx x= 1
1 +t2 Les coordonnées deN sont donc N
1 1 +t2; t
1 +t2
.
M est défini par−−→OM=−−→N Q. OrQ(1;t)etN 1
1 +t2; t 1 +t2
⇒−−→N Q
1− 1 1 +t2 t 1 +t2 −t
donc−−→N Q
t2 1 +t2
t3 1 +t2
.
Ainsi−−→OM=−−→N Q⇒−−→OM
t2 1 +t2
t3 1 +t2
⇒M t2
1 +t2; t3 1 +t2
.
2.c. Les questions c. et d. amènent à trouver une équation cartésienne de la cissoïde. On rappelle que le concept d’équation cartésienne suppose la démonstration d’uneéquivalence: Mappartient au lieusi et seulement sises coordonnées vérifient l’équation. On va donc établir dans un premier temps que siM appartient à la cissoïde, il vérifie l’équation proposée, mais aussi la réciproque, c’est à dire que si les coordonnées vérifient l’équation, le point est sur la cissoïde.
Il suffit de remplacerxety par les coordonnées deM. Doncx
x2+y2
−y2= t2 1 +t2
t2 1 +t2
2 +
t3 1 +t2
2 +
t3 1 +t2
2
= t2 1 +t2
t4
(1 +t2)2 + t6 (1 +t2)2
+ t6 (1 +t2)2
=t2×t4 1 +t2
1
(1 +t2)2 + t2 (1 +t2)2
+ t6 (1 +t2)2
=t6×t4 1 +t2
1 +t2 (1 +t2)2
+ t6 (1 +t2)2
= 0.
Les coordonnées d’un point de la cissoïde vérifient donc bien l’équation proposée.
Ainsi : M∈cisso¨ıde⇔
x= t2 1 +t2 y= t3
1 +t2
⇒x
x2+y2
−y2= 0d’après ce qui précède.
Mais la réciproque n’est pas prouvée. L’implication ci-dessus n’est en effet pas une équivalence car ce n’est pas parce que x
x2+y2
−y2= 0qu’on a forcémentx= t2
1 +t2 ety= t3
1 +t2.Dand l’esprit, ce n’est pas parce que3 + 2 = 5que x+y= 5 impliquex= 3 ety= 5.On est donc bien obligé d’étudier la réciproque séparément. C’est l’obet du 2.d.
2.d. SoitM(x;y)tel quex
x2+y2
−y2= 0
⋆Si x= 0 l’équation devient : y2= 0⇒y= 0.Le point étudié est alors l’origine qui appartient bien à la cissoïde.
⋆Si x= 0 on peut posert= y
x ⇒y=tx.
On a donc le système(S) : x
x2+y2
−y2= 0
y=tx ⇔ x
x2+ (tx)2
−(tx)2= 0 y=tx
⇔
x×x2 1 +t2
−t2x2= 0 y=tx
⇔ x
1 +t2
−t2= 0
y=tx en simplifiant parx2= 0
⇔
x= t2 1 +t2 y=tx
On a donc bien
x= t2 1 +t2 y= t3
1 +t2
qui prouve queM appartient à la cissoïde.
On peut donc dire que la cissoïde est la courbe dont une équation cartésienne est : x
x2+y2
−y2= 0 2.e. x
x2+y2
−y2= 0⇔x3−y2(1−x) = 0 Pour x∈[0; 1[,x3−y2(1−x) =√
x32
− y√
1−x2 . Ainsix
x2+y2
−y2= 0⇔√ x32
− y√
1−x2
= 0
⇔√ x3
− y√
1−x √ x3
+ y√
1−x
= 0
⇔ √
x3
√1−x−y
√x3
√1−x+y
= 0
Qui s’écrit encore
y− x3
1−x y+ x3
1−x
= 0en multipliant par(−1).
3.a. lim
x→1−(1−x) = 0+ et lim
x→1x3= 1donc lim
x→1f(x) = +∞. La droitex= 1est donc asymptote à (Γ). 3.b. La fonction n’est à priori pas dérivable en0car la fonction √ne l’est pas.
En effet, la fonctionf est la composée de : la fonction x3
1−x dérivable comme fonction rationnelle sur[0; 1[et à images dans[0; +∞[ la fonction√qui n’est pas dérivable en0.
f est donc dérivable en toute valeur de[0; 1[dont l’image par x3
1−x n’est pas nulle, c’est à dire sur]0; 1[
Le théorème de la dérivée d’une fonction composée ne s’applique donc pas en 0. Ce n’est pas parce que ce théorème ne s’applique pas que la fonction n’est effectivement pas dérivable en0. Dans ce cas, il n’y a pas d’autre solution que de revenir à la définition première de la dérivabilité en un point.
Ainsif sera dérivable en0si et seulement si f(0 +h)−f(0)
h admet une limite finie quandhtend vers0.
Or f(0 +h)−f(0)
h = 1
h h3
1−h or √
h3=h√
hdonc f(0 +h)−f(0)
h =
h
1−h dont la limite est nulle en0.
f est donc bien dérivable en0et f′(0) = 0
3.c. f est donc dérivable sur[0; 1[et∀x∈]0; 1[, f′(x) = x3
1−x ′
× 1 2
x3 1−x Or
x3 1−x
′
=3x2(1−x) +x3
(1−x)2 =3x2−2x3
(1−x)2 = x2(3−2x) (1−x)2 doncf′(x) =x2(3−2x)
(1−x)2 ×1 2
1−x
x3 qui est évidemment positive sur]0; 1[. f est donc croissante sur]0; 1[
3.d. L’équation de la tangente enx0est : y=f(x0) + (x−x0)f′(x0). Donc ici : y=f
1 2
+
x−1 2
f′ 1
2
qui donne après calculs : y= 2x−1 2.
3.e. On a vu queM appartient à la cissoïde si et seulement si :
y− x3
1−x y+ x3
1−x
= 0
c’est à dire si et seulement siy− x3
1−x= 0 ouy+ x3
1−x = 0doncy = x3
1−x ouy=− x3
1−x.
La première équation est celle de(Γ)tandis que la seconde est celle de la symétrique de(Γ)par rapport à l’axe(Ox). La cissoïde est la réunion de ces deux courbes.
4. On a doncA(1; 0)etM t2
1 +t2; t3 1 +t2
.La droite(AM)a donc pour coefficient directeur t3 1 +t2 t2 1 +t2 −1
= t3 1 +t2
−1 1 +t2
=−t3.
Son équation est doncy=−t3x+pavecpdonné par0 =−t3+ppuisque la droite passe parA.Doncp=t3. D’où l’équationy=−t3(x−1).
AinsiP est donné par
x= 0
y=−t3(x−1) ⇔
x= 0
y=t3 AinsiP 0;t3
.
On a donc vu queAQ=tetOP =t3. Il suffit donc de placerOP = 2pour lire √3
2enAQ.
Mais attention, ce tracé n’est pas précis car la cissoïde n’a été tracée qu’approximativement, point par point.
Le tracé précis et rigoureux est impossible.
